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      在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力

      2016-05-29 01:05:25劉德宏
      中小學(xué)教師培訓(xùn) 2016年6期
      關(guān)鍵詞:類比推理結(jié)論規(guī)律

      劉德宏

      (射陽縣教育局教研室,江蘇 鹽城 224300)

      推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十個(gè)核心概念之一。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,也是人們學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常要使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理兩種形式。[1]類比推理是合情推理的重要形式之一,它是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上相同或相似,從而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦部赡芟嗤蛳嗨频乃季S方式。[2]類比推理是在比較的基礎(chǔ)上,從特殊到特殊的推理,它是引發(fā)猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的有效途徑,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要方法。因此,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,必須高度重視類比推理能力的培養(yǎng)。

      一、類比推理的主要形式

      1.外部形式上的類比

      根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象表面上的相似而進(jìn)行的推理,是一種從形式到形式的類比,這種類比得出的結(jié)論或然性較大,但有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。比如,學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬,就會(huì)自然地想到正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng),學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí),也可能想到平行四邊形的面積=底×鄰邊,但這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的結(jié)論。

      2.內(nèi)在實(shí)質(zhì)上的類比

      通過比較分析數(shù)學(xué)對(duì)象之間的實(shí)質(zhì)性的內(nèi)在聯(lián)系而得出的推理,這種推理根據(jù)兩類對(duì)象在本質(zhì)屬性方面的相似之處,類推出其他方面的相似,從而認(rèn)識(shí)新數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì),因此,得出結(jié)論的正確性相對(duì)較高。比如,在學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)之前,學(xué)生已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),而且在這一知識(shí)的探究過程中,已經(jīng)與商不變的規(guī)律進(jìn)行了實(shí)質(zhì)性的比較與聯(lián)系。學(xué)生認(rèn)識(shí)了比的意義,知道了比的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)數(shù)相除,比也可以寫成分?jǐn)?shù)的形式。因此,可緊緊抓住比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律,自然類比出比的基本性質(zhì)。教學(xué)中,教師要激活學(xué)生已有知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新舊知識(shí)的比較,找出新舊知識(shí)在本質(zhì)上的一致性,從而主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)的遷移,建構(gòu)出新知識(shí)。

      3.過程方法上的類比

      數(shù)學(xué)教學(xué)要重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程,獲得深刻的探究體驗(yàn),感悟數(shù)學(xué)思想方法,積累思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)技能方法的遷移。如,五年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓的面積公式推導(dǎo)”時(shí),把一個(gè)圓平均分成若干個(gè)小扇形,拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,從而推導(dǎo)出圓的面積公式。經(jīng)歷了這樣的過程,掌握了這樣的推導(dǎo)方法,學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓柱體積公式推導(dǎo)”時(shí),就自然地想到把圓柱的底面等分成若干個(gè)扇形,再沿著半徑切開,將圓柱拼成一個(gè)長(zhǎng)方體,從而可以推導(dǎo)出圓柱的體積公式。這就是過程方法上的類比。

      二、培養(yǎng)類比推理能力的教學(xué)策略

      1.探尋本質(zhì)聯(lián)系,搭建類比支架

      數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著密切的內(nèi)在聯(lián)系。在學(xué)習(xí)新知時(shí),要求學(xué)生頭腦里具備同化新知識(shí)的上位概念或相似概念,類比推理才能順利進(jìn)行。因此,教師要充分激活學(xué)生的已有知識(shí),尋找維系新舊知識(shí)的主線,探尋新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,在最近發(fā)展區(qū)為學(xué)生搭建類比的支架,為實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移、進(jìn)行類比推理打好基礎(chǔ)。如,學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”,其本質(zhì)上的根源知識(shí),就是“相同數(shù)位上的數(shù),才能直接相加減”這一計(jì)算原理,這就是維系知識(shí)聯(lián)系的主線,也就是類比的支架。學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí),已經(jīng)形成了這種計(jì)算認(rèn)識(shí),積累了這種計(jì)算經(jīng)驗(yàn)。因此,在教學(xué)時(shí),可以先設(shè)計(jì)一組整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生歸納出計(jì)算過程背后隱含的共同核心要素——“相同數(shù)位上的數(shù),才能直接相加減”。學(xué)生受這個(gè)計(jì)算原理的啟發(fā),就能類比嘗試,將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù),實(shí)現(xiàn)計(jì)數(shù)單位相同,直接相加減。歸納出異分母分?jǐn)?shù)加減法的法則后,再次進(jìn)行新舊知識(shí)的對(duì)比,以凸顯出此類計(jì)算的共同點(diǎn),強(qiáng)化新舊知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系。這樣的類比教學(xué)活動(dòng),促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻理解,構(gòu)建了比較完善的知識(shí)結(jié)構(gòu),培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

      2.基于生活原型,啟發(fā)類比抽象

      現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物原型往往會(huì)啟發(fā)人們展開類比聯(lián)想,引發(fā)猜測(cè),獲得靈感,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,抽象概括出數(shù)學(xué)概念。小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主,現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物原型對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)有很大的啟發(fā)作用。因此,從原型啟發(fā),展開類比學(xué)習(xí),顯得尤為重要。例如,教學(xué)“認(rèn)識(shí)線段”時(shí),讓學(xué)生兩手捏住毛線的兩端,繃緊拉直,形成了線段的實(shí)物原型,進(jìn)而有機(jī)地揭示出線段的本質(zhì)屬性。教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行”時(shí),讓學(xué)生觀察跑道線、操場(chǎng)上的雙杠、秋千架上的兩根立柱,再根據(jù)實(shí)物原型,畫出三組直線,抽象出共同點(diǎn)——永不相交,從而概括出平行線的定義。教學(xué)“角的認(rèn)識(shí)”時(shí),引導(dǎo)學(xué)生觀察剪刀圖、鐘面上的時(shí)針和分針組成的角、五角星等實(shí)物圖,再抽象出“角”。

      這種基于生活原型,展開類比抽象的方式,符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,能夠促進(jìn)學(xué)生從實(shí)物原型中受到一些原理性的啟發(fā),實(shí)現(xiàn)生活原型與數(shù)學(xué)對(duì)象之間的思維直接對(duì)接[3],從而在類比中積累一定的經(jīng)驗(yàn),有機(jī)地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,主動(dòng)建構(gòu)出數(shù)學(xué)概念。

      3.鼓勵(lì)聯(lián)想猜測(cè),實(shí)現(xiàn)直覺類比

      聯(lián)想與猜測(cè)都是類比推理常用的方法,類比的實(shí)質(zhì)是一種聯(lián)想。教學(xué)中,要啟發(fā)學(xué)生找出新舊知識(shí)之間的相似性和本質(zhì)聯(lián)系,展開聯(lián)想,大膽猜測(cè),憑借直覺,進(jìn)行類比推理??梢允侵R(shí)的聯(lián)想類比(包括概念、關(guān)系、性質(zhì)、定律、法則等),也可以是思想方法的類比聯(lián)想,還可以是解決問題思路與方法的聯(lián)想類比。

      如,教學(xué)“體積單位”時(shí),根據(jù)度量面積的大小需要統(tǒng)一面積單位,聯(lián)想到度量體積大小也要統(tǒng)一體積單位,并由1平方厘米、1平方分米、1平方米這三個(gè)常用面積單位聯(lián)想到1立方厘米、1立方分米、1立方米這3個(gè)常用體積單位;[4]在學(xué)習(xí)“等式的性質(zhì)”時(shí),由“等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù),仍然是等式”聯(lián)想猜測(cè)到“等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)(0除外),仍然是等式”,從而完善了等式的性質(zhì);學(xué)過加法的交換律和結(jié)合律后,能夠聯(lián)想猜測(cè)到乘法的交換律和結(jié)合律。這些都是知識(shí)之間的聯(lián)想類比。

      由于分?jǐn)?shù)問題與百分?jǐn)?shù)問題在數(shù)量關(guān)系和問題結(jié)構(gòu)上的一致性,因此,就能由解決分?jǐn)?shù)問題的思路與方法聯(lián)想類推到解決百分?jǐn)?shù)問題的思路和方法;由行程問題中的“速度和×相遇時(shí)間=總路程”這一數(shù)量關(guān)系式類推到工程問題中去,得到“工作效率和×工作時(shí)間=工作總量”這一數(shù)量關(guān)系。[5]這樣的類比教學(xué),將解決兩類問題的思路與方法有機(jī)地聯(lián)系起來,有效地實(shí)現(xiàn)了思路與方法的遷移,形成了更加完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

      教學(xué)中,教師要為學(xué)生提供聯(lián)想猜測(cè)的機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生觀察思考、聯(lián)想猜測(cè),借助直覺,類比發(fā)現(xiàn),從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

      4.利用數(shù)形結(jié)合,促進(jìn)類比遷移

      數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)對(duì)象,借助圖形描述數(shù)式,利用數(shù)式解釋圖形,這樣的數(shù)形類比,能夠啟迪思路,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。[6]

      例如,計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。解題時(shí),先讓學(xué)生嘗試計(jì)算,然后引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形(參見圖1),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,最后再利用規(guī)律,簡(jiǎn)便計(jì)算。這樣的解題過程,將數(shù)轉(zhuǎn)換成形,學(xué)生受到圖形的啟發(fā),進(jìn)行數(shù)形類比,能夠發(fā)現(xiàn)“從1開始,連續(xù)奇數(shù)相加的和,等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方”這一數(shù)學(xué)規(guī)律,最后利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,簡(jiǎn)便地算出了得數(shù)。數(shù)形類比的確起到了化繁為簡(jiǎn),化抽象為直觀,啟迪解題思路、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的作用。

      圖1

      再如,教學(xué)時(shí),學(xué)生往往想到先通分再計(jì)算,如果按照這樣的數(shù)字規(guī)律,再連加幾個(gè)分?jǐn)?shù),就顯得麻煩了。教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)式轉(zhuǎn)換成圖形,展開數(shù)形類比,能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律(參見圖2)。用一個(gè)大正方形表示1,在正方形中分別表示出,學(xué)生受到圖形的啟發(fā),容易發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律,再讓學(xué)生利用規(guī)律,計(jì)算學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)類比,容易得出前1道算式結(jié)果為1-后1道算式結(jié)果為可見,這樣的類比教學(xué)活動(dòng),以形解數(shù),化繁為簡(jiǎn),有效地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

      5.重視驗(yàn)證修正,減少類比失誤

      類比推理是一種合情推理,它是根據(jù)新舊數(shù)學(xué)對(duì)象之間的相似性,類推得出的結(jié)論,但其結(jié)論具有或然性,未必全部正確,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)形式主義錯(cuò)誤。如,學(xué)生根據(jù)a-b-c=a-(b+c)類推出a÷b ÷c=a÷(b×c),(b、c都不等于0),這個(gè)結(jié)論是正確的,但根據(jù)a×b+a×c=a×(b+c)類推出a÷b+a÷c=a÷(b+c),這樣的結(jié)論就是錯(cuò)誤的。解答“女生人數(shù)比男生人數(shù)多男生人數(shù)比女生人數(shù)少幾分之幾?”這道題目時(shí),學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地以整數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn),得出“女生人數(shù)比男生人數(shù)少”這一錯(cuò)誤的結(jié)論。學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積公式”時(shí),學(xué)生往往根據(jù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬,錯(cuò)誤地類推出平行四邊形面積=底×鄰邊。

      圖2

      出現(xiàn)上面的錯(cuò)誤,究其原因,沒有深刻理解數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),沒有找到本質(zhì)上的聯(lián)系,且沒有經(jīng)過檢驗(yàn)。為防止學(xué)生亂用類比造成錯(cuò)誤,提高類比結(jié)論的可靠性。教師要重視培養(yǎng)學(xué)生檢驗(yàn)修正的良好習(xí)慣,學(xué)會(huì)舉例驗(yàn)證猜想,用反例揭示猜想中不合理的部分,逐步修正完善,以提高類比推理結(jié)論的正確性。如,教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時(shí),學(xué)生往往根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征,就看個(gè)位,輕易得出:個(gè)位上的數(shù)是3的倍數(shù),這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。顯然,這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。教師可引導(dǎo)學(xué)生用13、16、19、23、26、29等反例來驗(yàn)證,說明猜想是錯(cuò)誤的。接著,再引導(dǎo)學(xué)生觀察百數(shù)表中的3的倍數(shù),發(fā)現(xiàn)這些數(shù)個(gè)位和十位上數(shù)的和都是3的倍數(shù),于是又做出猜想:如果一個(gè)數(shù)各個(gè)位上數(shù)的和是3的倍數(shù),那么這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。最后再讓學(xué)生舉出不同的三位數(shù)、四位數(shù),甚至五位數(shù)、六位數(shù),并且及時(shí)用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證,得出第二次猜想是正確的,從而發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征。學(xué)生經(jīng)歷了類比猜想→舉例推翻猜想→再次猜想→驗(yàn)證猜想→得出結(jié)論的過程,獲得的體驗(yàn)會(huì)更加深刻,對(duì)特征的理解也會(huì)更加自然透徹。

      類比推理可以獲得猜想,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,要使結(jié)論具有可靠性,還要與演繹推理有機(jī)結(jié)合,進(jìn)行猜想的驗(yàn)證、結(jié)論的證明,從而提高類比推理結(jié)論的正確性。例如,在教學(xué)“圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)”時(shí),先引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)圓等分成若干個(gè)扇形,然后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,再通過比較,找出長(zhǎng)方形面積、長(zhǎng)、寬分別與圓面積、周長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上,做出猜想,然后以下面的形式,有條理地推導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式。

      上面的探索過程,既應(yīng)用了類比推理,也體現(xiàn)了類比推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合,保證了結(jié)論的可靠性。

      類比推理是一種創(chuàng)造性推理,無論對(duì)學(xué)生今天的學(xué)習(xí),還是與他們今后的工作及生活,都具有十分重要的作用。作為教師,要將類比推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過程之中,落實(shí)到數(shù)學(xué)課程的四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域之中[7],通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng),逐步實(shí)現(xiàn)推理能力的發(fā)展目標(biāo),努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?!?/p>

      參考文獻(xiàn):

      [1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

      [2][3]顧曉東.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的類比推理及教學(xué)策略[J].教學(xué)與管理,2015(20):39-42.

      [4][5][6]劉德宏.重視類比教學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)思考[J].教學(xué)實(shí)踐與研究,2013(8):79-80.

      [7]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

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