等價(jià)無(wú)窮小替換求極限的推廣及應(yīng)用

蘇燕玲

【摘要】 等價(jià)無(wú)窮小替換是求函數(shù)極限的重要方法之一，掌握好該方法的使用條件，往往能大大減少某些函數(shù)極限的計(jì)算量，達(dá)到事半功倍的效果，本文在等價(jià)無(wú)窮小替換定理的基礎(chǔ)上，給出了和差結(jié)構(gòu)等價(jià)無(wú)窮小替換的條件，推廣了等價(jià)無(wú)窮小替換求極限的方法.

【關(guān)鍵詞】 極限;等價(jià)無(wú)窮小替換

一、積商結(jié)構(gòu)等價(jià)無(wú)窮小替換規(guī)則

定理1 ?設(shè)α，β是自變量同一變換過(guò)程中的無(wú)窮小，且 α～α′，β～β′，又極限lim α′ β′ =A（或∞），則lim α β =lim α′ β′ =A （ 或∞ ）.

該定理告訴我們，在求函數(shù)商的結(jié)構(gòu)極限時(shí)，若分子分母都是無(wú)窮小，則可以用其等價(jià)無(wú)窮小代替，函數(shù)的極限不變.

推論1 ?因式代替規(guī)則

設(shè)α，β是自變量同一變換過(guò)程中的無(wú)窮小，且α～β， φ（x） 為函數(shù)，且limβφ（x）存在，則limαφ（x）=limβφ（x）.

由定理1及其推論可知，若函數(shù)的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，函數(shù)的極限不變.

二、和差結(jié)構(gòu)代替規(guī)則

定理2 ?設(shè)α，β是自變量同一變換過(guò)程中的無(wú)窮小，又α～α′，β～β′，當(dāng)lim α β =C（或lim α β =∞），

且C≠-1時(shí)，則有α+β～α′+β′.

證明 ?因?yàn)棣痢痢洌隆隆洌?/p>

所以α=α′+o（α′），β=β′+o（β′），

lim α+β α′+β′ =lim α′+o（α′）+β′+o（β′） α′+β′

=lim α′+β′+o（α′）+o（β′） α′+β′

=lim 1+ o（α′） α′+β′ + o（β′） α′+β′? ，

其中l(wèi)im o（α′） α′+β′ =lim? o（α′）?? 1+ β′ α′? ，

因?yàn)閘im α β =C≠-1，所以lim α′ β′ =C≠-1，

從而lim o（α′） α′+β′ =lim? o（α′）?? 1+ β′ α′? = 0 1+C =0.

當(dāng)lim α β =∞時(shí)，lim β α =lim β′ α′ =0，

lim o（α′） α′+β′ =lim? o（α′）?? 1+ β′ α′? = 0 1 =0.

同理可證，當(dāng)lim α β =C（或lim α β =∞）時(shí)，

lim o（α′） α′+β′ =0，

從而有α+β～α′+β′.

推論1 ?設(shè)α，β是自變量同一變換過(guò)程中的無(wú)窮小，又α～α′，β～β′，當(dāng)lim α β =C（或lim α β =∞），且C≠1時(shí)，有α-β～α′-β′.

推論2 ?設(shè)α，β是自變量同一變換過(guò)程中的無(wú)窮小，且β=o（α），則α±β～α.

證明 ?因?yàn)棣?o（α），所以lim β α =0≠1，滿足定理2及其推論的條件，即lim α±β α =1.

由定理2及其推論可知，在分子分母為和差結(jié)構(gòu)的情況下，當(dāng)分子分母滿足定理2及其推論的條件下，也可以分別用等價(jià)無(wú)窮小代替簡(jiǎn)化極限計(jì)算.

定理3 ?設(shè)α，β，γ是自變量同一變換過(guò)程中的無(wú)窮小， 又α～α′，β～β′，γ～γ′，且滿足lim α β =C 1≠-1，lim α+β γ = C 2≠ -1，則當(dāng)C 1≠-1，C 2≠-1時(shí)，有α+β+γ～α′+β′+γ′.

該結(jié)論也可推廣到有限個(gè)或無(wú)窮個(gè)和的情形，即有如下結(jié)論.

定理4 ?設(shè)無(wú)窮小

α 1～α 1′，α 2～α 2′，…，α k～α k′，且lim α 1 α 2 ≠-1， lim α 1+α 2 α 3 ≠ -1，…，lim α 1+α 2+…+α ?k-1 ?α k ≠-1，則有 α 1+ α 2+…+α k～α 1′+α 2′+…+α k′，k≥2.

證明：由定理2可知k=2時(shí)成立，假設(shè)k=m成立，

即α 1+α 2+…+α m～α 1′+α 2′+…+α m′，α ?m+1 ～α ?m+1 ′，lim α 1+α 2+…α m α ?m+1 ?≠-1，

由定理2可知?jiǎng)t有α 1+α 2+…+α m+α ?m+1 ～α 1′+ α 2′+ …+α m′+α ?m+1 ′，m≥2.

求極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，等價(jià)無(wú)窮小替換是求函數(shù)極限的重要方法，使用中要注意代替的條件，使用得當(dāng)就能夠簡(jiǎn)化函數(shù)極限計(jì)算，起到事半功倍的作用，如果不注意使用條件，想當(dāng)然地看到無(wú)窮小就代替就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]尤曉琳.極限的等價(jià)無(wú)窮小替換研究[M].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（3）：4-6.