科學(xué)史中的描點(diǎn)作圖法

宋維葉

編者的話：在學(xué)習(xí)的過程中，你一定會(huì)遇到許多問題，也需要解決這些問題，而在解決問題的過程中，如果能深入一些、細(xì)致一些，就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，把你的發(fā)現(xiàn)寫出來就是一篇論文。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，同時(shí)也希望同學(xué)們把論文寄給我們。

不管是物理學(xué)、化學(xué)還是生物科學(xué)，現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)科學(xué)的研究都離不開數(shù)據(jù)，研究一個(gè)變量隨其他變量變化的規(guī)律是現(xiàn)代科學(xué)的重要目標(biāo)和方法。在18世紀(jì)之前，科學(xué)家研究變量之間的關(guān)系時(shí)主要利用數(shù)據(jù)表的方法，也就是利用一張二維的數(shù)據(jù)表格列出當(dāng)自變量取一系列不連續(xù)的數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的因變量的數(shù)值，通過觀察和計(jì)算這些數(shù)值可以得出因變量隨自變量變化的規(guī)律。18世紀(jì)之后，科學(xué)家們逐漸采用描點(diǎn)作圖法來形象地發(fā)現(xiàn)、研究和展示實(shí)驗(yàn)中變量之間的關(guān)系。雖然科學(xué)家們現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)明了完善的利用數(shù)學(xué)運(yùn)算得出因變量隨自變量變化的函數(shù)關(guān)系的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，但是因?yàn)槊椟c(diǎn)作圖法更有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)，有利于判斷具體的一組數(shù)據(jù)對(duì)這一趨勢(shì)的偏離（即偶然誤差過大的數(shù)據(jù)），因而在實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中描點(diǎn)作圖法仍然得到廣泛運(yùn)用。

翻開高中物理教科書我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的實(shí)驗(yàn)都需要或者可以利用描點(diǎn)作圖法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。比如描繪小電珠的伏安特性曲線的實(shí)驗(yàn)就是利用電流表測(cè)出流過小電珠的電流，用電壓表測(cè)出小電珠兩端的電壓，測(cè)出多組值。然后在坐標(biāo)紙上以上為橫軸，以下為縱軸，建立坐標(biāo)系，再在坐標(biāo)系中描出各組數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。最后將描出的點(diǎn)用平滑的曲線連接起來，就得到了小電珠的伏安特性曲線。其他可以使用描點(diǎn)作圖法的實(shí)驗(yàn)還有探究彈力和彈簧伸長量的關(guān)系、研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)、驗(yàn)證牛頓運(yùn)動(dòng)定律、探究動(dòng)能定理、驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律、測(cè)定金屬的電阻率、測(cè)定電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻以及傳感器的簡單應(yīng)用等。

使用描點(diǎn)作圖法需要注意的是，在進(jìn)行描點(diǎn)時(shí)要盡量使圖線平滑，而且盡量使各個(gè)點(diǎn)落到描出的這條平滑的圖線上。對(duì)于偏離這條圖線而落不到圖線上的點(diǎn)，應(yīng)使這些點(diǎn)均勻地分布在圖線的兩側(cè)。由描點(diǎn)作圖法得到的圖線可以直觀地看出變量之間的關(guān)系，并通過進(jìn)一步的觀察和計(jì)算得出變量之間的函數(shù)關(guān)系。在求函數(shù)時(shí)，如果所描出的圖線是一條直線，則為一次函數(shù)；如果所描出的圖線是一條曲線，則可能為二次函數(shù)、反比例函數(shù)或其他類型的函數(shù)。如果所描出的圖線為一條曲線，可以嘗試根據(jù)不同情形改變橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)所代表的變量，從而將所描出的圖線轉(zhuǎn)換為一條直線。比如在驗(yàn)證牛頓運(yùn)動(dòng)定律的實(shí)驗(yàn)中，因?yàn)榧铀俣扰c質(zhì)量成反比，如果用縱坐標(biāo)表示加速度，橫坐標(biāo)表示小車及砝碼的總質(zhì)量，則描出的圖線應(yīng)為雙曲線的一支。如果用縱坐標(biāo)表示加速度，橫坐標(biāo)表示小車及砝碼總質(zhì)量的倒數(shù)，這樣所描出的圖線應(yīng)為一條直線。如果一個(gè)變量和另一個(gè)變量的平方成正比，則可以用橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)表示某一變量的平方，這樣則可以將實(shí)驗(yàn)得出的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)，比如驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律實(shí)驗(yàn)。當(dāng)然，并不是所有的曲線都可以通過這種方法轉(zhuǎn)化為直線。

下面結(jié)合高中物理知識(shí)，從科學(xué)史的角度簡要回顧一下描點(diǎn)作圖法的發(fā)展史，并重點(diǎn)以英國著名天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、化學(xué)家及攝影師赫歇爾利用描點(diǎn)作圖法求雙星軌道的方法為例，了解歷史上科學(xué)家對(duì)描點(diǎn)作圖法的運(yùn)用，以便幫助我們更好地理解這一方法。

將脫離坐標(biāo)系的曲線圖作為一種展示變量如何隨著時(shí)間變化的簡單方法最早可以追溯到公元10世紀(jì)，但是在坐標(biāo)系中將一個(gè)變量與另一個(gè)變量進(jìn)行對(duì)照來展示兩者之間關(guān)系的方法只有到17世紀(jì)笛卡兒坐標(biāo)系發(fā)明之后才出現(xiàn)。到18世紀(jì)末，德國著名的天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家蘭伯特所繪制的土壤溫度變化的曲線圖（圖1，我們主要通過圖了解科學(xué)家利用描點(diǎn)作圖法進(jìn)行研究的過程，只要看圖的大致形狀即可，不需要關(guān)注圖中的具體數(shù)據(jù)，下面的圖2、圖3、圖4也是如此）已經(jīng)為今天的我們習(xí)以為常。蘭伯特是這樣描述他的方法的：

我們通常利用兩個(gè)變量x、y，將它們相互垂直放置以便于確定對(duì)于每一個(gè)x（我們可以將它作為橫坐標(biāo)）所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)y的值。如果實(shí)驗(yàn)或者觀察完全準(zhǔn)確，這些坐標(biāo)會(huì)給出一系列的點(diǎn)，通過這些點(diǎn)可以連成一條直線或者光滑曲線。但是由于實(shí)驗(yàn)或者觀察往往不夠準(zhǔn)確，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)會(huì)或多或少地偏離這些線。因此我們?cè)诋嬤@些線的時(shí)候必須盡可能靠近這些點(diǎn)而從這些給定的點(diǎn)的中間穿過。

到了19世紀(jì)20年代，比利時(shí)人口學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家凱特萊已經(jīng)開始使用和現(xiàn)代模式非常接近的統(tǒng)計(jì)曲線圖。到了19世紀(jì)30年代，赫歇爾已經(jīng)設(shè)計(jì)出了“方格紙”來繪制曲線圖：準(zhǔn)備好一張紙，在上面畫好兩套以直角相交的等距平行直線，每隔9條線畫一條比其他線更粗的直線。這樣，這張紙的整個(gè)表面就被粗線分成一些大的正方形，每個(gè)大的正方形又被其中的細(xì)線分成許多個(gè)小的正方形。

這種“方格紙”到19世紀(jì)末已經(jīng)非常流行，今天已經(jīng)成為我們處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所必備的坐標(biāo)紙。

赫歇爾1833年出版的《論旋轉(zhuǎn)雙星軌道的研究》提出了一種利用描點(diǎn)作圖法來研究雙星軌道的圖形方法。赫歇爾認(rèn)為，這種圖形方法能夠提供一種處理復(fù)雜數(shù)據(jù)的實(shí)用方法，讓科學(xué)家可以排除觀察中的偶然誤差，揭示數(shù)據(jù)表所不能揭示的規(guī)律。他還認(rèn)為這種方法可以依靠人的判斷在數(shù)據(jù)具有不確定性時(shí)給出比數(shù)字計(jì)算更好的結(jié)果。

通常情況下，雙星中都是一個(gè)比另一個(gè)更亮些。赫歇爾假設(shè)其中較暗的恒星（即伴星）質(zhì)量較小，圍繞較亮的、質(zhì)量較大的恒星（即主星）以橢圓軌道運(yùn)轉(zhuǎn)，主星位于伴星橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。赫歇爾研究了蛇夫座70雙星，這對(duì)雙星互相環(huán)繞一周的周期是88年，這就決定了除利用自己的觀測(cè)數(shù)據(jù)外，他還必須利用前人的觀測(cè)數(shù)據(jù)。由于技術(shù)條件的限制，前人的觀測(cè)數(shù)據(jù)有的誤差太大。赫歇爾所面臨的任務(wù)就是結(jié)合前人參差不齊的觀測(cè)數(shù)據(jù)以及自己的觀測(cè)數(shù)據(jù)確定雙星軌道的最佳近似結(jié)果。

雙星的數(shù)據(jù)由兩個(gè)測(cè)量值組成，即雙星之間的距離d和方位角θ（圖2，圖中的兩顆星分別表示主星和伴星，橫線表示水平方向，縱線表示豎直方向，向上指向天頂）。赫歇爾認(rèn)識(shí)到主要問題在于距離的測(cè)量，因?yàn)殡p星之間的距離不僅非常小而且變化不明顯，而伴星圍繞主星運(yùn)轉(zhuǎn)的方位角卻在不停地變化。因此方位角的相對(duì)變化比距離的相對(duì)變化要明顯得多。另外，赫歇爾還知道自己的千分尺在測(cè)量距離時(shí)會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)不規(guī)則的誤差，而他對(duì)方位角的測(cè)量比對(duì)距離的測(cè)量精確得多。于是，他千方百計(jì)想尋找一種利用方位角來處理觀測(cè)數(shù)據(jù)的方式，而開普勒第二定律（在相等的時(shí)間內(nèi)，太陽和運(yùn)動(dòng)中的行星的連線所掃過的面積都是相等的）使這一方式成為可能。因?yàn)楦鶕?jù)開普勒第二定律，只要有了伴星在不同時(shí)間圍繞主星運(yùn)動(dòng)的角速度，就可以由角速度計(jì)算出雙星之間的相對(duì)距離。

為了獲得角速度，赫歇爾在一張大坐標(biāo)圖上將前人和自己觀測(cè)到的不同的方位角相對(duì)于觀察時(shí)間的數(shù)據(jù)描成一系列的點(diǎn)（圖3）。

對(duì)于這個(gè)圖，我們可以看出赫歇爾是通過眼睛的判斷徒手并且仔細(xì)地來畫出了一條盡可能少、盡可能近地偏離這些點(diǎn)的曲線。還要注意這條曲線不是“通過”，而是“從這些點(diǎn)中間穿過”。

赫歇爾指出，有些天文學(xué)家的觀測(cè)數(shù)據(jù)比其他人的數(shù)據(jù)更可靠，因?yàn)樗麄儞碛懈玫膬x器，使用更成熟的技術(shù)，我們?cè)诋媹D的時(shí)候就應(yīng)該圈出這些數(shù)據(jù)，并且使曲線盡可能地靠近這些點(diǎn)，于是這條曲線就應(yīng)該更可靠地反映了真實(shí)情況，因?yàn)樗热魏我粋€(gè)單獨(dú)數(shù)據(jù)更為可靠。

曲線在某一點(diǎn)的斜率給出了這一時(shí)刻的角速度，從角速度和時(shí)間他計(jì)算出了伴星到主星的相對(duì)距離。利用行星在各個(gè)時(shí)刻的方位角以及由其計(jì)算出的相對(duì)距離的數(shù)值，赫歇爾得到了蛇夫座70雙星的伴星圍繞主星運(yùn)行的橢圓軌道（圖4）。

為了找到伴星運(yùn)行完整個(gè)軌道所需要的時(shí)間，他把這條橢圓軌道拷貝到一張非常均勻的布紋紙上，這張紙沒有硬結(jié)，也沒有厚度不均勻的地方。他切下整個(gè)橢圓并稱量其質(zhì)量，然后從這個(gè)橢圓上切下包含他利用的時(shí)間段的部分，再稱量所切下部分的質(zhì)量并與整個(gè)橢圓的質(zhì)量相比，質(zhì)量的比率就是面積的比率。根據(jù)開普勒第二定律，他所研究的時(shí)間段除以這個(gè)比率就是整個(gè)軌道所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，即伴星圍繞主星運(yùn)行的周期。

可見，描點(diǎn)作圖法能夠減少觀察的誤差和波動(dòng)來揭示它們背后所隱藏的客觀規(guī)律。當(dāng)我們利用曲線圖進(jìn)行研究時(shí)，被偶然誤差所掩蓋的規(guī)律有時(shí)就會(huì)變得非常明顯。特別是面臨數(shù)據(jù)的缺乏而不是過剩的問題時(shí)，曲線圖也許能起到很好的作用。因此，曲線圖能夠把人們的雙手和雙眼作為頭腦的助手，畫出隱藏在數(shù)據(jù)背后的規(guī)則性的形狀。

在科技不發(fā)達(dá)的過去，描點(diǎn)作圖法對(duì)許多科學(xué)家的科學(xué)研究工作起到了很大的幫助作用。今天，雖然科技發(fā)展了，但描點(diǎn)作圖法仍是我們的好幫手，讓我們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)和研究中多加利用吧！

（責(zé)任編輯 趙平）