在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力

劉德宏

（射陽縣教育局教研室，江蘇 鹽城 224300）

推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十個(gè)核心概念之一。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常要使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理兩種形式。[1]類比推理是合情推理的重要形式之一，它是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上相同或相似，從而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦部赡芟嗤蛳嗨频乃季S方式。[2]類比推理是在比較的基礎(chǔ)上，從特殊到特殊的推理,它是引發(fā)猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的有效途徑，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要方法。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須高度重視類比推理能力的培養(yǎng)。

一、類比推理的主要形式

1.外部形式上的類比

根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象表面上的相似而進(jìn)行的推理，是一種從形式到形式的類比，這種類比得出的結(jié)論或然性較大，但有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。比如，學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，就會(huì)自然地想到正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí)，也可能想到平行四邊形的面積=底×鄰邊，但這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的結(jié)論。

2.內(nèi)在實(shí)質(zhì)上的類比

通過比較分析數(shù)學(xué)對(duì)象之間的實(shí)質(zhì)性的內(nèi)在聯(lián)系而得出的推理，這種推理根據(jù)兩類對(duì)象在本質(zhì)屬性方面的相似之處，類推出其他方面的相似，從而認(rèn)識(shí)新數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，因此，得出結(jié)論的正確性相對(duì)較高。比如，在學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，而且在這一知識(shí)的探究過程中，已經(jīng)與商不變的規(guī)律進(jìn)行了實(shí)質(zhì)性的比較與聯(lián)系。學(xué)生認(rèn)識(shí)了比的意義，知道了比的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)數(shù)相除，比也可以寫成分?jǐn)?shù)的形式。因此，可緊緊抓住比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律，自然類比出比的基本性質(zhì)。教學(xué)中，教師要激活學(xué)生已有知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新舊知識(shí)的比較，找出新舊知識(shí)在本質(zhì)上的一致性，從而主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)的遷移，建構(gòu)出新知識(shí)。

3.過程方法上的類比

數(shù)學(xué)教學(xué)要重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，獲得深刻的探究體驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)技能方法的遷移。如，五年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓的面積公式推導(dǎo)”時(shí)，把一個(gè)圓平均分成若干個(gè)小扇形，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，從而推導(dǎo)出圓的面積公式。經(jīng)歷了這樣的過程，掌握了這樣的推導(dǎo)方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓柱體積公式推導(dǎo)”時(shí)，就自然地想到把圓柱的底面等分成若干個(gè)扇形，再沿著半徑切開，將圓柱拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，從而可以推導(dǎo)出圓柱的體積公式。這就是過程方法上的類比。

二、培養(yǎng)類比推理能力的教學(xué)策略

1.探尋本質(zhì)聯(lián)系，搭建類比支架

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著密切的內(nèi)在聯(lián)系。在學(xué)習(xí)新知時(shí)，要求學(xué)生頭腦里具備同化新知識(shí)的上位概念或相似概念，類比推理才能順利進(jìn)行。因此，教師要充分激活學(xué)生的已有知識(shí)，尋找維系新舊知識(shí)的主線，探尋新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在最近發(fā)展區(qū)為學(xué)生搭建類比的支架，為實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移、進(jìn)行類比推理打好基礎(chǔ)。如，學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”，其本質(zhì)上的根源知識(shí)，就是“相同數(shù)位上的數(shù)，才能直接相加減”這一計(jì)算原理，這就是維系知識(shí)聯(lián)系的主線，也就是類比的支架。學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，已經(jīng)形成了這種計(jì)算認(rèn)識(shí)，積累了這種計(jì)算經(jīng)驗(yàn)。因此，在教學(xué)時(shí)，可以先設(shè)計(jì)一組整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出計(jì)算過程背后隱含的共同核心要素——“相同數(shù)位上的數(shù)，才能直接相加減”。學(xué)生受這個(gè)計(jì)算原理的啟發(fā)，就能類比嘗試，將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，實(shí)現(xiàn)計(jì)數(shù)單位相同，直接相加減。歸納出異分母分?jǐn)?shù)加減法的法則后，再次進(jìn)行新舊知識(shí)的對(duì)比，以凸顯出此類計(jì)算的共同點(diǎn)，強(qiáng)化新舊知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系。這樣的類比教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻理解，構(gòu)建了比較完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

2.基于生活原型，啟發(fā)類比抽象

現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物原型往往會(huì)啟發(fā)人們展開類比聯(lián)想，引發(fā)猜測(cè)，獲得靈感，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，抽象概括出數(shù)學(xué)概念。小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物原型對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)有很大的啟發(fā)作用。因此，從原型啟發(fā)，展開類比學(xué)習(xí)，顯得尤為重要。例如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)線段”時(shí)，讓學(xué)生兩手捏住毛線的兩端，繃緊拉直，形成了線段的實(shí)物原型，進(jìn)而有機(jī)地揭示出線段的本質(zhì)屬性。教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行”時(shí)，讓學(xué)生觀察跑道線、操場(chǎng)上的雙杠、秋千架上的兩根立柱，再根據(jù)實(shí)物原型，畫出三組直線，抽象出共同點(diǎn)——永不相交，從而概括出平行線的定義。教學(xué)“角的認(rèn)識(shí)”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察剪刀圖、鐘面上的時(shí)針和分針組成的角、五角星等實(shí)物圖，再抽象出“角”。

這種基于生活原型，展開類比抽象的方式，符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠促進(jìn)學(xué)生從實(shí)物原型中受到一些原理性的啟發(fā)，實(shí)現(xiàn)生活原型與數(shù)學(xué)對(duì)象之間的思維直接對(duì)接[3]，從而在類比中積累一定的經(jīng)驗(yàn)，有機(jī)地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，主動(dòng)建構(gòu)出數(shù)學(xué)概念。

3.鼓勵(lì)聯(lián)想猜測(cè)，實(shí)現(xiàn)直覺類比

聯(lián)想與猜測(cè)都是類比推理常用的方法，類比的實(shí)質(zhì)是一種聯(lián)想。教學(xué)中，要啟發(fā)學(xué)生找出新舊知識(shí)之間的相似性和本質(zhì)聯(lián)系，展開聯(lián)想，大膽猜測(cè)，憑借直覺，進(jìn)行類比推理?？梢允侵R(shí)的聯(lián)想類比（包括概念、關(guān)系、性質(zhì)、定律、法則等），也可以是思想方法的類比聯(lián)想，還可以是解決問題思路與方法的聯(lián)想類比。

如，教學(xué)“體積單位”時(shí)，根據(jù)度量面積的大小需要統(tǒng)一面積單位，聯(lián)想到度量體積大小也要統(tǒng)一體積單位，并由1平方厘米、1平方分米、1平方米這三個(gè)常用面積單位聯(lián)想到1立方厘米、1立方分米、1立方米這3個(gè)常用體積單位；[4]在學(xué)習(xí)“等式的性質(zhì)”時(shí)，由“等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，仍然是等式”聯(lián)想猜測(cè)到“等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），仍然是等式”，從而完善了等式的性質(zhì)；學(xué)過加法的交換律和結(jié)合律后，能夠聯(lián)想猜測(cè)到乘法的交換律和結(jié)合律。這些都是知識(shí)之間的聯(lián)想類比。

由于分?jǐn)?shù)問題與百分?jǐn)?shù)問題在數(shù)量關(guān)系和問題結(jié)構(gòu)上的一致性，因此，就能由解決分?jǐn)?shù)問題的思路與方法聯(lián)想類推到解決百分?jǐn)?shù)問題的思路和方法；由行程問題中的“速度和×相遇時(shí)間=總路程”這一數(shù)量關(guān)系式類推到工程問題中去，得到“工作效率和×工作時(shí)間=工作總量”這一數(shù)量關(guān)系。[5]這樣的類比教學(xué)，將解決兩類問題的思路與方法有機(jī)地聯(lián)系起來，有效地實(shí)現(xiàn)了思路與方法的遷移，形成了更加完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供聯(lián)想猜測(cè)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考、聯(lián)想猜測(cè)，借助直覺，類比發(fā)現(xiàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

4.利用數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)類比遷移

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)對(duì)象，借助圖形描述數(shù)式，利用數(shù)式解釋圖形，這樣的數(shù)形類比，能夠啟迪思路，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。[6]

例如，計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。解題時(shí)，先讓學(xué)生嘗試計(jì)算，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形（參見圖1），發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后再利用規(guī)律，簡(jiǎn)便計(jì)算。這樣的解題過程，將數(shù)轉(zhuǎn)換成形，學(xué)生受到圖形的啟發(fā)，進(jìn)行數(shù)形類比，能夠發(fā)現(xiàn)“從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加的和，等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方”這一數(shù)學(xué)規(guī)律，最后利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，簡(jiǎn)便地算出了得數(shù)。數(shù)形類比的確起到了化繁為簡(jiǎn)，化抽象為直觀，啟迪解題思路、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的作用。

圖1

再如，教學(xué)時(shí)，學(xué)生往往想到先通分再計(jì)算，如果按照這樣的數(shù)字規(guī)律，再連加幾個(gè)分?jǐn)?shù)，就顯得麻煩了。教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)式轉(zhuǎn)換成圖形，展開數(shù)形類比，能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律（參見圖2）。用一個(gè)大正方形表示1，在正方形中分別表示出，學(xué)生受到圖形的啟發(fā),容易發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律，再讓學(xué)生利用規(guī)律，計(jì)算學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)類比，容易得出前1道算式結(jié)果為1－后1道算式結(jié)果為可見，這樣的類比教學(xué)活動(dòng)，以形解數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

5.重視驗(yàn)證修正，減少類比失誤

類比推理是一種合情推理，它是根據(jù)新舊數(shù)學(xué)對(duì)象之間的相似性，類推得出的結(jié)論，但其結(jié)論具有或然性，未必全部正確，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)形式主義錯(cuò)誤。如，學(xué)生根據(jù)a-b-c=a-（b+c）類推出a÷b ÷c=a÷（b×c）,（b、c都不等于0），這個(gè)結(jié)論是正確的，但根據(jù)a×b+a×c=a×（b+c）類推出a÷b+a÷c=a÷（b+c）,這樣的結(jié)論就是錯(cuò)誤的。解答“女生人數(shù)比男生人數(shù)多男生人數(shù)比女生人數(shù)少幾分之幾？”這道題目時(shí)，學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地以整數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，得出“女生人數(shù)比男生人數(shù)少”這一錯(cuò)誤的結(jié)論。學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積公式”時(shí)，學(xué)生往往根據(jù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，錯(cuò)誤地類推出平行四邊形面積=底×鄰邊。

圖2

出現(xiàn)上面的錯(cuò)誤，究其原因，沒有深刻理解數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，沒有找到本質(zhì)上的聯(lián)系，且沒有經(jīng)過檢驗(yàn)。為防止學(xué)生亂用類比造成錯(cuò)誤，提高類比結(jié)論的可靠性。教師要重視培養(yǎng)學(xué)生檢驗(yàn)修正的良好習(xí)慣，學(xué)會(huì)舉例驗(yàn)證猜想，用反例揭示猜想中不合理的部分，逐步修正完善，以提高類比推理結(jié)論的正確性。如，教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時(shí)，學(xué)生往往根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征，就看個(gè)位，輕易得出：個(gè)位上的數(shù)是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。顯然，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。教師可引導(dǎo)學(xué)生用13、16、19、23、26、29等反例來驗(yàn)證，說明猜想是錯(cuò)誤的。接著，再引導(dǎo)學(xué)生觀察百數(shù)表中的3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)個(gè)位和十位上數(shù)的和都是3的倍數(shù)，于是又做出猜想：如果一個(gè)數(shù)各個(gè)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。最后再讓學(xué)生舉出不同的三位數(shù)、四位數(shù)，甚至五位數(shù)、六位數(shù)，并且及時(shí)用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證，得出第二次猜想是正確的，從而發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征。學(xué)生經(jīng)歷了類比猜想→舉例推翻猜想→再次猜想→驗(yàn)證猜想→得出結(jié)論的過程，獲得的體驗(yàn)會(huì)更加深刻，對(duì)特征的理解也會(huì)更加自然透徹。

類比推理可以獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，要使結(jié)論具有可靠性，還要與演繹推理有機(jī)結(jié)合，進(jìn)行猜想的驗(yàn)證、結(jié)論的證明，從而提高類比推理結(jié)論的正確性。例如，在教學(xué)“圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)”時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)圓等分成若干個(gè)扇形，然后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，再通過比較，找出長(zhǎng)方形面積、長(zhǎng)、寬分別與圓面積、周長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，做出猜想，然后以下面的形式，有條理地推導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式。

上面的探索過程，既應(yīng)用了類比推理，也體現(xiàn)了類比推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合，保證了結(jié)論的可靠性。

類比推理是一種創(chuàng)造性推理，無論對(duì)學(xué)生今天的學(xué)習(xí)，還是與他們今后的工作及生活，都具有十分重要的作用。作為教師，要將類比推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過程之中，落實(shí)到數(shù)學(xué)課程的四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域之中[7]，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐步實(shí)現(xiàn)推理能力的發(fā)展目標(biāo)，努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

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