“詭辯”反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

楊海燕　常健　李姣

摘 要：借助“詭辯”創(chuàng)造性地生成教學(xué)反例，從中設(shè)置一些有思維挑戰(zhàn)的“陷阱”，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)錯誤的過程中正確地建構(gòu)知識。

關(guān)鍵詞：詭辯；教學(xué)反例

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，源于原有知識和經(jīng)驗的不同、認(rèn)知策略和思維方式的差異，在建立心理表征的過程中常常存在一些非標(biāo)準(zhǔn)甚至錯誤的觀念.[1]這些錯誤認(rèn)識都是建構(gòu)活動的產(chǎn)物，對此數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)給予重視。

老師應(yīng)把錯誤的知識從學(xué)生的頭腦中“挖”出來，通過適當(dāng)?shù)馁|(zhì)疑或反例的設(shè)計引起學(xué)生的觀念沖突，最后提供正確的解釋，幫助學(xué)生進(jìn)行正確和錯誤的對比，從而形成正確表征，以幫助學(xué)生更好地建構(gòu)知識.“詭辯”再創(chuàng)造是實現(xiàn)該目標(biāo)的有效措施。

所謂詭辯就是有意把真理說成謬誤，簡言之，就是有意顛倒是非、混淆黑白.借助“詭辯”，主觀主義的玩弄一些概念，創(chuàng)造性地設(shè)計為詭辯案例，讓學(xué)生在案例中分析錯誤，研究錯誤，參與錯誤的發(fā)現(xiàn)，并對其進(jìn)行糾正，不僅能解決學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難，而且能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性.如下是生成詭辯教學(xué)案例的策略。

一、置詭辯于“思維陷阱”中

對于學(xué)生對某些數(shù)學(xué)概念、公式等方面理解不透徹，而表現(xiàn)在判斷、推理、論證及解題上的失誤現(xiàn)象，教師可以有的放矢地編寫一些具有迷惑性的題目，故意在易錯環(huán)節(jié)上設(shè)置“陷阱”，誘導(dǎo)學(xué)生誤入歧途，制造思維沖突，誘發(fā)靈感，產(chǎn)生真知，從而提高自我監(jiān)控能力。如下例：

案例1：若，求的最小值及最大值。

錯解：，故，所以

令，則，而對稱軸為，所以時，而不存在。

學(xué)生吃驚，最大值不存在，是題錯了？

分析：錯解中故意忽略的條件，換元后直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解，有界性往往隱含在題目中，類似的有偶此方，指數(shù)函數(shù)圓錐曲線有界性等。

正解：因，故，所以有

令，則，故，而對稱軸為，所以當(dāng)時，

，當(dāng)時，。

設(shè)計意圖：基于學(xué)生對某些概念、法則、定理、公式等認(rèn)識不夠全面，在判斷、推理、論證及解題上頻頻出錯的現(xiàn)象，教師故意在易錯環(huán)節(jié)上“挖坑”，誘導(dǎo)學(xué)生誤入歧途，讓學(xué)生在思維沖突中提高邏輯思維能力.題目中的細(xì)枝末節(jié)往往決定是否能正確的解題.而學(xué)生在解題時易忽視這些細(xì)節(jié)，走入思維陷阱，出現(xiàn)如上例的荒唐錯誤。本案例以一易出錯的例子和忽視的錯解告誡學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的重要性。數(shù)學(xué)中“因小失大”的例子很多，本例只起拋磚引玉的作用，教師可以歸類，以這樣的方式講解常出現(xiàn)思維陷阱的習(xí)題有較強(qiáng)的說服力，還可以收到好的教學(xué)效果。

二、置詭辯于“思維定勢”中

學(xué)生在學(xué)習(xí)中難免會記憶數(shù)學(xué)模式，形成定勢思維，養(yǎng)成機(jī)械解決問題的習(xí)慣，對于剛學(xué)的公式、定理，學(xué)生往往容易思路單一，思維僵化，無論什么樣的問題，不假思索的生搬硬套.比如剛學(xué)會利用基本不等式求最值的方法，學(xué)生沒有形成每用一次基本不等式就要驗證等號成立條件的意識，犯如下錯誤：

案例2已知求的最小值。

錯解：=

=8

所以，的最小值是8。

初學(xué)不等式的學(xué)生會感覺解題過程完美無缺，怎么會是錯解呢？

分析：用基本不等式解題需要三個條件，一正，二定，三相等，只有滿足條件才可使用。錯解中想當(dāng)然地利用不等式解題，看似符合思維，卻忽略了本質(zhì)的東西。

正解：原式==

=4

=

由得，又因，所以+117，則原式（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以，原不等式的最小值是。

設(shè)計意圖：這樣的錯誤就是在學(xué)生剛學(xué)基本不等式時忽略不等式成立的條件經(jīng)常出錯的地方，解本題需要使用兩次不等式，第一次等號成立的條件是，第二次等號成立的條件是。顯然兩個條件是不能同時成立的。通過分析，讓學(xué)生初步了解不等式使用的條件，不至于下次盲目使用。

教學(xué)中，若總是無誤地傳授知識，學(xué)生會產(chǎn)生無條件接受心理，從而抑制了學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)欲望。因此，“錯誤”也不可怕，把詭辯反例引入課堂教學(xué)，學(xué)生可以在分析錯誤，研究錯誤的過程中產(chǎn)生質(zhì)疑，從而驅(qū)動主體積極主動地思考思維對象的正確性及其依據(jù)，以引導(dǎo)學(xué)生定向探究和反思，這樣可以加深學(xué)生對知識的理解，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊紅慶，李燕妮，董文軍.中學(xué)教育心理學(xué)[M].西安：西北大學(xué)出版社，2011：43-46.

[2]吳建春.用再創(chuàng)造原則指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)[D].福建：福建師范大學(xué)，2008.

（作者單位：延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院）