概率與統(tǒng)計(jì)典例及其變式探究

劉族剛　寇玉琴

[概率事件]

例[1] 如圖1，并聯(lián)電路中元件[a，b]在某段時(shí)間內(nèi)接通的概率分別為[p1，p2，]且元件[a，b]接通與否互不影響，求此并聯(lián)電路接通的概率.

解析 設(shè)在某段時(shí)間內(nèi)元件[a，b]接通的事件分別為[A，B，]因?yàn)樵a，b]接通與否互不影響，所以[A，B]相互獨(dú)立，且[P（A）=p1，P（B）=p2].

方法一：（利用互斥事件解題）此并聯(lián)電路要被接通，則元件[a，b]至少一個(gè)接通，則此電路被接通的事件為[A?B+A?B+A?B.]

由于[A?B，A?B，A?B]互斥，

則[P（A?B+A?B+A?B）][=P（A?B）][+P（A?B）+P（A?B）]

[=P（A）P（B）+P（A）P（B）+P（A）P（B）]

[=p1（1-p2）+（1-p2）p1+p1p2][=p1+p2-p1p2].

方法二：（利用和事件解題）此并聯(lián)電路要被接通，則元件[a]通或元件[b]通，故此并聯(lián)電路被接通的事件為[A+B，]則[P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A?B）=P（A）+P（B）-P（A）?][P（B）][=p1+p2-p1p2].

方法三：（利用對(duì)立事件解題）此并聯(lián)電路被斷開(kāi)的事件為[A?B]，由于[A，B]相互獨(dú)立，則[A，B]也相互獨(dú)立，從而此并聯(lián)電路被接通的概率為[1-P（A?B）=1-P（A）?P（B）][=1-（1-p1）（1-p2）=p1+p2-p1p2.]

點(diǎn)撥 本題三種解法體現(xiàn)了集合“容斥原理”“互斥事件”“和事件”等知識(shí)的交融. 從結(jié)構(gòu)化的角度看“集合”“簡(jiǎn)易邏輯”與“概率”，三者在概念、運(yùn)算及其性質(zhì)等方面有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 研究它們之間的聯(lián)系，有益于我們從不同角度觀察數(shù)學(xué)的各個(gè)模塊或分支，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知.

變式1 用[2n]個(gè)相同的元件組成一個(gè)系統(tǒng)，按先串聯(lián)后并聯(lián)（如圖2）的方式連接，如果每個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，且每個(gè)元件能正常工作的概率為[p].求此系統(tǒng)正常工作的概率[P].

解析 [n]個(gè)相同元件串聯(lián)構(gòu)成的“子系統(tǒng)”正常工作時(shí)必須每一個(gè)元件都正常，故此“子系統(tǒng)”正常工作的概率為[pn.] 由此可知，由兩個(gè)這樣的“子系統(tǒng)”并聯(lián)組成的該系統(tǒng)正常工作的概率為[P=1-（1-pn）2=2pn-p2n].

變式2 用[2n]個(gè)相同的元件組成一個(gè)系統(tǒng)，按先并聯(lián)后串聯(lián)（如圖3）的方式連接，如果每個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，且每個(gè)元件能正常工作的概率為[p]. 求此系統(tǒng)正常工作的概率[P].

解析 由例1知，兩個(gè)元件并聯(lián)構(gòu)成的“子系統(tǒng)”能正常工作的概率為[1-（1-p）2=2p-p2][=p（2-p）]，所以[n]個(gè)這樣的“子系統(tǒng)”串聯(lián)組成的該系統(tǒng)正常工作的概率為[P=[p（2-p）]n].

點(diǎn)撥 將[n]個(gè)元件串聯(lián)而成的子系統(tǒng)分別當(dāng)作例1中的元件[a，b]就成了變式1. 因此，變式1是例1的引申，而變式2則是例1的應(yīng)用.

[概率模型]

例2 給定正數(shù)[6]，然后隨意寫(xiě)出兩個(gè)小于[6]的正整數(shù)（這兩個(gè)數(shù)可以相等），求這兩個(gè)數(shù)與[6]一起能構(gòu)成銳角三角形的概率.

分析 從[1，2，3，4，5]中取出的兩個(gè)數(shù)可以相等，故這是一個(gè)有放回的抽樣，“隨意寫(xiě)出”說(shuō)明事件是等可能的，故本題是一個(gè)“古典概型”.

解 設(shè)取出的兩個(gè)數(shù)為[（m，n），]則[m，n∈1，2，3，4，5]，共有[5×5=25]種取法，即[（1，1）]，[（1，2）][（1，3）]，[（1，4）]，[（1，5）]，[（2，1）][（2，2）]，…，[（5，5）]，取到每一種的可能性相同，能夠構(gòu)成銳角三角形的只有[（4，5）]，[（5，4）]，[（5，5）]三種，所以這兩個(gè)數(shù)與[6]一起能構(gòu)成銳角三角形的概率為[P=325.]

變式1 給定正數(shù)[6]，然后隨意寫(xiě)出兩個(gè)小于[6]的正實(shí)數(shù)（這兩個(gè)數(shù)可以相等），求這兩個(gè)數(shù)與[6]一起能構(gòu)成銳角三角形的概率.

解析 設(shè)寫(xiě)的兩個(gè)數(shù)為[x，y]，依題意知[x，y]要滿足[0而[x，y，6]能構(gòu)成銳角三角形（其中[6]為最大的邊），應(yīng)滿足的條件是[0