例談求解平面向量數(shù)量積的方法和策略

馮平

平面向量數(shù)量積的運算一直是高考熱點內(nèi)容，它在處理線段長度、垂直等問題的方式方法上尤為有突出的表現(xiàn)，而正確理解數(shù)量積的定義和幾何意義是求解的關(guān)鍵，同時平面向量數(shù)量積的運算結(jié)果是實數(shù)而不是向量，因此要注意數(shù)量積運算和實數(shù)運算律的差異，本文將借助平面向量數(shù)量積的定義和幾何意義、借助零向量、借助平行向量與垂直向量、借助轉(zhuǎn)化基底法和借助坐標系利用坐標運算來例談求解向量數(shù)量積運算的方法和策略.

一、借助定義和幾何意義直接求解數(shù)量積

例1 若向量a，b滿足|a| = |b| = 1，a，b的夾角為60°，則a·a + a·b = ______.

解析 根據(jù)數(shù)量積的定義：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos θ叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：a·b，即a·b = |a||b|cos θ（規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量）. 得a·a + a·b = 1 × 1 + 1 × 1 × cos60° = .

例2 如圖， 已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是 （ ）.

A. · B. ·

C. · D. ·

解析 選項中均有向量 ，根據(jù)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a上的投影的乘積知，要找 · （i = 3，4，5，6）的最大值，只需求 （i = 3，4，5，6）在 方向上的投影最大即可，畫圖可知只有 在 方向上的投影最大，故最大選A.

點評 若借助定義求解平面向量數(shù)量積時要注意弄清楚兩向量的夾角和模長；若借助幾何意義求解平面向量數(shù)量積時要注意數(shù)量積的幾何意義就是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.

二、借助零向量求解數(shù)量積

例3 已知△ABC中， = a， = b， = c，若a·b = b·c = c·a，求證：△ABC為正三角形.

證明：∵ b·c = c·a，∴ c（b - a） = 0，又∵ a + b + c = 0，c = -（a + b），

故-（a + b）（b - a） = 0， 知a = b， 同理可知b = c，故a = b = c ， 得證.

例4 已知平面上三點A、B、C滿足| | = 3，| | = 4，| | = 5，則 · + · + · 的值等于 .

解析 注意到∵ + + = 0，兩邊平方得

| |2 + | |2 +| |2 + 2 · + 2 · + 2 · = 0

所以 · + · + · = -25.

點評 借助零向量即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理使用向量的移項以及平方等變形，求解數(shù)量積.

三、借助平行向量與垂直向量求解數(shù)量積

例5 如圖，在Rt△ABC中，已知BC = a，若長為2a的線段PQ以點A為中心，問 與 的夾角θ取何值時 · 的值最大？并求出這個最大值

解析 ∵ ⊥ ∴ · = 0

又∵ = - ， = - ， = - ，

∴ · = （ - ）·（ - ） = · - · - · + ·

= -a2 - · + · = - a2 + （ - ） = - a2 + · .

∴當(dāng)cos θ = 1，即 θ = 0（ 與 方向相同）時， · 最大，最大值為0.

點評 借助平行向量與垂直向量即借助向量的拆分，將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直條件關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積，借助a⊥b，則a·b = 0等解決問題.

四、借助轉(zhuǎn)化基底法求解數(shù)量積

例6 如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB = 8，AD = 5， = 3 ， · = 2，則 · 的值是________.

解析 由 = 3 ，得 = = ， = + = + ， = - = + 14 - = - . 因為 · = 2，所以 + · - = 2，即 2 - · - 2 = 2. 又因為 2 = 25， 2 = 64，所以 · = 22

點評 借助轉(zhuǎn)化基底法即將待求向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為題目中能求解的數(shù)量積. 一般當(dāng)向量的?；驃A角不明確，且建立直角坐標系后，相關(guān)點的坐標不易求出. 而題目已知兩條線段長或一條線段長和以此線段為一邊的角度時，常常以這兩個向量作為平面上所有向量的一組基底（據(jù)平面向量基本定理易得），將要求的向量用這組基底表示出來.

結(jié)束語

綜上所述，平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)模和夾角，二是利用坐標運算，向量的幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”以及它的一套優(yōu)良的運算系統(tǒng)使它成為“重要工具”和“橋梁”，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇（注：有時同一個題目可以用兩種形式來求解）. 在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生理解并掌握平面向量數(shù)量積，教會學(xué)生在不同的條件下怎樣正確地使用這些知識. 經(jīng)過長期培養(yǎng)，學(xué)生就能夠全面地看待問題，由此提高解決平面向量題的效率.