一元復(fù)合函數(shù)分解標(biāo)準(zhǔn)淺析

彭雨明 劉會(huì)靈

摘要：復(fù)合函數(shù)是初等函數(shù)中比較重要的一種函數(shù)類型。一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)要遵循復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。因此能正確分析清楚一元復(fù)合函數(shù)是由哪些“簡單函數(shù)”復(fù)合而成，對(duì)于一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果是否正確起到關(guān)鍵的作用。本文主要針對(duì)如何正確分解一元復(fù)合函數(shù)，包括分解的方法和標(biāo)準(zhǔn)來做研究。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；函數(shù)結(jié)構(gòu)；分解標(biāo)準(zhǔn)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）26-0215-02

一、引言

一元復(fù)合函數(shù)能否正確分解，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等問題上起到事關(guān)成敗的關(guān)鍵作用。而在很多高校高等數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，一般教材找不到一元復(fù)合函數(shù)分解的方法和標(biāo)準(zhǔn)的說明，且有關(guān)這方面研究和分析的論文更是難覓蹤跡。因此很多老師在向?qū)W生講授這個(gè)問題時(shí)，方法可謂五花八門，標(biāo)準(zhǔn)可謂形形色色，甚至有些老師自己都搞不清楚應(yīng)該執(zhí)行哪一套規(guī)范的分解方法和標(biāo)準(zhǔn)。在這個(gè)基礎(chǔ)上，再去要求學(xué)生正確掌握復(fù)合函數(shù)的分解明顯是不切實(shí)際的。復(fù)合函數(shù)的分解必須形成一套固定的方法和分解的標(biāo)準(zhǔn)，從上面的實(shí)際問題分析來看顯得非常重要。

二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧

（一）基本初等函數(shù)

（二）復(fù)合函數(shù)

設(shè)y是u的函數(shù)y=f（u），定義域?yàn)镈，而u是x的函數(shù)u=φ（x），其定義域?yàn)镚，值域?yàn)镋，且E？奐D，則對(duì)于G內(nèi)的每一個(gè)x，經(jīng)過中間值u=φ（x），唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的y，于是因變量y經(jīng)過中間變量而成為自變量x的函數(shù)，記為y=f（φ（x）），x∈G，稱函數(shù)y=f（φ（x））是函數(shù)y=f（u）和函數(shù)u=φ（x）的復(fù)合函數(shù)。

（三）初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所得到，且能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。常見的分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，本文并不討論分段函數(shù)類型，也就是我們研究的函數(shù)主要是初等函數(shù)類型。

三、函數(shù)的結(jié)構(gòu)

微積分主要研究對(duì)象是函數(shù)，因此函數(shù)屬于那種類型，也就是我們研究的函數(shù)“結(jié)構(gòu)”如何，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步得出顯得非常重要。比如在函數(shù)求導(dǎo)這個(gè)問題上，確定函數(shù)“結(jié)構(gòu)”類型，才能采取對(duì)應(yīng)求導(dǎo)法則，這如同確診疾病類型和給出何種治療處方一樣。一旦連函數(shù)類型都確定出錯(cuò)，那就很難正確求出這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了。

函數(shù)“結(jié)構(gòu)”一般從最終的類型上看，主要常見有以下兩大種類型：（1）本身是個(gè)復(fù)合函數(shù)；（2）只是個(gè)加法、減法、乘法、除法式子。

一般確定函數(shù)類型的方法是，代入一個(gè)自變量x的值，看最終一步因變量y是如何計(jì)算出來的。如果最后一步我們是通過加、減、乘、除運(yùn)算計(jì)算出值的，那么我們就可以把這個(gè)函數(shù)劃歸到加法、減法、乘法或除法式子中去，也就是可以把這個(gè)函數(shù)理解為是一個(gè)和式、差式、積式或商式。如果不是，一般它就是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，也就是我們在進(jìn)一步的計(jì)算中需要對(duì)它進(jìn)行分解。

例1 分別指出下列函數(shù)的“結(jié)構(gòu)”類型。

仔細(xì)觀察一下上面的兩個(gè)復(fù)合函數(shù)的分解，為何第二個(gè)函數(shù)計(jì)算步驟更多，而分解出來的簡單函數(shù)卻“更少”一些呢？這就有必要進(jìn)一步根據(jù)前面所說的函數(shù)“結(jié)構(gòu)”相關(guān)知識(shí)，來制定復(fù)合函數(shù)分解的標(biāo)準(zhǔn)。

（二）分解的原則和標(biāo)準(zhǔn)

（1）復(fù)合函數(shù)分解為簡單函數(shù)時(shí)，一般要求除最后一個(gè)函數(shù)外，前面的函數(shù)一定都是基本初等函數(shù)；（2）最后一個(gè)分解出來的函數(shù)可以是以下兩種情形：要么是基本初等函數(shù)；要么是一個(gè)加減乘除算法式子，二者必居其一。對(duì)于第二種情形，最后一個(gè)函數(shù)絕對(duì)不應(yīng)該是復(fù)合函數(shù)，不然說明函數(shù)分解不徹底，需要進(jìn)一步分解下去，直至符合前兩條準(zhǔn)則為止。

（二）復(fù)合函數(shù)分解中的特例

考慮到求導(dǎo)這個(gè)問題時(shí)，基本初等函數(shù)或加減乘除運(yùn)算式相對(duì)復(fù)合函數(shù)來說一般更為簡單。對(duì)于基本初等函數(shù)求導(dǎo)，我們直接利用基本求導(dǎo)公式，對(duì)于加減乘除算式求導(dǎo)，我們可以利用求導(dǎo)四則運(yùn)算法則，而對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，卻需要對(duì)函數(shù)先進(jìn)行復(fù)合分解，再利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。有些函數(shù)既可以看作復(fù)合函數(shù)，還可看作是基本初等函數(shù)，還有些函數(shù)既可以看作是復(fù)合函數(shù)，還可以看作是函數(shù)的加減乘除運(yùn)算式，因此在這種情況下，我們寧愿不把這個(gè)函數(shù)當(dāng)作復(fù)合函數(shù)，而當(dāng)作其他形式求導(dǎo)，從而避免復(fù)合分解容易出錯(cuò)、求導(dǎo)變得復(fù)雜等問題的出現(xiàn)。

六、小結(jié)

從上面復(fù)合函數(shù)分解的常見典型問題中可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)合函數(shù)分解確定一套可行的標(biāo)準(zhǔn)顯得非常重要，這樣我們在后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)中，才能保持知識(shí)的連續(xù)性和一貫性。對(duì)于復(fù)合函數(shù)的分解，在給學(xué)生講解的時(shí)候，把標(biāo)準(zhǔn)放在前面，用典型容易出錯(cuò)的例題來對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，一般會(huì)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)這個(gè)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)的知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，取到非常好的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]何冬梅，楊智明.關(guān)于“復(fù)合函數(shù)分解的原則”[J].高校理科研究，2011，（20）：524.

[2]劉忠志.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京交通大學(xué)出版社，2015：12-13.