淺談金融領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)應(yīng)用

王藝潤

摘要：隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會不斷發(fā)展和成熟，現(xiàn)代金融理論的逐步發(fā)展并逐漸成熟起來，金融的理論的復(fù)雜程度日益加深。數(shù)學(xué)方法作為其中的理論基礎(chǔ)在其應(yīng)用中尤為重要，并且在日益深化的金融交流活動中誕生出了金融數(shù)學(xué)這一數(shù)學(xué)學(xué)科的分支。本文通過描述，簡要介紹了數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域中的某些應(yīng)用，及其具有的現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞：金融；金融數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型

一、引言

隨著時代的發(fā)展，人類社會的經(jīng)濟(jì)交流逐步復(fù)雜起來，銀行業(yè)、金融業(yè)日趨成熟，金融體系逐漸成熟并建立起一套獨有的知識體系。雖然數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛而深入，但是其與物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)相比，金融學(xué)的社會科學(xué)性質(zhì)又讓其對數(shù)學(xué)的應(yīng)用有了獨特的發(fā)展。在金融交易中的大量變化的不確定性因素、和對其有著復(fù)雜影響力的人為因素等，都使得這些金融學(xué)問題變得更加的錯綜復(fù)雜，這也使得數(shù)學(xué)在其中的應(yīng)用變得獨具特色。

在很長的一段時間內(nèi)，在金融投資領(lǐng)域的理論研究都不被認(rèn)可，只被認(rèn)為是一種貶義的“賺錢的方式”，不被認(rèn)為是科學(xué)的領(lǐng)域。直到美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈里·M·馬科維茨的研究成果被普遍認(rèn)可，金融投資理論才被納入到經(jīng)濟(jì)學(xué)的范疇。但是盡管如此，數(shù)學(xué)方法的在金融學(xué)中的應(yīng)用仍是碎片化的，以數(shù)學(xué)思想和方法為主要應(yīng)用手段，而沒有形成系統(tǒng)的知識體系。

二、金融數(shù)學(xué)及其意義

當(dāng)金融體系不斷完善，世界經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的持續(xù)進(jìn)步，數(shù)學(xué)思維與方法在金融中大量的應(yīng)用同樣使得其聯(lián)系和地位愈加明顯，金融數(shù)學(xué)這一交叉學(xué)科逐步形成。通過高等數(shù)學(xué)的思維方法和數(shù)學(xué)知識的靈活運用來對金融資產(chǎn)和其中的資產(chǎn)定價、投資決策、風(fēng)險控制等諸多問題進(jìn)行了深入的研究。

可以說金融是研究貨幣融通和資金活動的，而在這里面則存在著大量的數(shù)量關(guān)系，是確定的和可計算的。但是，金融活動同時也參雜著人類的主觀活動在里面，同時具有不確定性，這就決定了數(shù)學(xué)方法在金融中的應(yīng)用是極有必要的但同時又必須是靈活地。而數(shù)學(xué)的估算來幫助人們進(jìn)行一定的估算與風(fēng)險預(yù)計也是非常有必要的，證券、期貨交易的過程更是運用到了大量的數(shù)據(jù)交換和定量分析與驗證。這些都使得金融數(shù)學(xué)的存在有其現(xiàn)實意義。

三、數(shù)學(xué)模型在金融領(lǐng)域的應(yīng)用典型

1.資產(chǎn)估價模型

眾所周知資金是具有時間價值的。在不同的時間點和不同時期上的資金，其價值并不是一直不變的，在計算時不能簡單的進(jìn)行直接相加減或相比較。為解決這一問題，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家歐文·費雪在1986年時提出了這一觀點，即資產(chǎn)的當(dāng)前價值等于未來現(xiàn)金流量貼現(xiàn)值之和，成為資產(chǎn)估價模型建立的基礎(chǔ)。

其中最簡單的估價模型是復(fù)制公式。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

首先設(shè)一項投資在未來某時刻t的現(xiàn)金流量為C（t），它的貼現(xiàn)率為R（t），n是期數(shù)，總的現(xiàn)值為PV，那么則有

PV=∑ni=1C（t）[1+R（t）]-1

通過這一數(shù)學(xué)表達(dá)的計算，奠定了證券投資價值的資本化方法的基礎(chǔ)，而且其表達(dá)形式可以根據(jù)不同的情況有不同的變化。并且在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了貼現(xiàn)現(xiàn)金流模型（DCF），揭示了股票的內(nèi)在價值，即它所有未來股息的貼現(xiàn)值之和：

P（t）=∑∞k=1D（t+k）（1+i）-（1+k）

其中，P（t）為時刻t時的股票價格，D（t+k） 為時刻t+k獲得的股息，i為常數(shù)表示合適的貼現(xiàn)利率。

2.證券投資組合模型

2.1資產(chǎn)組合中的收益

可以設(shè)投資組合中證券價格為一個隨即便令，那么其均值可以表示收益，可得投資組合中的預(yù)期收益E（rp ）是在這一投資組合中所有資產(chǎn)預(yù)期收益的簡單加權(quán)的平均值，ri為第i種收益的預(yù)期，設(shè)x為資產(chǎn)投資占總投資的比例。則有

E（rp ）=E（xr1+xr2+…+xr3）= x1 E（r1）+x2 E（r2）+…+xn E（rn）

E（rp ）=∑ni=1x1 E（r1）

其中x1+x2+…+xn=1

2.2資產(chǎn)組合方差

由于我們可以把投資的風(fēng)險可以被定義為實際的收益偏離預(yù)期收益的潛在可能性，此時可以用方差來表示，因為方差在數(shù)學(xué)上即表示隨機(jī)變量對數(shù)學(xué)期望的離散程度。這一表達(dá)方式，可以被用作通過預(yù)期收益來評估投資風(fēng)險的一種計算方法，用公式表達(dá)為

σ2p=E[rpv-E（rp ）]2

通過這一算是的求解，不僅可以預(yù)估最優(yōu)的投資組合方法，而且還直觀的指出了多方面投資可以更好的降低投資風(fēng)險的事實，這也成為了風(fēng)險投資的重要原則。

四、應(yīng)用舉例

例.如將一筆資金投入到三個不同的盈利基金中，即基金A、基金B(yǎng)、基金C。

不同的基金收入不同同時又與經(jīng)濟(jì)形勢有關(guān)系。假設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢分為好、中、差三個級別，分別發(fā)生的概率為P1=0.2，P2=0.7，P3=0.1 。根據(jù)各基金的數(shù)據(jù)參考可得到不同級別狀態(tài)下各基金的收益概率分布如下表，

好P1=0.2中P2=0.7差P3=0.1基金A113-3基金B(yǎng)64-1基金C102-2此時，我們該如何投資才能獲得比較好的收入呢？

解：首先看三個基金的數(shù)學(xué)期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通過分析離散型隨機(jī)變量的期望可知，投資基金A的平均收益最大。但投資的同時也要注意風(fēng)險，這時通過對它們各自方差的分析，方差越大，風(fēng)險的波動越大。這樣比較看，基金B(yǎng)的風(fēng)險最小，同時收益上又比基金A相差較小，所以選擇基金B(yǎng)來投資更加合理。

五、總結(jié)

近年來，金融數(shù)學(xué)可謂是越來越受到經(jīng)濟(jì)、金融學(xué)界甚至很多其他社科領(lǐng)域的高度關(guān)注。并且國際上很多著名的金融數(shù)學(xué)家還發(fā)起組織了“金融學(xué)會”以利用國際交流繼而推動數(shù)學(xué)理論在金融學(xué)上的應(yīng)用。我國現(xiàn)在在大學(xué)課程中“金融數(shù)學(xué)、金融工程”等專業(yè)也受到追捧。但是可以看到現(xiàn)代金融學(xué)的理論研究與金融領(lǐng)域的現(xiàn)實實踐中，數(shù)學(xué)起著必不可少的作用。金融學(xué)的研究也吸納了很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家學(xué)者，與此同時金融學(xué)的發(fā)展也同樣推動者數(shù)學(xué)的發(fā)展。由此可見，數(shù)學(xué)和金融的融會貫通，以及靈活的應(yīng)用才是其發(fā)展之道。