大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的幾個(gè)導(dǎo)入技巧與實(shí)例

劉海玉

摘要：基于大學(xué)數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)和大學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)課堂教學(xué)導(dǎo)人的重要性與作用進(jìn)行了探討。介紹了大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的幾個(gè)導(dǎo)入技巧與教學(xué)實(shí)例。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；導(dǎo)入技巧；教學(xué)實(shí)例

中圖分類號(hào)：G642.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-7394（2016）02-0105-04

大學(xué)數(shù)學(xué)作為普通高等院校的基礎(chǔ)課程，因其概念抽象、理論繁多等特點(diǎn)，常常使學(xué)生感到枯燥乏味，提不起學(xué)習(xí)的興趣。這一問題的一個(gè)重要體現(xiàn)是，大學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上聽課不專心，缺乏與教師的交流互動(dòng)。因此，如何激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性、提高課堂效率，是大學(xué)數(shù)學(xué)教師面臨的一大問題。

常言道：“好的開始是成功的一半！”因此，對(duì)一堂課來說，課堂教學(xué)導(dǎo)入是關(guān)系到這堂課成功與否的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。將數(shù)學(xué)概念的背景知識(shí)作為課堂教學(xué)的導(dǎo)入內(nèi)容，是一種常用的辦法，也是一種方便的辦法。因?yàn)樵诖髮W(xué)開設(shè)的大部分?jǐn)?shù)學(xué)課程中，很多概念都有一些具體的知識(shí)背景。比如在“高等數(shù)學(xué)”這門課程中，很多重要的概念都有相應(yīng)的幾何背景或物理背景。這些具體的問題背景能夠使抽象的數(shù)學(xué)概念變得具體形象起來。因此如果在講授新的知識(shí)點(diǎn)之前，先介紹相關(guān)的背景知識(shí)，可以在一定程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。然而，這些相關(guān)的背景知識(shí)雖然針對(duì)性強(qiáng)，但內(nèi)容單一、缺乏新意。因此，僅利用相應(yīng)的背景知識(shí)來引入新的知識(shí)點(diǎn)常常是不夠的。本文將介紹筆者在多年的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)積累出來的一些有效的新課導(dǎo)入技巧與實(shí)例。

1 課堂教學(xué)導(dǎo)入

明朝的文人謝榛曾說：“起句當(dāng)如爆竹，驟響易徹?！币馑际侵肝恼麻_頭非常重要，要語(yǔ)出不凡，扣人心弦。不僅寫作如此，其實(shí)教學(xué)也是如此。對(duì)一堂優(yōu)質(zhì)的課來說，成功有效的課堂教學(xué)導(dǎo)入是課堂中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。所謂課堂教學(xué)導(dǎo)入是指教師在進(jìn)行新的教學(xué)內(nèi)容（每節(jié)課開始）或新的教學(xué)課題時(shí)，運(yùn)用多種方法創(chuàng)設(shè)先聲奪人、引人入勝的教學(xué)情境，來引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，消除學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的潛在矛盾，進(jìn)而把學(xué)生順利地引入到自主性學(xué)習(xí)的軌道和特定的學(xué)習(xí)方向上來，使學(xué)生由被動(dòng)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為主動(dòng)探究、合作學(xué)習(xí)的一種教學(xué)行為方式。如果在教學(xué)伊始，教師能夠用貼切而精煉的語(yǔ)言，恰當(dāng)而有效的行為，正確、巧妙地導(dǎo)入新課，那么將對(duì)整個(gè)課堂教學(xué)的成功起到事半功倍的作用。因?yàn)閮?yōu)質(zhì)的課堂教學(xué)導(dǎo)入不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)做好心理準(zhǔn)備，還能夠使學(xué)生明確學(xué)習(xí)的目標(biāo)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的效果。

2 課堂教學(xué)導(dǎo)入技巧與實(shí)例

技巧一：善用生動(dòng)比喻

用比喻法闡述道理，可以把深?yuàn)W的道理淺顯化，把抽象的事理具體化、形象化，使道理通俗易懂。對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)中很多抽象的原理、概念以及定理，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用生動(dòng)的比喻來引入，可以很好的幫助學(xué)生去理解。

案例1。在“復(fù)變函數(shù)與積分變換”這門課程的第一堂課上，筆者的“開場(chǎng)白”是：“同學(xué)們，現(xiàn)在假設(shè)讓你們將一根稻草扔到一條30m寬的河的對(duì)岸去，認(rèn)為能直接扔過去的同學(xué)請(qǐng)舉手。舉手的同學(xué)沒有幾個(gè)啊，說明大家覺得此事比較困難。那如果先將這根稻草綁在一塊石頭上，大家認(rèn)為可以扔過去嗎。哦，大部分的同學(xué)都認(rèn)為可以。說明大家覺得加了塊石頭，雖然整體變重了，但是反而好扔了。也就是說單單一根相對(duì)較輕的稻草反不如加了石頭后的稻草好扔，雖然整體變重了。這說明有些事情通過‘化簡(jiǎn)為繁可能更容易取得成功。接下來我們要學(xué)習(xí)的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”這門課程的核心內(nèi)容是兩個(gè)積分變換。而積分變換的作用，就像綁在稻草上的石頭。具體的說就是，在求解一些問題時(shí)，比如求解微分方程或積分方程，如果直接求解很困難或者不可能做到，我們便可以利用積分變換將需要求解的方程轉(zhuǎn)換為容易求解或可以求解的新方程。求出的新方程的解就是連同石頭一起扔到河對(duì)岸去的稻草。我們只需將稻草從石頭上取下來便得到我們想要的稻草了。所以為了得到原方程的解，我們只需再利用相應(yīng)的積分變換的逆變換處理一下便可以了。”

通過扔稻草這樣一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的實(shí)際事例，“復(fù)變函數(shù)與積分變換”這門課程的目的與作用便被惟妙惟肖的介紹清楚了。學(xué)生聽的也很認(rèn)真投入。

案例2。在講授向量組的極大無關(guān)組的概念時(shí)，如果先談一談?lì)伭现械摹凹t、黃、藍(lán)”三基色的作用，再借此來比喻極大無關(guān)組在向量組中的作用，那么極大無關(guān)組的作用就不言而喻了。

技巧二：講述相關(guān)故事

教師可以選用與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)并且啟發(fā)性較強(qiáng)的故事等材料來導(dǎo)入新課。以此內(nèi)容為契機(jī)，新知識(shí)在講述過程中便被潛移默化地灌輸給了學(xué)生。這種導(dǎo)課方式，主要是利用學(xué)生愛聽故事等特點(diǎn)來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。與數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)家有關(guān)的故事有很多。從中選取一些既有趣又和授課內(nèi)容密切相關(guān)的小故事來開始一堂課，不失為一種很好的做法。

案例3。筆者在講授數(shù)學(xué)期望這一概念時(shí)，總喜歡先給學(xué)生講一個(gè)故事：“概率論被稱為‘賭博起家的理論。概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)中葉，是一門比較古老的數(shù)學(xué)學(xué)科。有趣的是，盡管任何一門數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生與發(fā)展都不外乎是生產(chǎn)、科學(xué)或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的推動(dòng)，然而概率論的產(chǎn)生，卻起始于對(duì)賭博的研究。十七世紀(jì)中葉，一位賭徒向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱已久的分賭本問題：‘甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50法郎，每局中無平局。他們約定賭5局，并且誰(shuí)先贏3局便是贏家，得全部賭本。當(dāng)甲贏了2局，乙贏了1局時(shí)因故終止賭博，問應(yīng)當(dāng)如何分賭本？對(duì)于這個(gè)問題，首先大家認(rèn)識(shí)到：平均分對(duì)甲不公平，全部歸甲對(duì)乙不公平。合理的分法是按一定的比例來分。于是問題的焦點(diǎn)是按怎樣的比例來分。以下有兩種分法：（1）基于已賭局?jǐn)?shù)，甲得100法郎的2/3，乙得100法郎的1/3；（2）1654年法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡同費(fèi)馬討論后提出如下分法：設(shè)想再賭下去，不外乎以下四種情形之一：（贏的情況）甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。因?yàn)橘€技相同，所以再賭下去甲有3/4的可能性贏得賭局，而乙只有1/4的可能性贏得賭局。綜上分析，所以帕斯卡認(rèn)為甲的期望所得為3/4×100=75，即甲得75法郎，乙得25法郎。這種分法既考慮了已賭局?jǐn)?shù)，也包括了對(duì)再賭下去的一種‘期望。顯然第二種分法更為合理。這就是概率論的第一基本概念，也是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——數(shù)學(xué)期望的由來?！?/p>

這個(gè)故事不僅生動(dòng)有趣，更是與新課內(nèi)容有緊密的聯(lián)系，可以很好的啟發(fā)學(xué)生。

技巧三：巧妙激疑鋪墊

根據(jù)新課內(nèi)容，教師課前設(shè)計(jì)好與新課相關(guān)的問題。通過設(shè)問，自問自答，或者提問，由學(xué)生回答，也是一種簡(jiǎn)便易行的導(dǎo)課方法。需要注意的是，所提的問題要對(duì)正文內(nèi)容有鋪墊引導(dǎo)作用，切不可為了問而問。

案例4。很多教材在介紹定積分的概念時(shí)，都是直接將計(jì)算曲邊梯形面積的問題作為背景，而并沒有介紹為什么要計(jì)算曲邊梯形的面積。這往往會(huì)令學(xué)生覺得很突兀。所以筆者通常在講述定積分的概念之前，都會(huì)先作一些鋪墊來說明為何要計(jì)算曲邊梯形的面積。也就是說明計(jì)算曲邊梯形的面積對(duì)于計(jì)算一般的平面圖形的面積有什么作用。具體細(xì)節(jié)是：

“平面圖形的面積計(jì)算一直是數(shù)學(xué)中一類重要的問題。大家在初等幾何中已經(jīng)會(huì)計(jì)算很多平面圖形的面積。有矩形的面積，三角形的面積，圓面的面積等。不知大家考慮過沒有，其實(shí)在初等幾何中，除了圓面的面積計(jì)算問題，只是解決了直邊形（由直線段圍成的圖形）的面積計(jì)算問題。并且，其實(shí)只要會(huì)計(jì)算三角形的面積，那么所有平面直邊形的面積計(jì)算問題就都解決了。現(xiàn)在大家考慮一下，對(duì)于由一般的曲線所圍成的平面圖形（通常稱為曲邊形）的面積計(jì)算，是否也可以歸納為某一類平面圖形的面積計(jì)算問題呢？答案是肯定的！那就是曲邊梯形！也就是說只要解決了曲邊梯形的面積計(jì)算問題，那么所有平面曲邊形的面積計(jì)算問題也就解決了?！?/p>

技巧四：穿插趣味例題

根據(jù)課堂要講授的內(nèi)容，教師可以精心設(shè)計(jì)一些有趣的問題，以引起學(xué)生的好奇心和求知欲。使學(xué)生的求知欲由潛伏狀態(tài)轉(zhuǎn)入活躍狀態(tài)，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性與主動(dòng)性。

案例5。為了導(dǎo)入方向?qū)?shù)與梯度這一節(jié)課，筆者通常都是從下面的一個(gè)問題開始的：

“一塊長(zhǎng)方形的金屬板受熱產(chǎn)生溫度分布場(chǎng)。設(shè)一只小蟲在板中逃生至某處。問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？”

這個(gè)問題能很好的引起學(xué)生的好奇心。筆者緊接著又告訴學(xué)生，只要學(xué)習(xí)完方向?qū)?shù)與梯度這兩個(gè)概念以及二者之間的關(guān)系以后，就可以解決這個(gè)問題了。

實(shí)際效果表明，以這種可以引發(fā)學(xué)生興趣的問題作為課堂教學(xué)的開頭，能夠很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性。教學(xué)效果自然很好。

技巧五：靈活使用“比較”

所謂比較導(dǎo)人法，就是根據(jù)新舊知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)、相似點(diǎn)，采用比較的方法導(dǎo)入新課。既可以同類比較，也可以正反對(duì)比。

案例6。筆者在講授隨機(jī)變量這一概念時(shí)，總是這樣開頭的：“大家都知道笛卡兒創(chuàng)立的坐標(biāo)幾何學(xué)（后被人們稱為解析幾何），是連接代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)的一座橋梁。它將‘?dāng)?shù)和‘形緊密地聯(lián)系在了一起。一方面，平面上任何一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示它所在的位置；另一方面，任何一對(duì)實(shí)數(shù)也可用一個(gè)平面上的點(diǎn)來表示。這樣一來圖形和位置關(guān)系的研究就可以通過曲線方程將其轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)量關(guān)系和計(jì)算問題的研究。類似的，為了更好的研究隨機(jī)事件的概率，我們?cè)跇颖军c(diǎn)與實(shí)數(shù)域或?qū)崝?shù)域的子集之間建立起了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為隨機(jī)變量。其實(shí)隨機(jī)變量與數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的概念本質(zhì)上也是一致的。只不過函數(shù)心的自變量x為實(shí)數(shù)，而隨機(jī)變量ξ（ω）的自變量為樣本點(diǎn)ω，定義域是樣本空間，值域是實(shí)數(shù)域或?qū)崝?shù)域的子集。”

技巧六：時(shí)?！皽毓手隆?/p>

心理學(xué)告訴我們，那些與一個(gè)人已有知識(shí)有聯(lián)系的事物容易引起這個(gè)人的注意。所以通過恰到好處的復(fù)習(xí)歸納與新課內(nèi)容關(guān)系密切的舊知識(shí)來引入新課，有利于學(xué)生接受新知識(shí)。這種導(dǎo)人方法在很多學(xué)科的教學(xué)中都可以使用。尤其是數(shù)學(xué)這門學(xué)科，其知識(shí)點(diǎn)都是一環(huán)緊扣一環(huán)，所以上課時(shí)更要善用該法。

案例7。在“高等數(shù)學(xué)”這門課程中，多元函數(shù)的微積分學(xué)與一元函數(shù)的微積分學(xué)之間有著不可分割的聯(lián)系。在講授到多元函數(shù)的微積分學(xué)的章節(jié)時(shí)，這種溫故知新的導(dǎo)入法，可以說幾乎每一堂課都可以使用。就拿“全微分”這部分內(nèi)容來說，筆者是這樣開始新課的：“大家都知道一元函數(shù)的微分是當(dāng)自變量的增量很小時(shí)函數(shù)值增量的一個(gè)線性近似值。而且這種近似的誤差是當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)自變量增量的高階無窮小。對(duì)于多元函數(shù)來說，當(dāng)其所有自變量均取得了很小的增量時(shí)，當(dāng)然相應(yīng)的函數(shù)值也取得了一個(gè)增量，也就是全增量。如果全增量計(jì)算比較困難，類似于一元函數(shù)的微分，我們也可以用多元函數(shù)的自變量增量的一個(gè)線性函數(shù)來近似全增量，那就是全微分。令人高興的是，不僅全微分的作用與一元函數(shù)的微分類似，實(shí)際上無論二者的定義還是計(jì)算方法都是極其相似的。下面我們就一起來揭開其神秘的面紗吧。”

這種導(dǎo)入方法不僅使學(xué)生復(fù)習(xí)掌握了舊的基礎(chǔ)知識(shí)，而且使學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)有了一個(gè)大概的認(rèn)識(shí)。這樣學(xué)生就不會(huì)對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生排斥心理，從而很輕松地就從已知的領(lǐng)域進(jìn)入到未知的新境界。需要注意的是，在使用這種方法時(shí)，復(fù)習(xí)要提綱挈領(lǐng)，切不可把細(xì)枝末節(jié)的東西都翻出來過一遍，以免學(xué)生生厭。

3 結(jié)語(yǔ)

導(dǎo)課的方式方法靈活多樣。正所謂：“教學(xué)有法，但無定法，貴在得法?！睂?dǎo)課的根本目的是通過各種方法把學(xué)生的注意力吸引到課堂上來。在教學(xué)過程中，我們要根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，結(jié)合授課的內(nèi)容，靈活地選取、設(shè)計(jì)導(dǎo)課的方法、內(nèi)容。不過，無論采用何種方法，導(dǎo)入語(yǔ)都要對(duì)授課內(nèi)容有較強(qiáng)的針對(duì)性和啟發(fā)性。同時(shí)因?yàn)閷?dǎo)入語(yǔ)只是授課內(nèi)容的一個(gè)引子，所以要短小精湛、新穎有趣，斷不可平淡冗長(zhǎng)、喧賓奪主。

責(zé)任編輯 祁秀春