考慮有限轉(zhuǎn)角下薄壁構(gòu)件穩(wěn)定理論及其應(yīng)用

余少樂, 周　祎

(1． 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 上海 200092； 2． 西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

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考慮有限轉(zhuǎn)角下薄壁構(gòu)件穩(wěn)定理論及其應(yīng)用

余少樂1, 周祎2

(1． 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 上海 200092； 2． 西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

摘要：為了解決傳統(tǒng)穩(wěn)定理論的兩個(gè)力學(xué)缺陷，引入半切線轉(zhuǎn)角矢量作為構(gòu)件轉(zhuǎn)角的變量，由二階轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣推導(dǎo)出梁?jiǎn)卧亩A位移表達(dá)式，并利用有限變形理論，得出構(gòu)件位移與應(yīng)變的非線性關(guān)系，通過Bernoulli平截面彎曲假定得出轉(zhuǎn)角與側(cè)移導(dǎo)數(shù).運(yùn)用薄壁構(gòu)件穩(wěn)定理論，推導(dǎo)出構(gòu)件彎扭屈曲的總勢(shì)能，證實(shí)了傳統(tǒng)理論，解決了傳統(tǒng)理論中的缺陷，能夠適用各種邊界條件和荷載條件下的彎扭屈曲分析.

關(guān)鍵詞：非線性分析； 穩(wěn)定分析； 薄壁結(jié)構(gòu)； 半切線轉(zhuǎn)角

1鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析

在薄壁鋼梁的穩(wěn)定理論上，存在傳統(tǒng)理論和考慮中面非線性剪切應(yīng)變能的新近理論.傳統(tǒng)理論存在本身難以克服的理論缺陷，但幾十年的使用中并沒有通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其存在的問題，并且許多國(guó)家規(guī)范采用以它為依據(jù)的公式，例如我國(guó)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[1](GB50017—2003).文獻(xiàn)[2-3]的理論仍屬于傳統(tǒng)理論范疇，在推導(dǎo)上使得傳統(tǒng)理論顯得更加精致，但仍然有兩個(gè)缺陷:限制了結(jié)構(gòu)的變形規(guī)律，使得結(jié)構(gòu)的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)只能按一定的次序發(fā)生和發(fā)展;對(duì)截面轉(zhuǎn)角θ的簡(jiǎn)化不一致.

考慮到在空間構(gòu)件分析中，空間轉(zhuǎn)動(dòng)不是矢量, 不遵守矢量加法交換律.Argyris[4-6]對(duì)空間有限轉(zhuǎn)動(dòng)的矩陣表示做過探討，還對(duì)與兩個(gè)(或更多的)連續(xù)任意的轉(zhuǎn)動(dòng)等價(jià)的混合轉(zhuǎn)動(dòng)矢量作了研究.通過引入描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的轉(zhuǎn)動(dòng)角位置矢量,定義了半切線轉(zhuǎn)角矢量，此理論用于剛體繞正交軸兩次有限轉(zhuǎn)動(dòng)的合成問題,解決了有限轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移無法定義為矢量的問題.Kim M Y, Chang S P ，Kim S B，等[7-8]對(duì)半切線轉(zhuǎn)角矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣進(jìn)行推導(dǎo)，得出羅德里格轉(zhuǎn)角矢量和半切線轉(zhuǎn)角矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣都是正交的，兩轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一階和二階項(xiàng)是相同，而三階項(xiàng)是不同的.結(jié)構(gòu)幾何非線性的有限元計(jì)算方法是目前工程分析中的熱門問題，Bathe[9]進(jìn)行了大量研究,建立了三維梁?jiǎn)卧笪灰?、大轉(zhuǎn)動(dòng)、小應(yīng)變的U.L.列式和T.L.列式分析方法.陳政清[10]以三維連續(xù)梁的虛功增量方程為基礎(chǔ)，導(dǎo)出了三維梁大撓度問題內(nèi)力分析的U.L.列式法,提出了新的幾何剛度矩陣形式，改進(jìn)了Bathe的非線性梁?jiǎn)卧?，從而減少了U.L.列式的計(jì)算時(shí)間.本文引入半切線轉(zhuǎn)角矢量作為構(gòu)件轉(zhuǎn)角的變量，得到二階轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，由此推導(dǎo)出梁?jiǎn)卧亩A位移，并利用有限變形理論，得出構(gòu)件位移與應(yīng)變的非線性關(guān)系，運(yùn)用薄壁構(gòu)件穩(wěn)定理論，推導(dǎo)出構(gòu)件彎扭屈曲的總勢(shì)能，與傳統(tǒng)理論得到的總勢(shì)能相同，與已有文獻(xiàn)中分析結(jié)果進(jìn)行比較，表明使用本文的方法對(duì)參考文獻(xiàn)中試驗(yàn)構(gòu)件計(jì)算的值和試驗(yàn)值誤差很小，能夠取得很高的精度.

2傳統(tǒng)穩(wěn)定理論的缺陷

鄂國(guó)康[11]指出目前普遍采用的理論限制了結(jié)構(gòu)的彎扭變形過程，使得變形過程受制于線位移和轉(zhuǎn)角位移按一定的先后順序產(chǎn)生.

根據(jù)截面轉(zhuǎn)角產(chǎn)生的先后次序，橫截面上任一點(diǎn)P(x,y)的位移大致可用兩種途徑求得:①橫截面先繞原剪切中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)θx，然后再分別繞剪切點(diǎn)的主軸分別轉(zhuǎn)動(dòng)-Uz,x，Uy,x.②橫截面先繞剪切點(diǎn)的主軸分別轉(zhuǎn)動(dòng)-Uz,x，Uy,x，然后再繞原剪切中心軸轉(zhuǎn)動(dòng).第一種途徑的轉(zhuǎn)動(dòng)次序是θx，-Uz,x，Uy,x.第二種途徑的轉(zhuǎn)動(dòng)次序是θx，Uy,x，-Uz,x.不同的轉(zhuǎn)動(dòng)次序所導(dǎo)出的P(x,y)點(diǎn)的位移也不同.

按照目前的理論，橫截面先繞原剪切中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，再分別繞剪切點(diǎn)的兩主軸分別轉(zhuǎn)動(dòng)得到的位移與橫截面先繞剪切點(diǎn)的兩主軸分別轉(zhuǎn)動(dòng)，再繞原剪切中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)得到的位移并不相同.所以不同的轉(zhuǎn)動(dòng)次序所導(dǎo)出的位移也不同.這說明結(jié)構(gòu)的屈曲是與轉(zhuǎn)動(dòng)次序有關(guān)的.實(shí)際上，屈曲過程是與轉(zhuǎn)動(dòng)的產(chǎn)生次序無關(guān)的，也就是說在屈曲的發(fā)生過程中各種轉(zhuǎn)動(dòng)是同時(shí)發(fā)生和發(fā)展的，并在該過程中相互作用.

童根樹[12-13]指出傳統(tǒng)穩(wěn)定理論中截面中面上各點(diǎn)的位移與外荷載的位移對(duì)1-cosθ采用了不同數(shù)量級(jí)的簡(jiǎn)化.構(gòu)件橫截面上任一點(diǎn)P(x,y)側(cè)向位移是采用1-cosθ≈0的簡(jiǎn)化而得到的，所以在求線性應(yīng)變能和非線性的縱向應(yīng)變能時(shí)也采用1-cosθ≈0，求非線性外力勢(shì)能時(shí)卻采用1-cosθ≈θ2/2的簡(jiǎn)化.在同一個(gè)理論中對(duì)1-cosθ采用了兩種不同數(shù)量級(jí)的簡(jiǎn)化.

3半切線轉(zhuǎn)角

對(duì)于大位移大轉(zhuǎn)角問題,采用轉(zhuǎn)角作為轉(zhuǎn)動(dòng)變量時(shí),當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞固定坐標(biāo)軸產(chǎn)生大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其結(jié)果與轉(zhuǎn)角施加順序有關(guān).因此,定義合理的轉(zhuǎn)動(dòng)變量至關(guān)重要[14].現(xiàn)有許多文獻(xiàn)在基于協(xié)同轉(zhuǎn)動(dòng)法建立有限元公式時(shí),因采用非矢量型轉(zhuǎn)角而得到的單元切線剛度矩陣往往不對(duì)稱,從而給結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的存儲(chǔ)和計(jì)算效率帶來非常不利的影響.為避免因單元切線剛度矩陣不對(duì)稱而帶來的麻煩, Argyris定義了矢量型轉(zhuǎn)動(dòng)變量,將繞正交固定軸先后轉(zhuǎn)動(dòng)的角位置矢量記為θ1，θ2.合成的角位移矢量可表示為

(1)

(2)

其中，θ12，θ21為繞正交固定軸不同次序的轉(zhuǎn)角.而半切線轉(zhuǎn)角為這兩不同次序轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角的平均值.由此可知，半切線轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角矢量θ1，θ2之和，能像真正的矢量那樣進(jìn)行矢量的加法運(yùn)算法則.參考文獻(xiàn)[7]，設(shè)繞x，y，z軸的半切線轉(zhuǎn)角分量為θx，θy，θz，其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為

(3)

該轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R具有以下幾個(gè)特征：

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣是正交的，即RTR=I.

(2)由于連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的半切線轉(zhuǎn)角具有可交換性，所以轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣與轉(zhuǎn)動(dòng)次序無關(guān).

(3)由性質(zhì)2可知，總勢(shì)能方程具有唯一性.

4薄壁構(gòu)件在有限轉(zhuǎn)角下的穩(wěn)定理論

本文采用的基本假定為: ①梁變形后橫截面仍為平面; ②變形前后構(gòu)件中線始終垂直于平截面；③忽略由翹曲引起y，z軸的曲率變化；④大變形，大轉(zhuǎn)角，小應(yīng)變；⑤彈性，均質(zhì)，各向同性材料.

(4a)

(4b)

由式(4)可知，基矢量1ei和2ei的關(guān)系為

1ei=R2ei

(5)

A點(diǎn)的位移矢量UA可表示為

(6)

將式(4)和式(5)代入(6)，可得

(7a)

(7b)

(7c)

其中，Usx,Usy,Usz分別是剪心S點(diǎn)關(guān)于x,y和z軸的剛體位移，如圖1所示.

圖1薄壁構(gòu)件橫截面的位移和力

Fig.1Force and displacement components of thin-

walled structure’s cross-section

采用有限變形理論分析構(gòu)件的變形關(guān)系，應(yīng)變與位移的關(guān)系為

(8a)

(8b)

(8c)

在Vlasov基本假定中薄壁中面線性剪應(yīng)變?yōu)榱?，本文中將薄壁中面線性剪應(yīng)變?yōu)榱愕募俣〝U(kuò)展到非線性范圍，即

(9a)

(9b)

Uw,y-(z-z0)θx,x+Uw,y[(z-z0)θy,x-(y-y0)θz,x]=0

(9c)

Uw,z-(y-y0)θx,x+Uw,z[(z-z0)θy,x-(y-y0)θz,x]=0

(9d)

由式(9a)和式(9b)可知，轉(zhuǎn)角與側(cè)移導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為

(10a)

(10b)

截面翹曲只考慮與y和z的線性關(guān)系，故忽略式(9c)中Uw,y[(z-z0)θy,x-(y-y0)θz,x]項(xiàng)和式(9d)中Uw,z[(z-z0)θy,x-(y-y0)θz,x]項(xiàng)，由式(9c)和(9d)可知

(11)

其中，ωs為剪心S點(diǎn)的扇性坐標(biāo).

以y=0,z=0代入式(7a)可得截面形心C縱向位移Ucx,即

(12)

令Ux=Ucx+ωsθx,x，則式(7a) 可寫為

(13)

式(8a)又可以寫為

(y-y0)θx,x]2}

(14)

式(14)與文獻(xiàn)[2]中式(17.163)，文獻(xiàn)[3]中式(A2.12)給出的應(yīng)變表達(dá)式是一致的.

將式(10a)，(10b)代入式(14)得

ε11=Ux,x-yUsy,xx-zUsz,xx+θxUsz,xx+ωsθx,x+

(15)

將式(9c)和(9d)代入式(8b)和(8c)可知

(16)

式中,J為截面抗扭常數(shù).

J=∫[z2+y2+2zUw,y-2yUw,z+(Uw,y)2+(Uw,z)2]dA

(17)

5薄壁構(gòu)件的應(yīng)變能與荷載勢(shì)能

薄壁構(gòu)件應(yīng)變能w由縱向應(yīng)變能與剪切應(yīng)變能組成如下：

(18)

考慮截面的殘余應(yīng)力σr分布的影響，正應(yīng)力σ11為

(19)

式中：A是截面面積;G是剪切模量；Iy,Iz,Iω分別截面對(duì)y，z軸的慣性矩，截面的主扇形慣性矩；P為構(gòu)件軸力；My,Mz為構(gòu)件對(duì)y，z軸彎矩；Bω為構(gòu)件的彎扭雙力矩.截面的正應(yīng)力σ11除了有線性部分σL外，還有非線性正應(yīng)力σN，故可得

(20)

如果忽略式(20)中的非線性部分的高階項(xiàng)σNεN，且知σLεN=σNεL，由此可知

(21)

可寫為

(22)

將式(16)和式(22)代入式(18)得構(gòu)件的應(yīng)變能

(23)

式中：Ucx為形心縱向位移；E為彈性模量.

(24)

式中:Msx,msx分別為繞剪心的集中扭矩和分布扭矩.yG-ys，zG-zs表示橫向均布荷載作用點(diǎn)至截面剪心之間的距離.yi-ys，zi-zs表示集中荷載作用點(diǎn)至截面剪心之間的距離.

半切線轉(zhuǎn)角矢量作為轉(zhuǎn)角位移，初始矢量的最終位置則與連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的次序無關(guān)，由推導(dǎo)出的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的定義給定之后，不同的截面轉(zhuǎn)動(dòng)次序?qū)е碌慕Y(jié)果仍然是一致的，這說明結(jié)構(gòu)的屈曲是與轉(zhuǎn)動(dòng)次序無關(guān)的.截面上各點(diǎn)的位移與外荷載的位移均來自于式7a，式7b和式7c，縱向應(yīng)變能與外力勢(shì)能都采用了1-cosθ≈θ2/2的簡(jiǎn)化，不存在傳統(tǒng)理論上的問題.

6薄壁構(gòu)件的彎扭失穩(wěn)

利用提出的總勢(shì)能，對(duì)承受各種荷載的簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的彎扭屈曲進(jìn)行了分析.對(duì)于簡(jiǎn)支梁，其總勢(shì)能與傳統(tǒng)理論的表達(dá)式是一致的.采用伽遼金法，求得橫向荷載作用時(shí)梁側(cè)扭屈曲臨界彎矩Mcr的一般表達(dá)式為

(25)

式中，a為荷載作用點(diǎn)與截面剪心的距離.系數(shù)C1,C2和C3見表1.

表1　在不同的荷載作用下的系數(shù)

懸臂梁承受均布荷載和自由端集中荷載時(shí)，總勢(shì)能表達(dá)式為

(26)

(27)

比傳統(tǒng)理論的總勢(shì)能多了最后一項(xiàng)，即邊界條件項(xiàng)由勢(shì)能駐值條件，取總勢(shì)能的一階變分為零，可得懸臂梁在純彎下的邊界條件和平衡方程，并與傳統(tǒng)理論做比較，有著相同的平衡方程和固定端的邊界條件，但自由端的邊界條件有所不同.文獻(xiàn)[2]為解決傳統(tǒng)理論的缺陷，在傳統(tǒng)理論的總勢(shì)能中另加上所謂的“自由端彎矩在懸臂梁屈曲過程中的所做的功”：MθxLUzL,x，這樣得到的總勢(shì)能可以滿足懸臂梁在屈曲過程變形中對(duì)自由端彎矩的轉(zhuǎn)動(dòng)要求.由于本文考慮了桿件位移的二階性，故在荷載勢(shì)能中出現(xiàn)了非線性項(xiàng)，自然保留了文獻(xiàn)[2]所增加的項(xiàng).

童根樹提出了一種新的薄壁截面梁的彎扭屈曲理論，它的總勢(shì)能由線性應(yīng)變能，非線性縱向應(yīng)變能，非線性剪切應(yīng)變能和非線性橫向應(yīng)變能組成，對(duì)于懸臂梁在純彎下的屈曲的總勢(shì)能為

(28)

可以看出，童根樹提出的懸臂梁在純彎下總勢(shì)能的形式可以回歸到本文所提出理論的形式.

當(dāng)自由端僅作用橫向集中力時(shí)，因?yàn)樽杂啥藦澗貫榱?，傳統(tǒng)理論與本文理論的總勢(shì)能都為

(29)

張磊和童根樹利用有限元程序的計(jì)算，將每根懸臂梁分為30個(gè)單元，使用三次多項(xiàng)式的位移函數(shù)，用求特征值的方法來得到臨界荷載.通過與文獻(xiàn)[15-16]的試驗(yàn)結(jié)果相比較，由式(29)得到的臨界荷載值，與試驗(yàn)值之間的誤差基本在5%之內(nèi).

7結(jié)論

提出了考慮有限轉(zhuǎn)角下薄壁構(gòu)件非線性應(yīng)變能的一般表達(dá)式，導(dǎo)出了彎扭失穩(wěn)的總勢(shì)能方程，克服了傳統(tǒng)穩(wěn)定理論存在的力學(xué)缺陷.由總勢(shì)能的二階變分推導(dǎo)的單元幾何非線性切線剛度矩陣對(duì)鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析具有較高的精度和適用性.

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Theory of Thin-walled Component Stability Based on Finite Rotation and Its Application

YU Shaole1， ZHOU Yi2

(1． College of Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092，China; 2． College of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract：To overcome the default of the classic theory, semitangential rotation was introduced as the spatially rotational parameters. Based on the second-order rotation matrix, the expression of the second-order displacement of beam element was deduced. According to the finite deformation theory, the strain-displacement non-linear relationship for the thin-walled structures were presented. Based on the Bernoulli plain section assumption, the relation between rotation and transverse displacement derivative was derived. Thin-walled component stability theory was adopted to duduce the total potential energy of flexural-torsional buckling, which verified the traditional formula and overcame the defects of traditional theory. The analysis results show that the proposed theory is suitable for flexural-torsional buckling analysis of beams under any boundary conditions and loadings.

Key words：nonlinear analysis； buckling analysis； thin-walled structure； semitangential rotation

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：TU318

通訊作者：周祎(1982—)男，工學(xué)博士，講師，主要研究方向?yàn)榭臻g結(jié)構(gòu)、非線性有限元理論.E-mail：suzhouzhouyi@163.com

收稿日期：2015—05—07

第一作者： 余少樂(1987—)男，博士生,主要研究方向?yàn)榭臻g結(jié)構(gòu)、預(yù)制裝配式結(jié)構(gòu).E-mail:yushaole10@163.com