論數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

王乃玲

摘 要：數(shù)學(xué)思想是人類從最早的結(jié)繩記事起，在對數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、學(xué)習(xí)、應(yīng)用過程中所總結(jié)的數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)規(guī)律，人們通過對這些規(guī)律的掌握，更好更快的學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)，讓其更好的為人類服務(wù)。數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)思想的支配下，對特定的數(shù)學(xué)問題所給與的解決的方式。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法；應(yīng)用

用符號代替數(shù)，也即用字母表示數(shù)，是學(xué)完小學(xué)數(shù)學(xué)，開始接觸初中數(shù)學(xué)對學(xué)生提出的最基本的要求，符號代替數(shù)的思想是最基本的思想。方法是將復(fù)雜的問題通過已知的公理、定理，簡化為已知的問題。分類討論的思想是指有的問題不止一個(gè)結(jié)果，解題時(shí)要從各個(gè)方面綜合考慮，有不同的條件得出不同的結(jié)果，分類討論思想是數(shù)學(xué)的重要思想.函數(shù)思想是方程思想的轉(zhuǎn)化，這是因?yàn)楹瘮?shù)是方程的轉(zhuǎn)化，每一個(gè)方程都是一個(gè)函數(shù)解析式，函數(shù)將方程通過圖形的形式表示出來，同時(shí)又具有能夠解決單純靠方程所不能解決的問題，函數(shù)思想貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)知識的始終，其重要性不言而喻。數(shù)形結(jié)合的思想則應(yīng)用的更為廣泛，大至幾何和代數(shù)的結(jié)合，小至一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題的解決。

初中數(shù)學(xué)方法有很多，主要的上面已經(jīng)列舉，消元降次用來求解方程，一次多元方程組要用消元的方法，高次一元方程要用降次的方法，多元高次方程組消元降次兩種方法都要用到。待定系數(shù)法是確定代數(shù)式中某項(xiàng)系數(shù)的方法，是方程思想的具體應(yīng)用。該法在函數(shù)解析式的求解方面有廣泛的應(yīng)用。配方法是以完全平方公式為依據(jù)，將代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，解決因式分解、化簡求值、解方程和二次函數(shù)等方面的問題，應(yīng)用十分廣泛。換元法基本思想是引進(jìn)新的變量，把一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)問題，通過解決簡單的問題，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，多用于解方程和代數(shù)式的化簡求值。

下面將結(jié)合初中數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容合影些相關(guān)的實(shí)例來簡要說明一下思想方法的應(yīng)用。

初中數(shù)學(xué)擺脫了小學(xué)只考慮“數(shù)”的局限性。開始用符號來表示數(shù)，符號的出現(xiàn)在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，有了符號，才有了整式，分式，進(jìn)而有了方程，函數(shù)，才能將數(shù)和圖形相結(jié)合。符號可以表示變量，我們經(jīng)常說的代數(shù)就可以理解為用符號代替數(shù)，一個(gè)簡單的a就可以代表一切的數(shù)，應(yīng)用是相當(dāng)?shù)姆奖恪＠喂痰恼莆蘸眠@思想，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

有了符號，也就有了整式和分式，學(xué)習(xí)了整式和分式的四則運(yùn)算，進(jìn)而將最基本的一元一次方程引了出來。讓學(xué)生初步理解了“方程”這一數(shù)學(xué)的重要概念，在此基礎(chǔ)上簡單的介紹了一元一次不等式。學(xué)習(xí)了一元的，然后學(xué)習(xí)二元乃至高元的方程組，在此要強(qiáng)調(diào)消元的思想，并初步了解用方程解決問題的思想。

一次方程的學(xué)習(xí)使學(xué)生對方程有了大致的了解，但方程的學(xué)習(xí)并不局限與一次，為了從一次方程向二次方程過渡，首先要介紹因式的分解。這里涉及到的是分合的思想，許多學(xué)生在此往往產(chǎn)生認(rèn)識上的迷茫，認(rèn)為既然學(xué)習(xí)了代數(shù)式的乘除，為何又把它分解成因式呢？其實(shí)不管是因式的分解還是整式的乘除，在數(shù)學(xué)都有其重要的地位。這種分合的辯證思想在數(shù)學(xué)中十分常見。因式分解的學(xué)習(xí)為一元二次方程乃至以后的二次函數(shù)鋪平了道路。一元二次方程使初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有了一個(gè)質(zhì)的飛躍。不僅使學(xué)生對方程思想的本質(zhì)及地位有了更加深刻的認(rèn)識，還使數(shù)學(xué)的許多重要的思想方法在此得到了完美的結(jié)合和酣暢淋漓的應(yīng)用。由二次方程上升到二次函數(shù)，首次向?qū)W生展示了函數(shù)思想，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的思想，化歸思想以及分類討論思想也得到更深的應(yīng)用。與之相接合的方法則有待定系數(shù)法，配方法，降次法等。

二次方程和二次函數(shù)展示了數(shù)形結(jié)合的美妙，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中蘊(yùn)藏的辯證法的思想。注重歸納演繹，分析綜合，抽象具體等辯證思維方法的運(yùn)用，是學(xué)好這部分的關(guān)鍵。二次方程解題方法的靈活和二次函數(shù)圖像的千變?nèi)f化式這一部分成為初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都以此為核心。學(xué)習(xí)時(shí)要學(xué)會通過圖像挖掘其中內(nèi)含的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)離不了圖，圖也離不了數(shù)學(xué)。

為了更加形象的闡述數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，我們以下面幾個(gè)典型例題為例：

例1，當(dāng)a取什么數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程ax2+4x-1=0只有正實(shí)數(shù)根？

解析：此題應(yīng)用的是分類討論的思想，題目很簡單，但其中運(yùn)用的思想值得我們學(xué)習(xí)。解題時(shí)先要從宏觀上對此方程的類型進(jìn)行分析。若a=0，方程只是一個(gè)一元一次方程，有正根，符合題意。若a≠0，方程是一個(gè)一元二次方程，先要進(jìn)行判別式的判斷，保證其有實(shí)數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系對a>0和a<0分別進(jìn)行討論。由讀者自己解答。

分類討論思想地位特殊，在眾類數(shù)學(xué)思想中處于領(lǐng)先地位。其他的數(shù)學(xué)思想大多是和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，唯有分類討論思想獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，是一個(gè)完全獨(dú)立的思想。為了強(qiáng)化其重要性，下面再舉一例：

例2，如圖，點(diǎn)A（0，6）、B（3，0）、C（2，0）、M（0，m），其中m<6，以M為圓心，MC為半徑做圓。

（1）m為何值時(shí)，圓M與直線相切；

（2）當(dāng)m=0時(shí)，圓M與直線有怎樣的位置關(guān)系？當(dāng)m=3時(shí)，圓M與直線有怎樣的未知關(guān)系？

（3）由（2）的結(jié)果，你是否得到啟發(fā)，從而得出m在何范圍取值時(shí)，圓M與直線AB相離？相交？

解析：此題首先用到數(shù)形結(jié)合的思想，使一道利用代數(shù)的方法解決圓與直線位置關(guān)系的問題。有幾何知識，知當(dāng)圓的半徑為R時(shí)，設(shè)直線與圓心的距離為r，若r=R，則直線與圓相切；若r>R，則直線與圓相離；若r>R，則直線與圓相交。本題中，設(shè)M到直線AB的距離為r，所以解決此題只需解決r與︱MC︱的大小關(guān)系。但對M點(diǎn)的位置要分別討論，即對M>0、M=0、M<0時(shí)分別討論。至于如何求r，可用三角形相似的方法，也可以直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式。

答案：（1）m=-4或m=1（2）m=0時(shí)，圓M與直線AB相離。m=3時(shí)，圓M與直線AB相交。（3）相離的范圍：-4分類討論的思想一般在幾何中應(yīng)用較廣，代數(shù)中關(guān)于一元二次方程和函數(shù)的題中也經(jīng)常用到。

其實(shí)，每一種獨(dú)立的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)常不是單獨(dú)的發(fā)揮作用，在解題時(shí)，要注意各種思想方法的綜合應(yīng)用，善于發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)部聯(lián)系。

綜上所述，我們對數(shù)學(xué)的思想方法有了一個(gè)大致得了解，最后，我們再強(qiáng)調(diào)一下，思想是靈魂，方法是關(guān)鍵。每一道數(shù)學(xué)題都有自己的思想方法。思想和方法是相輔相成，不可分割的。