《對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1》三個(gè)典錯(cuò)案例評析

萬發(fā)芹

摘要：古語說“差之毫厘，謬以千里”，做任何事情都離不開嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木瘢瑢τ趶氖聰?shù)學(xué)教學(xué)和研究的高中教師來說，尤其如此，離開了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)作風(fēng)，我們的工作將毫無質(zhì)量而言，甚至給學(xué)生帶來深深的誤導(dǎo)。去年10月中旬，筆者參加了市教研室組織的高中部視導(dǎo)，聽了某校高一三節(jié)數(shù)學(xué)課，從教材處理的嚴(yán)謹(jǐn)角度衡量，三節(jié)課都應(yīng)是失敗的案例?！秾?shù)的運(yùn)算性質(zhì)1》（蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書p59）一課的難點(diǎn)是熟練掌握對數(shù)三個(gè)運(yùn)算公式及靈活應(yīng)用于解題，其中尤為重要的是第三個(gè)公式的處理技巧。三位教師對此難點(diǎn)的處理都不盡人意。現(xiàn)整理出來與同仁們分享，以期拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：對數(shù)教學(xué);案例分析;技巧總結(jié)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2016）03-083-2

為了便于比較，我們不妨先熟悉該課要研究的對數(shù)的這三個(gè)公式：

1.loga（MN）=logaM+logaN;

2.logaMN=logaM-logaN;

其中a>0，a≠1，M>0，N>0。

3.logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R。

案例1

該教師的上課流程簡述如下：

流程（1）復(fù)習(xí)提問指數(shù)冪的三個(gè)性質(zhì)：

am·an=am+n

aman=am-n

（am）n=amn

根據(jù)對數(shù)的定義，有

logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）

流程（2）學(xué)生觀察蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書p75表321中的數(shù)據(jù)，

師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)以下兩個(gè)公式：

logaM+logaN=logaMN①

logaM-logaN=logaMN②

（a>0，a≠1，M>0，N>0）

流程（3）師與生一起證明公式①

證明：設(shè)logaM=p，logaN=q

則ap=M，aq=N

所以MN=ap·aq=ap+q

loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN

即logaMN=logaM+logaN

公式②讓生類比證明。

流程（4）引出公式③

我們還可以得到：

當(dāng)a>0，a≠1，M>0時(shí)，

loga（Mn）=nlogaM③

后面是例題講評及練習(xí)等內(nèi)容。

點(diǎn)評：該教師剛參加工作，也許學(xué)校的集體備課華而不實(shí)，從他的上課過程中看不出對教材的二次加工與處理過程，上課屬照本宣科。對所教內(nèi)容不熟，公式的表述與證明不嚴(yán)謹(jǐn)，不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。同時(shí)也體現(xiàn)不出教師的示范性。

如果認(rèn)真分析上述案例，不難發(fā)現(xiàn)有以下幾點(diǎn)不妥之處：

1.在流程（2）里，公式①中的真數(shù)MN丟掉括號，應(yīng)改成loga（MN）;

2.在流程（2）里，公式①與②等于號左右內(nèi)容顛倒，不符合常規(guī);

3.在流程（4）里，公式③中的loga（Mn）應(yīng)改為logaMn，此時(shí)真數(shù)加括號純屬畫蛇添足;

4.在流程（4）里，公式③中沒有標(biāo)明該公式成立的另一個(gè)條件n∈R;

5.在流程（4）里還應(yīng)再補(bǔ)充公式③的推論：logaan=n（其中a>0，a≠1，n∈R）;

6.在流程（3）里公式①的證明過程中，loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN這一步是應(yīng)用了公式③的推論，這顯然是循環(huán)論證。這樣復(fù)習(xí)提問過程中的對數(shù)的定義logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）就顯得多余的了，因?yàn)樵谧C明時(shí)，MN=ap·aq=ap+q可由對數(shù)的定義而直接得到logaM+logaN=p+q=loga（MN）。這如同登寶山而空手歸。尤其值得注意的是這位青年教師所用的典型錯(cuò)誤證法流行甚廣，用他自己的話說“當(dāng)初我的老師也是這么教的”。這不能不引起我們反思。

7.在流程（4）里對于公式③沒有給出證明過程，過于浮淺，照本宣科。

8.教師沒有精心探究上述三個(gè)公式的正逆互用及易錯(cuò)點(diǎn)。事實(shí)上，教師應(yīng)高屋建瓴，不僅要讓學(xué)生明白三個(gè)公式可正逆互用，同時(shí)還要例舉常見的真數(shù)沒有意義以及誤記公式等易錯(cuò)點(diǎn)。教學(xué)過程中教師不妨列舉出學(xué)生常見的一些典錯(cuò)，如：log3（-3）（-5）=log3（-3）+log3（-5）、log10（-10）2=2lg（-10）、loga（M±N）=logaM±logaN、loga（MN）=logaM·logaN、logaMN=logaMlogaN。讓學(xué)生自我糾錯(cuò)，進(jìn)而在反思中掌握公式的特點(diǎn)并加深對公式的記憶與理解。

案例2

第二位教師整體構(gòu)思與第一位教師是相同的，只是他增加了對于公式③的證明過程。簡述如下：

證明：設(shè)logaM=p，則ap=M，

所以Mn=（ap）n=anp，

logaMn=logaanp=np=nlogaM。

案例3

第三位教師整體構(gòu)思與第二位教師大致是相同的，只是他對于③的證明過程與第二位教師的方法不一樣。簡述如下：

由公式logaM+logaN=logaMN可得如下推論：

loga（M1M2…Mn）=logaM1+logaM2+…+logaMn

當(dāng)M1=M2=…=Mn時(shí)，

得到nlogaM=logaMn。

點(diǎn)評：第二位與第三位教師剛帶過高三又返回帶高一，是有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的，他們各自的證法有一定的誘惑性，以致在評課時(shí)，幾個(gè)青年教師還很佩服地認(rèn)為這兩種證明方法是“神到之筆”。果真如此嗎？請看下面的證法：

設(shè)logaM=p，由對數(shù)定義可得M=ap，

∴Mn=anp，

∴l(xiāng)ogaMn=np=nlogaM。（其中a>0，a≠1，M>0，n∈R）

這種證法與第一種很相似，但他處理的藝術(shù)主要體現(xiàn)在對對數(shù)定義公式logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）的應(yīng)用上。仔細(xì)體會(huì)不難看出后二位老師的錯(cuò)誤之處：第二位教師利用待證公式的特例反過來證明該公式，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤;第三位教師把公式中的n想當(dāng)然地認(rèn)為是自然數(shù)，實(shí)際上n∈R，該教師犯了以偏概全的錯(cuò)誤。兩種錯(cuò)誤的證法具有極大的迷惑性，筆者聽了兩所學(xué)校共八節(jié)同樣的課例，八位教師全部講錯(cuò)。

反思：

首先是教師的專業(yè)知識不精，備課不充分，工作態(tài)度不嚴(yán)謹(jǐn)。

教師備課時(shí)要做到：內(nèi)容選擇要合理，目標(biāo)制定要準(zhǔn)確，重點(diǎn)難點(diǎn)要把握，學(xué)生水平要了解，學(xué)習(xí)方法要恰當(dāng)，教學(xué)方法要精選，問題設(shè)計(jì)要精當(dāng)，教具和課件準(zhǔn)備要充分，練習(xí)設(shè)計(jì)要精當(dāng)。這些都是我們耳熟能詳?shù)囊恍﹤湔n要求。但我們往往會(huì)漏掉一個(gè)重要的方面，就是備課過程中細(xì)節(jié)問題要關(guān)注。課堂教學(xué)中的細(xì)節(jié)問題雖然是一些細(xì)小的問題，但是也能影響一堂課的教學(xué)效果，細(xì)小的問題也能釀成大的失誤，因此教師在備課時(shí)不要輕易放過每一個(gè)細(xì)節(jié)問題。本文中三位老師對諸多細(xì)節(jié)處理的失誤應(yīng)引起我們各位數(shù)學(xué)同仁充分的重視。

其次，教材在對這部分內(nèi)容的處理上，筆者認(rèn)為也有值得商榷之處。

在案例1流程（2）中，利用電子表格處理數(shù)據(jù)，讓學(xué)生歸納公式是一種創(chuàng)新，但如果能在原表的基礎(chǔ)上再增加兩列l(wèi)ogM3+logN3和logM3-logN3的值，這樣學(xué)生在觀察數(shù)據(jù)時(shí)更易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，當(dāng)然，如果老師在課堂教學(xué)時(shí)，能靈活處理教材，上課時(shí)在電腦中一邊操作一邊增加相應(yīng)的兩列數(shù)據(jù)的產(chǎn)生過程，也能彌補(bǔ)教材的不足。另外，對于教學(xué)硬件不具備的學(xué)校，教師不能使用電腦演示數(shù)據(jù)的處理過程，那么教材中給出的電子表格也只能是空中樓閣，倒不如用傳統(tǒng)的處理方法也能達(dá)到殊途同歸的效果，比如讓學(xué)生先求log22、log24log28、log2（2×4）、log2（82）等對數(shù)的值，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教材對于公式logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R的處理對學(xué)生的估計(jì)過高，只給出公式本身，沒有一點(diǎn)提示，本意是培養(yǎng)學(xué)生類比聯(lián)想、觀察驗(yàn)證、推理證明的能力。而那么多的老師有的避而不談，有的談而出錯(cuò)，學(xué)生更難達(dá)到預(yù)期的效果，倒不如在課本旁邊增加相關(guān)的探究提示，效果是不是要更好一些呢？

三個(gè)公式的證明是本節(jié)課的難點(diǎn)，但三個(gè)公式的證明有一個(gè)共同特點(diǎn)：先通過假設(shè)，將對數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，然后再根據(jù)對數(shù)定義將指數(shù)式化成對數(shù)式。對數(shù)定義在證明過程中發(fā)揮著關(guān)鍵的作用。

教學(xué)是門藝術(shù)，藝術(shù)需要雕刻，三個(gè)案例中諸多問題的發(fā)生，本來是完全可以避免的，只要細(xì)心推敲就能發(fā)覺其不妥或有誤，就能避免因粗糙、粗略、粗心所造成的一個(gè)個(gè)不能不說的遺憾。古人說：天下難事，必做于易;天下大事，必做于細(xì)。對于我們數(shù)學(xué)教師而言，能否打磨數(shù)學(xué)課中的細(xì)節(jié)不僅反映教師的備課過程是否精細(xì)，更能反映出教師的治學(xué)態(tài)度是否嚴(yán)謹(jǐn)，它直接決定了一節(jié)數(shù)學(xué)課的成敗。