高壓燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)模型“Newton-Rapshan”迭代法計(jì)算分析

丁國(guó)玉，李悅敏，李 進(jìn)（.北京市城市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院 北京 00045；.安徽建筑大學(xué)　合肥 060；.北京市城規(guī)技術(shù)服務(wù)中心 北京 00045）

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高壓燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)模型
“Newton-Rapshan”迭代法計(jì)算分析

丁國(guó)玉1，李悅敏2，李 進(jìn)3
（1.北京市城市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院 北京 100045；2.安徽建筑大學(xué)合肥 230601；3.北京市城規(guī)技術(shù)服務(wù)中心 北京 100045）

摘要：本文利用歐拉差分格式對(duì)高壓燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型離散，采用Newton-Rapshan法對(duì)多點(diǎn)邊界值條件下非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。通過(guò)與Pipeline軟件計(jì)算結(jié)果對(duì)比，最大相對(duì)誤差小于6%，驗(yàn)證了方法的可行性。

關(guān)鍵詞：燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)模型

0　前　言

燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫?cái)?shù)學(xué)模型所構(gòu)成的方程組為常微分方程組，確定常微分方程組的解還應(yīng)給定相應(yīng)的邊界值條件。燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型的邊界值條件主要分為單點(diǎn)邊界值條件和多點(diǎn)邊界值條件。當(dāng)管道起點(diǎn)的流量、壓力和溫度完全明確時(shí)，求解管道其他位置的流量、壓力和溫度，此時(shí)為單點(diǎn)邊界值問(wèn)題。當(dāng)管道起點(diǎn)流量、壓力和溫度無(wú)法全部明確時(shí)，還需在管道其他位置補(bǔ)充相應(yīng)的已知條件，在此基礎(chǔ)上確定管道其他位置的流量、壓力和溫度，此時(shí)為多點(diǎn)邊界值問(wèn)題［1］。

國(guó)內(nèi)對(duì)燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型解法的研究主要集中在四階龍格—庫(kù)塔法［1-7］。四階龍格—庫(kù)塔法僅適用于單點(diǎn)邊值問(wèn)題，不適用于多點(diǎn)邊值問(wèn)題，而現(xiàn)實(shí)中燃?xì)夤芫W(wǎng)運(yùn)行工況碰到的更多是多點(diǎn)邊界值問(wèn)題。針對(duì)上述情況，本文利用歐拉差分格式對(duì)高壓燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型離散，采用Newton-Rapshan法對(duì)多點(diǎn)邊界值條件下非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。通過(guò)與Pipeline軟件計(jì)算結(jié)果分析，最大相對(duì)誤差小于6%，驗(yàn)證了方法的可行性。

2　燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型

燃?xì)夤芫W(wǎng)主要由管道元件和壓縮機(jī)、閥門、調(diào)壓器等非管元件組成，因此，城市燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型由管道數(shù)學(xué)模型和非管元件數(shù)學(xué)模型組成。

2.1管道數(shù)學(xué)模型［1-2］

管道數(shù)學(xué)模型由連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程組成，如（1）-（3）式所示，描述了燃?xì)庠诠艿懒鲃?dòng)過(guò)程中任一管道剖分面 管道剖分面間密度ρ、壓力p、溫度T、焓值h和流量M等參數(shù)間的關(guān)系。

連續(xù)性方程：

動(dòng)量方程：

能量方程：

式中，ρ——燃?xì)饷芏?，kg/m3；A——管段的流通橫截面積，m2；M——質(zhì)量流量，kg/ s；x——管段軸向長(zhǎng)度，m；p——?dú)怏w絕對(duì)壓力，Pa；2λ——摩阻系數(shù)；D——管道內(nèi)徑，m； g——重力加速度，m2/s；h——比焓，J/kg；K——傳熱系數(shù)，W/（m2·K）；T——燃?xì)鉁囟?，K；T0——土壤溫度，K。

在上式中引入真實(shí)氣體狀態(tài)方程p=p（ρ，T）和焓方程h=h（ρ，T），（2.1）—（2.2）式所組成的方程組未知變量為管道剖分面上的壓力p、溫度T和流量M。

2.2非管元件數(shù)學(xué)模型

非管元件數(shù)學(xué)模型主要為非管元件相鄰剖分面間壓力 、流量 和溫度 的關(guān)系。常見的非管元件主要有壓縮機(jī)、調(diào)壓器、閥門、三通和四通等。文獻(xiàn)［1-5］對(duì)上述非管元件的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了詳細(xì)的分析，本文不再贅述。

3　“Newton-Rapshan”法求解分析

本文求解燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型，主要通過(guò)采用差分格式將方程（1）-（3）式進(jìn)行離散形成差分方程組，然后進(jìn)行迭代求解?？紤]到編程的難易程度及計(jì)算量，本文采用歐拉向前差分格式［8］對(duì)模型進(jìn)行離散。

動(dòng)量方程：

能量方程：

非管元件數(shù)學(xué)模型可寫為：

上式中，n，n+1——管道剖分面，f——非管元件相鄰管道剖分面處的壓力、溫度和流量方程，即f=［fp，fT，fM］T。

綜上，城市燃?xì)夤芫W(wǎng)動(dòng)態(tài)仿真數(shù)學(xué)模型的差分方程所形成的是一個(gè)非線性、非齊次的方程組。Newton-Rapshan迭代法的基本思想是將非線性方程組逐次線性化，從而形成的迭代算法。令X=（p0，T0，M0，…，Pn-1，Tn-1，Mn-1，）T，則差分方程組可寫成Fi（x=0），i=0，1，2。設(shè)X的第K次迭代近似值為：Xk=（pk0，Tk0，Mk0，…，pkn-1，Mkn-1，）T，則迭代格式為：Xk+1=Xk-δXk，迭代增量δX=｛δp0，δT1，δM1…δpn-1，δTn-1，δMn-1｝T滿足JkδXk=f（Xk）其中，J為迭代函數(shù)列f對(duì)迭代變量的Jacobi矩陣。

4　計(jì)算驗(yàn)證

以圖1所示管網(wǎng)為例：由5條管道和4個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。其中，節(jié)點(diǎn)1為氣源、其余節(jié)點(diǎn)為分氣點(diǎn)。管道內(nèi)徑D=685.5mm，管材為鋼管，當(dāng)量粗糙度為0.04mm，管段埋深處溫度T0=278.0K，傳熱系數(shù)K=2。88W/m2·K；管段長(zhǎng)度L1=L4=L5=10km，L2=L3=20km。

圖1　管網(wǎng)示意圖

假定燃?xì)饨M分為甲烷，氣源點(diǎn)壓力P=4.0MPa、溫度T=293.15K，調(diào)壓站流量見表1。

表1　調(diào)壓站流量 kg/s

計(jì)算步長(zhǎng)取1000m；通過(guò)計(jì)算得到管段沿線壓力、溫度變化趨勢(shì)如圖2-3所示。

圖2　管段沿線壓力變化趨勢(shì)

圖3　管段沿線溫度變化趨勢(shì)

由于條件限制無(wú)法對(duì)上述模型求解結(jié)果進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，為使計(jì)算具有可比性，作者采用Pipeline軟件穩(wěn)態(tài)計(jì)算模塊在給定氣源點(diǎn)壓力P=4.0MPa、溫度T=293.15K、各分氣點(diǎn)流量見表1、摩阻系數(shù)采用Colebrook公式的條件下對(duì)上述管網(wǎng)進(jìn)行了計(jì)算。Pipeline軟件是一套成熟的商業(yè)的軟件，計(jì)算結(jié)果具有一定的參考價(jià)值。

經(jīng)對(duì)比可知，本文與Pipeline軟件的計(jì)算結(jié)果基本一致，詳見表2。其中，壓力最大相對(duì)誤差為5.57%，溫度最大相對(duì)誤差為0.3%。造成誤差的原因可能為燃?xì)馕镄詤?shù)的選擇及解法所造成的，但從總體上看，本文的計(jì)算方法是可以接受的，能滿足一般的工程需求。

表2　計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

4　小結(jié)

本文利用歐拉差分格式對(duì)高壓燃?xì)夤芫W(wǎng)非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型離散，采用Newton-Rapshan法對(duì)多點(diǎn)邊界值條件下非等溫穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。通過(guò)與Pipeline軟件計(jì)算結(jié)果對(duì)比，最大相對(duì)誤差小于6%，驗(yàn)證了方法的可行性。

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Analysis on the Non-isothermal Steady Flow of High-pressure
Gas Network Based on the Method of Newton-Rapshan

DING Guoyu1，LI Yuemin2，LI Jin3
（1.Beijing Municipal Institute of City Planning &Design， Beijing ，100045；2.Anhui Jianzhu University Hefei 230601；3.Beijing Urban Planning Technical Consultancy Service Center， Beijing，100045）

Abstract：The Eulerian difference scheme is used to discrete the non-isothermal steady flow model of highpressure gas network. Based on the Newton-Rapshan method， the multi-point boundary value problem of the nonisothermal stead fow model is solved.Compared to the result got from -calculationthe Pipeline software， the error is less than 6% ， and thus the feasibility of the method has beenverifed.

Keywords：Gas network； Non-isothermal； Steady mode

作者簡(jiǎn)介：丁國(guó)玉，（1983-），男，碩士；研究方向：燃?xì)廨斉浼袄谩?/p>

收稿日期：2015-09-21

DOI:10.11921/j.issn.2095-8382.20160218

中圖分類號(hào)：TU996

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-8382（2016）02-092-05