點(diǎn)擊高考中的函數(shù)問題

葉海明

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）18-0083-02

函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)知識，試題涉及函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)與方程的根、導(dǎo)數(shù)與不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用及推理、探究能力?？陀^題中主要考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，中等難度為主。壓軸題中重點(diǎn)考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用。

一、關(guān)注函數(shù)的定義域

函數(shù)問題要先明確函數(shù)的定義域，要正確把握基本初等函數(shù)的定義域，尤其關(guān)注對數(shù)函數(shù)及根式與分式有意義的條件，直接考查定義域的題目，多出現(xiàn)在客觀題中，屬中等難度。但在函數(shù)問題中，如求單調(diào)區(qū)間及判斷函數(shù)的奇偶性問題中，往往容易忽略要先求函數(shù)的定義域，導(dǎo)致解題的失誤，要切記函數(shù)的第一步是求定義域。

例1：函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)?。

本題綜合了對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、根式三個(gè)知識點(diǎn)，考查了根式、對數(shù)有意義的條件及對數(shù)不等式、一元二次不等式。由ln（2x2-x）≥0，可得定義域?yàn)椋?∞，-0.5]∪[1，+∞）。

例2：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)?。

抽象函數(shù)的定義域就是要關(guān)注f（x）中的x等價(jià)于f（2x+1）中的2x+1，則2x+1的取值范圍為（-1，0），可得所求的定義域?yàn)椋?1，-0.5）。變式：已知函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)?，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?。

二、關(guān)注函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的基本性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性，經(jīng)常以基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及抽象函數(shù)為載體來進(jìn)行考查，考題主要涉及兩個(gè)方面：一是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的判斷；二是函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的簡單應(yīng)用。多為客觀題，屬中等難度。

例3：函數(shù)f（x）=|ln（2-x）|的單調(diào)遞增區(qū)間為 。

本題是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，綜合考查對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)及分段函數(shù)，先求函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，2），對ln（2-x）進(jìn)行分類討論，脫去絕對值，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知所求的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的口訣要切記：同號為正，異號為負(fù)。本題也可以利用函數(shù)圖像的變換，作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像特征來判斷函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

例4：奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+2），為偶函數(shù)f（1）=1，則f（8）+f（9）= 。

偶函數(shù)f（x+2）關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2對稱，因?yàn)槠婧瘮?shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱，作出函數(shù)f（x）的簡圖，可知函數(shù)f（x）的周期為8，則f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，所以f（8）=f（9）=1。函數(shù)的基本性質(zhì)既有定義，又有圖像特征，借助函數(shù)的圖像特征，可以化繁為簡，降低解題難度，這也是數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的一個(gè)應(yīng)用。

例5：設(shè)a=0.60.4，b=0.40.6，c=0.40.4，則a，b，c的大小關(guān)系為 。

構(gòu)造函數(shù)y=0.6x，y=0.4x，并作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，并找到a，b，c三個(gè)數(shù)，可以得出a>c>b。利用函數(shù)圖像來比較數(shù)的大小，形象且直觀。若a=log2%i，b=log0.5%i，c=%i-2，情況如何呢？構(gòu)造函數(shù)y=log2x，y=log0.5x，y=%ix，并作出三個(gè)函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)a>0、b<0、c>0，則b最小，a、c不好判斷，這時(shí)通常就要借助1作為中間量來進(jìn)行比較，易得a>1、c<1，所以a>c>b。比較數(shù)的大小，本質(zhì)上是在考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，通過函數(shù)的圖像就可以比較出數(shù)的大小，若不好比較，借助一個(gè)常數(shù)（通常為1）就可以解題。

三、關(guān)注函數(shù)的零點(diǎn)

例6：已知函數(shù)f（x）=2x+x3-2，在下列區(qū)間中，包含f（x）的零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）。

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

判斷零點(diǎn)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)，可以直接利用零點(diǎn)存在性定理，將區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式，只要對應(yīng)的函數(shù)值異號，就可以判斷函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)。變式：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是多少個(gè)？零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，要構(gòu)造函數(shù)：y=2x與y=-x3+2，并作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，兩個(gè)函數(shù)的圖像在區(qū)間（0，1）內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)，則零點(diǎn)個(gè)數(shù)也是1個(gè)。

四、關(guān)注恒成立及存在性問題

例7：若[1，2]內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，使不等式2x（x-a）<1恒成立，求a的取值范圍。

函數(shù)恒成立問題要將參數(shù)與變量分離，可得a>x-0.5x，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-0.5x，因?yàn)閍>x-0.5x恒成立，則a大于函數(shù)f（x）的最大值。因?yàn)閥=x為增函數(shù)，y=0.5x為減函數(shù)，所以f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，則f（x）的最大值為1.75，故a>1.75。變式：若存在[1，2]內(nèi)的實(shí)數(shù)x，使不等式2x（x-a）<1成立，求a的取值范圍。變式是存在性問題，存在性問題與恒成立問題剛好相反，此時(shí)要使a>x-0.5x成立，則a大于函數(shù)f（x）的最小值，可知f（x）的最小值為0.5，故a>0.5。恒成立與存在性問題要注意二者的區(qū)別：（1）若f（x）≤a恒成立，則fmax≤a；若f（x）≤a有解，則fmin≤a；（2）若f（x）≥a恒成立，則fmin≤a；若f（x）≤a有解，則fmax≤a，可以發(fā)現(xiàn)尋找的最值情況剛好相反，不能混淆。

例8：若函數(shù)f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，則k的取值范圍為 。

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）=k-≥0在（1，+∞）上恒成立，即k≥在x∈（1，+∞）上恒成立。因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以k的取值范圍為k≥1。本題是用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)性問題，同時(shí)也是恒成立問題。用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，須注意若求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，則令f '（x）>0，但若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）單調(diào)遞增，則f '（x）≥0在區(qū)間（a，b）恒成立，單調(diào)遞減情況類似。

函數(shù)問題要關(guān)注定義域，解題過程中要注意函數(shù)圖像的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用會給解題帶來很大的便利，導(dǎo)數(shù)為研究函數(shù)的性質(zhì)提供了新的工具，也是解決函數(shù)主觀題的主要工具，恒成立及存在性問題的基本思路是通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。