對(duì)“格子布·棋”問(wèn)題的討論

徐小軍

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；“格子布·棋”問(wèn)題；討論

【中圖分類號(hào)】 G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號(hào)】 1004—0463（2016）10—0088—01

一、“格子布·棋”介紹

如圖1所示為8×8的“格子布棋”棋盤，比賽中以一個(gè)五子棋為棋子，起點(diǎn)在左上方，終點(diǎn)在右下方。從起點(diǎn)開始，兩個(gè)參賽者互為對(duì)手按照先后順序輪流下棋，每人每次只能走一格，且方向只能向下、向右或斜向下，首先到達(dá)終點(diǎn)者贏得比賽。

二、“格子布·棋”相關(guān)問(wèn)題分析

關(guān)鍵一：好點(diǎn)。好點(diǎn)就是在比賽過(guò)程中，如果能先踩到這些點(diǎn)中的一個(gè)，按照一定的方向和規(guī)律，無(wú)論對(duì)方怎么走，本方就可以一直踩到好點(diǎn)，直到最后先到達(dá)終點(diǎn)贏得比賽。要贏得比賽，必須本方先到達(dá)終點(diǎn)，因此終點(diǎn)一定是一個(gè)好點(diǎn)。在本方到達(dá)終點(diǎn)前，本方可能有三個(gè)位置，就是離終點(diǎn)最近的那三個(gè)點(diǎn)，利用這種逆向分析的方法從終點(diǎn)向前倒推兩步，如果本方先搶到A點(diǎn)（如圖2所示），則對(duì)方只能向下，本方接著向下就可以贏得比賽，因此A點(diǎn)為一個(gè)好點(diǎn)。同理B、C兩點(diǎn)也為好點(diǎn)（如圖3所示）。通過(guò)觀察和分析發(fā)現(xiàn)A、B、C和終點(diǎn)都為“好點(diǎn)”，且在同一個(gè)“田字格”的四個(gè)頂點(diǎn)上，據(jù)此可以猜想其他好點(diǎn)也應(yīng)該有相似的位置特點(diǎn)。

關(guān)鍵二：順序。尋找完好點(diǎn)的后，又有一個(gè)新的問(wèn)題出現(xiàn)：如何才能夠在一開始就踩到好點(diǎn)了？讓對(duì)方先走，對(duì)方向下，本方向下踩到好點(diǎn)，對(duì)方向右，本方向右踩到好點(diǎn)，對(duì)方斜向下，本方斜向下踩到好點(diǎn)，無(wú)論哪種情況本方都可以踩到好點(diǎn)并一直延續(xù)下去并贏得比賽。

關(guān)鍵三：線路。根據(jù)以上分析，讓對(duì)方先走，且本方只是一次先踩到好點(diǎn)不足以保證贏得比賽，還有一個(gè)很重要的因素，要一直都踩在好點(diǎn)上，不能給對(duì)方踩到好點(diǎn)的機(jī)會(huì)。如何才能一直踩到好點(diǎn)了？當(dāng)本方踩到好點(diǎn)，對(duì)方有三種走的可能，向下，向右和斜向下，當(dāng)對(duì)方向下時(shí)，要踩到好點(diǎn)，本方必然要向下，因?yàn)樵谝徊街畠?nèi)只有向下有一個(gè)好點(diǎn)，同理，當(dāng)對(duì)方向右和斜向下時(shí)，本方也只能向右和斜向下，才能保證踩到下一個(gè)好點(diǎn)。

因此，贏得比賽的秘訣就是將幾個(gè)關(guān)鍵綜合起來(lái)，即讓對(duì)方先走，本方的路線和對(duì)方始終保持一致。

三、改變條件，拓展探索

1. 改變起點(diǎn)位置。如圖4所示，以第一個(gè)“田字格”為例分析：起點(diǎn)為D、E、F和G點(diǎn)，本方先走。起點(diǎn)為D和F點(diǎn)，第一步向右、起點(diǎn)為E和G點(diǎn)，第一步向下、以后按照跟隨策略進(jìn)行，則贏得比賽。

起點(diǎn)為H點(diǎn)。若對(duì)方先走，方向向下則本方向右，對(duì)方方向向右則本方向下；若本方先走，則第一步斜向下。之后都按照跟隨策略進(jìn)行，則贏得比賽。

其他情況。棋盤實(shí)際上是由“田字格”組成的，棋盤中的每一個(gè)“田字格”都是相似的，棋盤中的其他點(diǎn)的走法都可以和第一個(gè)“田字格”類比得出具體走法。

實(shí)際上，不管起點(diǎn)怎么變化，贏得比賽的關(guān)鍵是根據(jù)棋盤中的“田字格”上的好點(diǎn)位置，尋找與起點(diǎn)與最近的好點(diǎn)，并根據(jù)起點(diǎn)與好點(diǎn)之間的格數(shù)判斷先走還是后走，根據(jù)起點(diǎn)與好點(diǎn)的方位確定走的方向。

2. 改變布的格子數(shù)。根據(jù)前面的分析，棋盤是由若干“田字格”組成的，如何改變格子數(shù)，棋盤可能還是由若干“田字格”組成，也可能是若干“田字格”組成和一列格子組成，也可能是由若干“田字格”和一行格子組成的。改變格子布的格子數(shù)，無(wú)論改變后的格子數(shù)是什么樣的，或者是格子數(shù)為5×8，或者格子數(shù)為8×5，或者格子數(shù)為6×6、5×5等等（如下圖所示），還是將棋盤格子數(shù)改變?yōu)?n×2n、（2n-1）×（2n-1）、（2n-1）×2n或2n×（2n-1）（n>0的自然數(shù)）其贏得比賽的關(guān)鍵是確定新的棋盤的“田字格”，以此為依據(jù)確定起點(diǎn)距離“田字格”中好點(diǎn)的距離和方位，進(jìn)而確定下棋的先后順序及方向。

總之，改變起點(diǎn)和改變格子數(shù)本質(zhì)是一樣的，要贏得比賽，其關(guān)鍵還是先確定棋盤的“田字格”，并以此為依據(jù)確定起點(diǎn)距離“田字格”中好點(diǎn)的距離和方位，進(jìn)而確定下棋的先后順序及方向。這是此類問(wèn)題解決本質(zhì)所在。

編輯：謝穎麗