高等數(shù)學(xué)解題中的逆向思維研究

鐵勇

摘 要：逆向思維是大學(xué)生在學(xué)習(xí)若干專業(yè)課程中常見(jiàn)的一種思維方式。主要通過(guò)分析大學(xué)生求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維意識(shí)現(xiàn)狀，詳細(xì)探討如何在求解高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題中培養(yǎng)逆向思維，為大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供一點(diǎn)學(xué)習(xí)方法的參考，以及為研究高等數(shù)學(xué)解題中的逆向思維研究提供一點(diǎn)理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；解題：逆向思維

1 引言

逆向思維亦稱為求異思維，這種思維往往要求在正面分析遇到困難或是較為復(fù)雜的時(shí)候，從反面進(jìn)行思考的一種思維方式。逆向思維打破了固有思維的思維定勢(shì)，促使問(wèn)題的解決朝著有利的方向發(fā)展。逆向思維反映了在解決問(wèn)題過(guò)程中的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性。在數(shù)學(xué)解題中，如果能適時(shí)地熟練運(yùn)用逆向思維探索解題思路，就能找到解題的捷徑。本文通過(guò)分析大學(xué)生求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維意識(shí)現(xiàn)狀，詳細(xì)探討如何運(yùn)用逆向思維求解高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，為大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供一點(diǎn)學(xué)習(xí)方法的參考，以及為研究高等數(shù)學(xué)解題中的逆向思維研究提供一點(diǎn)理論依據(jù)。

2 高等數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的思維意識(shí)現(xiàn)狀

2.1 盲目模仿和照搬的模式

大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)往往更多的是為了通過(guò)獲取必要的學(xué)分，在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出來(lái)的往往是照抄筆記和照搬運(yùn)算或證明模式，至于問(wèn)題的求解，主要的學(xué)習(xí)方式主要是基于模仿，不懂得變通。改變題型就不懂得解題方法。這樣的模式對(duì)于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)產(chǎn)生了阻礙的作用，以至于教與學(xué)脫鉤，不利于教學(xué)質(zhì)量的提高和學(xué)生對(duì)解題方法的理解。例如：可數(shù)集中有關(guān)無(wú)限集至少存在一個(gè)可數(shù)集的定理的證明是通過(guò)可數(shù)集的充要條件和不完全歸納法的運(yùn)用解決的。但是對(duì)于其它的證明某集合是否可數(shù)的問(wèn)題，學(xué)生往往就是簡(jiǎn)單的模仿，而不能很好地分析問(wèn)題，抓住可數(shù)集的定義的本質(zhì)去逆向思考類似的問(wèn)題。

2.2 慣性思維對(duì)解題的影響

慣性思維是目前高校學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的一種常見(jiàn)的思維。慣性思維最大的弊端在于固定的思維模式和阻礙思維的發(fā)散。比如：一個(gè)定理的逆否定理等價(jià)于原有的定理。但是當(dāng)證明定理的逆否定理時(shí)就無(wú)法想象原定理與之關(guān)系，這是慣性思維的癥結(jié)。比如：當(dāng)你知道在一元函數(shù)中必有連續(xù)不一定可導(dǎo)，而可導(dǎo)一定連續(xù)時(shí)，未必會(huì)探討不連續(xù)是否一定不可導(dǎo)的問(wèn)題，甚至把你否定理的論斷與原定理放在一起討論時(shí)都不知道二者之間的關(guān)系，更多的感覺(jué)是在教材中沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這樣的定理或性質(zhì)，這是一種典型的學(xué)教材知識(shí)帶來(lái)的慣性思維，束縛了學(xué)生的思考問(wèn)題的意識(shí)。

2.3教學(xué)模式對(duì)學(xué)生思維意識(shí)的影響

面對(duì)若干復(fù)雜難學(xué)的課程和晦澀難懂的知識(shí)，學(xué)生在解題中呈現(xiàn)出來(lái)的思維惰性，在一定程度上會(huì)受課堂教學(xué)模式的影響。比如： 在數(shù)列極限的課堂教學(xué)中，如果教師不借助于數(shù)列極限的幾何意義反過(guò)來(lái)推導(dǎo)其數(shù)學(xué)定義，學(xué)生就不容易理解數(shù)列極限定義中的各個(gè)條件之間的關(guān)系。因此，教師的教學(xué)方式會(huì)影響學(xué)生在求解問(wèn)題中的思維意識(shí)。

3 如何運(yùn)用逆向思維求解高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題

3.1改變學(xué)習(xí)方式以培養(yǎng)逆向思維

針對(duì)不同的問(wèn)題求解，學(xué)生在解題時(shí)需要全面合理地分析問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系。逆向思維最大的特點(diǎn)就是針對(duì)正向分析條件不得其解的問(wèn)題，進(jìn)行反向思考問(wèn)題，即從結(jié)論入手，倒推題設(shè)條件；或者在正向推導(dǎo)問(wèn)題的過(guò)程中遇到困惑，逆向思維倒推解決此過(guò)程的難點(diǎn)。這樣的思維方式需要學(xué)生改變學(xué)習(xí)方式，即：在課堂教學(xué)中認(rèn)真聆聽(tīng)教師的解題講解，聽(tīng)的過(guò)程結(jié)合思考和理解，從而潛移默化地培養(yǎng)逆向思維。

3.2 改變教學(xué)模式以啟發(fā)逆向思維

傳統(tǒng)的教學(xué)模式和教材中的例題求解過(guò)程更多地偏重于正向分析問(wèn)題而疏于逆向思維能力的培養(yǎng).因此，我們?cè)谡n堂教學(xué)中就必須改變教學(xué)模式，旨在加強(qiáng)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)與鍛煉，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力.比如：在講解數(shù)列極限的問(wèn)題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從定義的結(jié)論入手，學(xué)會(huì)“要使什么成立，即證什么問(wèn)題”的思考方式，結(jié)論中的不等式的推導(dǎo)，往往會(huì)得出N的取值，這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生觀察N的取值特點(diǎn)，加以分析和總結(jié)，這樣能很好地啟發(fā)學(xué)生的逆向思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)列極限定義與幾何意義的理解。

3.3改變思維習(xí)慣以適應(yīng)逆向思維

大學(xué)的教育以學(xué)生為本，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的提高體現(xiàn)出教學(xué)質(zhì)量的不斷優(yōu)化。但是學(xué)生的學(xué)習(xí)能力表現(xiàn)在諸多方面的因素，其中改變思維習(xí)慣就是一種重要的學(xué)習(xí)能力。比如：做一道選擇題，很多學(xué)生在草稿紙上的演算往往就像證明題和解答題一樣，演算過(guò)程冗長(zhǎng)且耗費(fèi)了大量的時(shí)間，演算的結(jié)果還不能確定是否正確。這樣的解題方式就呈現(xiàn)出一種不好的思維習(xí)慣的弊端。如果能利用特殊值代替一般值直接進(jìn)行驗(yàn)證，或許會(huì)得到意想不到的效果，反而爭(zhēng)取更多的時(shí)間去求解其它問(wèn)題。這樣就要求學(xué)生要重視改變思維習(xí)慣，在聽(tīng)課中或教師引導(dǎo)解題中適應(yīng)逆向思維的求解方式。

3.4加強(qiáng)解題訓(xùn)練鍛煉逆向思維

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該合理選擇一些有啟發(fā)性和適宜于逆向思考的問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)立思考，通過(guò)給學(xué)生一定時(shí)間的解答，引導(dǎo)學(xué)生正面分析問(wèn)題，找出問(wèn)題的癥結(jié)。當(dāng)正向解答不得其解時(shí)，概括這樣解題的思路存在什么樣的問(wèn)題，為什么正向解答不能求解，從而促使學(xué)生從逆向分析問(wèn)題，逐步利用結(jié)論和條件的關(guān)系解答出問(wèn)題。經(jīng)過(guò)幾道題的訓(xùn)練，然后進(jìn)行對(duì)比分析，加以總結(jié)和歸納。這樣不僅獲得了解題的技巧，而且有效鍛煉了逆向思維。

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳鼎興.數(shù)學(xué)思維與方法——研究式教學(xué)[M].南京：東南大學(xué)出版社，2011：93-94.

（作者單位：曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院）