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    確定帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的圓心的方法

    2016-05-30 16:45:59吳洪翔
    關(guān)鍵詞:帶電粒子物理教學(xué)

    吳洪翔

    摘要:帶電粒子在磁場(chǎng)中圓運(yùn)動(dòng)的問題綜合性較強(qiáng),是高中物理的一個(gè)難點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn)。解決這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何知識(shí)。其中,關(guān)鍵是確定圓運(yùn)動(dòng)的圓心,只有找到圓心的位置,才能正確運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)。在本文中,筆者將給出幾種找圓心常用的方法。

    關(guān)鍵詞:物理教學(xué);帶電粒子;圓運(yùn)動(dòng);確定圓心的方法

    中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1992-7711(2016)06-0099

    方法一:利用兩個(gè)速度垂線的交點(diǎn)找圓心

    由于向心力的方向與線速度方向互相垂直,洛倫茲力(向心力)沿半徑指向圓心,知道兩個(gè)速度的方向,畫出粒子軌跡上兩個(gè)對(duì)應(yīng)的洛倫茲力,其延長線的交點(diǎn)即為圓心。

    例1.如圖1所示,一個(gè)質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P(a,0)點(diǎn)以速度v,沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。

    解析:分別由射入、射出點(diǎn)做兩條與速度垂直的線段,其交點(diǎn)O即為粒子做圓運(yùn)動(dòng)的圓心,由圖可以看出,軌道半徑為:

    例2. 電視機(jī)的顯像管中,電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場(chǎng)后,進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū),如圖1所示,磁場(chǎng)方向垂直于圓面,磁場(chǎng)區(qū)的中心為O,半徑為r,當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí),電子束將通過O點(diǎn)而打到屏幕的中心M點(diǎn)。為了讓電子束射到屏幕邊緣P,需要加磁場(chǎng),使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度,則此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少?

    解析:電子先經(jīng)過加速電場(chǎng)獲得一定的速度,然后垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng),不考慮電子重力的影響,電子在洛侖茲力的作用下在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng),圓周上的兩點(diǎn)a、b分別為進(jìn)入和射出磁場(chǎng)的點(diǎn)。作電子a、b在二點(diǎn)速度νa、νb的垂線,交點(diǎn)O1即為軌跡圓的圓心,如圖2所示。設(shè)電子的質(zhì)量為m,電量為e,電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v,在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R。電子在電場(chǎng)中加速,有eU=mν2/2

    由牛頓第二定律和洛侖茲力公式有eνB=mν2/R

    方法二:利用速度的垂線與弦的中垂線的交點(diǎn)找圓心

    帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),如果已知軌跡上的兩點(diǎn)的位置和其中一點(diǎn)的速度方向,可用聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的弦的中垂線與一條半徑的交點(diǎn)確定圓心的位置。

    例1. 電子自靜止開始經(jīng)M、N板間(兩板間的電壓為U)的電場(chǎng)加速后從A點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)邊界射入寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,電子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置P偏離入射方向的距離為L,如圖3所示,求:(1)正確畫出電子由靜止開始直至離開磁場(chǎng)時(shí)的軌跡圖;(2)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。(已知電子的質(zhì)量為m,電量為e。)

    解析:(1)聯(lián)結(jié)AP的線段是電子圓運(yùn)動(dòng)軌道上的一條弦,做弦AP的中垂線,由于電子通過A點(diǎn)時(shí)的速度方向與磁場(chǎng)左邊界垂直,因此過A點(diǎn)的半徑與磁場(chǎng)的左邊界重合。AP弦的中垂線OC與磁場(chǎng)左邊界的交點(diǎn)O即是電子圓運(yùn)動(dòng)的圓心,以O(shè)為圓心以O(shè)A為半徑畫圓弧,如圖4所示,

    (2)在M、N間加速后獲得的速度為ν,由動(dòng)能定理得:

    例2. 如圖5所示,在垂直于坐標(biāo)平面的方向有足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里。一帶正電荷量q的粒子,質(zhì)量為m,從O點(diǎn)以某一速度垂直射入磁場(chǎng),其軌跡與軸的交點(diǎn)A、C到O點(diǎn)的距離分別為。試求:

    (1)初速度與x軸的夾角;

    (2)初速度的大小。

    解析:(1)粒子垂直射入磁場(chǎng),在xOy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),OA、OC是圓周上的兩條弦,做兩條弦的垂直平分線,交點(diǎn)即為圓軌跡的圓心,以O(shè)1為圓心,以為半徑畫圓。正電荷在O點(diǎn)受到的洛侖茲力方向如圖6所示。由左手定則知,粒子的初速度方向垂直于OO1斜向上。

    設(shè)初速度為ν,與x軸的夾角為θ,由幾何關(guān)系可知角∠O1OC=θ,故有:tanθ=(a/2)/(b/2)=a/b,θ=arctan(a/b)

    (2)據(jù)圖可知,電子的軌道半徑:

    方法三:利用速度的垂線與角的平分線的交點(diǎn)找圓心

    當(dāng)帶電粒子通過圓形磁場(chǎng)區(qū)后又通過無場(chǎng)區(qū),如果只知道射入和射出時(shí)的速度的方向和射入時(shí)的位置,而不知道射出點(diǎn)的位置,應(yīng)當(dāng)利用角的平分線和半徑的交點(diǎn)確定圓心。

    例1.一質(zhì)量為m,帶電量為+q 的粒子以速度v 從O點(diǎn)沿y 軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,磁場(chǎng)方向垂直紙面向外,粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后,從B 處穿過x軸,速度方向與x 軸正方向的夾角為30°,同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為E、方向沿與x軸負(fù)方向成60°角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,通過了B點(diǎn)正下方的C點(diǎn)。如圖示4所示,不計(jì)重力,試求:

    (1)圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積;

    (2)C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離h。

    解析:(1)反向延長νb交y軸于O2點(diǎn),作∠BO2O的角平分線交x軸于O1,O1即為圓運(yùn)動(dòng)軌道的圓心,OO1即為圓運(yùn)動(dòng)軌道的半徑,

    方法四:兩洛侖茲力作用線的延長線的交點(diǎn)即為圓心

    例1. 如圖所示,有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)電子動(dòng)量為P,電荷量為e,在A、C點(diǎn),所受洛侖茲力的方向如圖9所示。已知,求電子從A運(yùn)動(dòng)到C的過程中的偏轉(zhuǎn)角。

    解析:A、C為圓周上的兩點(diǎn),做洛侖茲力作用線的延長線,交點(diǎn)O即為電子的圓周軌跡的圓心。以O(shè)為圓心、R=OA為半徑作出電子從A到C的運(yùn)動(dòng)軌跡,標(biāo)出電子在A、C兩點(diǎn)的速度方向,它們的夾角即為偏轉(zhuǎn)角θ,如圖10所示。由幾何關(guān)系有:

    sin(θ/2)=(d/2)/R

    由牛頓第二定律及洛侖茲力公式有

    eνB=mν2/R

    由動(dòng)量的定義式有

    P=mν

    由以上三式解得

    θ=2arcsin[(deB)/2P]

    對(duì)復(fù)雜的問題,還可將上述三種方法綜合運(yùn)用。

    (作者單位:四川省南部中學(xué) 637300)

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