長江口深水航道回淤量時間序列混沌特征分析

丁　磊，竇希萍，高祥宇，潘　昀，焦增祥

(南京水利科學(xué)研究院港口航道泥沙工程交通行業(yè)重點實驗室，江蘇南京　210029)

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長江口深水航道回淤量時間序列混沌特征分析

丁磊，竇希萍，高祥宇，潘昀，焦增祥

(南京水利科學(xué)研究院港口航道泥沙工程交通行業(yè)重點實驗室，江蘇南京210029)

摘要：針對長江口深水航道回淤分布情況，以回淤最嚴(yán)重的H～N段為中間段P2段，H段以上為P1段，N段以下為P3段，將全部航道分為3段。采用混沌理論對深水航道全段及各分段回淤量時間序列的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)以及K2熵進行混沌特征分析。各分段的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)變化范圍為1.80～2.15，K2熵變化范圍為0.08～0.12；全段的分?jǐn)?shù)維與K2熵的值大于各分段，分別為2.93和0.16。各分段的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)研究表明，長江口深水航道回淤量的時間序列具有混沌特征，全段混沌特征的復(fù)雜性高于各分段。根據(jù)2011年，2012年和2013年長江口深水航道回淤量的時間序列，利用混沌方法對深水航道未來回淤量進行預(yù)測，各分段可預(yù)報時間尺度最多為1年，全段的可預(yù)報時間尺度為半年。給出了長江口深水航道全段及各分段回淤動力系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達式的一般形式，全段需要3～6個狀態(tài)變量，3個以上控制變量；各分段需要2～5個狀態(tài)變量，3個以上控制變量。回淤動力系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達式的一般形式可為建立回淤量預(yù)報模式提供參考。

關(guān)鍵詞：深水航道； 混沌特征； 回淤量； 時間序列

長江口深水航道治理工程是國內(nèi)規(guī)模最大水運工程之一，目前面臨著較嚴(yán)重的航道回淤問題。航道回淤預(yù)測一直是長江口深水航道治理工程的研究核心和難點[1]，有必要通過不同方法加以研究。

長江口屬粉沙淤泥質(zhì)多汊河口，在徑流、潮流、波浪和鹽水的綜合作用和影響下，泥沙運動規(guī)律極其復(fù)雜。長江口深水航道治理工程分三期實施，從二期工程10 m水深的維護開始，航道的維護疏浚量上升迅速。三期工程開工后，航道回淤量超過預(yù)期、回淤分布高度集中且洪枯季(5—10月為洪季，11月至次年4月為枯季)差異明顯[2]。雖然通過加長丁壩等工程措施來提高落潮流速，減淤效果顯著，但回淤總量仍然較大。談澤煒等[3]分析了泥沙和水動力條件等各類因素變化的影響，提出相應(yīng)減淤措施；劉高峰等[4]指出近底高含沙水體進入航道并導(dǎo)致北槽中段回淤量大的部分原因；在對各期回淤量的預(yù)報研究中，竇希萍[1]建立了長江口深水航道回淤量預(yù)測數(shù)學(xué)模型并對一、二、三期工程實施后回淤量進行了預(yù)報。雖然對長江口深水航道回淤的研究很多，但現(xiàn)階段無論是數(shù)學(xué)模型還是物理模型在12.5 m航道回淤量的預(yù)測上與實際仍有較大差距。因此，隨著12.5 m航道運行以及回淤實測數(shù)據(jù)的不斷積累，采用數(shù)學(xué)分析方法進行回淤量預(yù)測是另一個重要研究途徑。潘昀等[5]采用分形理論對長江口深水航道年回淤量進行預(yù)測，給出了未來回淤量的變化范圍。除分形理論外，混沌理論也是對時間序列進行分析的數(shù)學(xué)方法，通過對動力系統(tǒng)時間序列所反映的系統(tǒng)隱含特性的研究，來預(yù)測動力系統(tǒng)未來行為。不少學(xué)者在水文預(yù)測[6]、洪澇災(zāi)害預(yù)測[7]等方面利用混沌特征量中的一個或多個對不同對象的混沌特征進行研究，然而此方法尚未應(yīng)用到航道回淤動力系統(tǒng)的研究中。

目前，混沌理論中，根據(jù)動力系統(tǒng)時間序列預(yù)測其未來發(fā)展趨勢的預(yù)測算法有很多，如局域法、加權(quán)一階局域法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時間序列預(yù)測法等，但在對混沌時間序列預(yù)報前，需對混沌系統(tǒng)進行判別。本文嘗試?yán)没煦缋碚搶﹂L江口深水航道動力系統(tǒng)回淤量時序進行混沌特征分析，進一步認(rèn)識深水航道回淤動力系統(tǒng)特征，為采用合理的混沌預(yù)報算法預(yù)測未來深水航道回淤量奠定基礎(chǔ)，為基于成因機理的長江口深水航道回淤動力模型的構(gòu)建提供借鑒。

1混沌理論

1.1混沌特征量

混沌理論中，對于任意動力系統(tǒng)，通過對時間序列的構(gòu)造，可以形成一個對應(yīng)的相空間，隨著時間發(fā)展，所有軌跡線都趨向于一個子空間，即吸引子[8]。混沌系統(tǒng)的吸引子被稱為奇異吸引子，其特征量是判斷該系統(tǒng)否具有混沌特征的主要指標(biāo)，包括飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)，Kolmogorov熵(K2熵)等。

混沌系統(tǒng)吸引子對應(yīng)相空間的規(guī)律可通過飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)表現(xiàn)。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)在表述奇異吸引子性質(zhì)時為該吸引子中各點所需的最少獨立坐標(biāo)數(shù)，表示吸引子所對應(yīng)的相空間維數(shù)的最小值。K2熵是吸引子軌道點空間分布的平均信息量，是動力系統(tǒng)相空間軌道發(fā)散與收斂程度的一種度量，飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)和K2熵均可判斷系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)以及混沌程度，K2熵還可估計可預(yù)報時間[9]。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)與K2熵基本保持一個正相關(guān)關(guān)系。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)越大，K2熵越大，說明混沌運動越復(fù)雜。復(fù)雜程度高的極限是沒有規(guī)律的隨機運動，復(fù)雜程度低的極限是完全有規(guī)律可循的周期運動。當(dāng)飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)與K2熵為0時，說明系統(tǒng)完全確定，可以準(zhǔn)確預(yù)測；當(dāng)飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)與K2熵趨向無窮時，系統(tǒng)完全隨機，可以進行統(tǒng)計平均預(yù)測；飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)與K2熵等于某個有限值時，系統(tǒng)是混沌的。通過計算一段航道回淤量時間序列相關(guān)的混沌特征量，可以判斷該航道的回淤動力系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)以及混沌的復(fù)雜程度。

對初始值的強烈敏感依賴是混沌運動的最大特征。初始值的稍微改變可以導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生重大變化，混沌運動的長期行為不可以準(zhǔn)確預(yù)測。但是，混沌運動整體上又是確定的，以周期性隨機現(xiàn)象表現(xiàn)出來，其短期行為可以比較準(zhǔn)確預(yù)測[10]。K2熵的倒數(shù)可作為系統(tǒng)平均預(yù)報時間，為深水航道回淤量時間序列的預(yù)報提供了思路。因而對深水航道動力系統(tǒng)混沌特征量的分析是正確認(rèn)識深水航道動力系統(tǒng)以及對回淤量時間序列做出較為精準(zhǔn)預(yù)報的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

1.2相空間重構(gòu)

對于任何時間序列的混沌識別以及進一步的混沌分析都需要建立在相空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上。重構(gòu)相空間是一個把時間序列建立成一個與之對應(yīng)的多維相空間，并保持原有的幾何性質(zhì)與動力特征?；煦缦到y(tǒng)的相空間通常具有極大的維數(shù)，其中每一個點代表混沌系統(tǒng)的全部可能的狀態(tài)。最常用的相空間重構(gòu)方法為時間延遲坐標(biāo)法。研究時把動力系統(tǒng)概化為n個變量的一階偏微分方程，可以表示為：

dxi/dt=fi(x1,x2,…,xn)

(1)

表示系統(tǒng)時間變化的狀態(tài)空間可用坐標(biāo)與其(n-1)階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的n維空間來表示。即

Y(t)=[x(t),x(1)(t),…,xn-1(t)]T

(2)

實際應(yīng)用時，所收集的資料一般為離散時間序列，因而系統(tǒng)狀態(tài)空間不再連續(xù)，式(2)中連續(xù)的導(dǎo)數(shù)部分用時間滯留進行離散，離散結(jié)果為：

Y(t)=[x(t),x(t+1),…,x[t+(n-1)τ]]T

(3)

因此，若對一時間序列x1,x2,…,xn,選定延遲時間τ和嵌入維數(shù)m?？傻门c時間序列對應(yīng)的相空間為：

Yi=[xi,xi+τ,…,xi+(m-1)τ](i=1,2,…,l)

(4)

其中l(wèi)=n-(m-1)τ。求τ的方法主要為自相關(guān)法，定義為：

(5)

對于一時間序列，每個嵌入維數(shù)m對應(yīng)一個混沌吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)dm，隨著嵌入維數(shù)m的增大，關(guān)聯(lián)維數(shù)dm會逐漸增加，直到某一定值并不再改變，該值為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)，即該混沌吸引子的維數(shù)，其對應(yīng)的嵌入維為飽和嵌入維。飽和嵌入維是描述混沌運動所需的最多變量自由度個數(shù)。飽和關(guān)聯(lián)維與飽和嵌入維的數(shù)目是非線性動力學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)包含狀態(tài)變量數(shù)目的最小值與最大值。嵌入維數(shù)的確定方法以飽和關(guān)聯(lián)維法最為實用。

在m維相空間序列Yi(i=1,2,…，l)中，設(shè)rij(m)為任意兩點之間的二范數(shù)‖Yi-Yj‖。給定一個介于rij(m)最大值與最小值之間的數(shù)ro，為了找出所有小于ro點的概率，定義一個函數(shù)C(r)：

(6)

式中：H(x)為Heaviside函數(shù)，x比0大時值為1，否則值為0。通過調(diào)整r0的大小，可以算出一系列l(wèi)n(ro)和ln(C(r))的值。則關(guān)聯(lián)維數(shù)dm可通過下式計算：

(7)

K2熵可以在計算出飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)的基礎(chǔ)上利用最小二乘法回歸求得[11]。

2資料來源

為了解長江口深水航道動力系統(tǒng)特征及其內(nèi)部差異，采用2011，2012和2013年長江口深水航道各疏浚單元的實測回淤量資料。圖1為長江口深水航道及疏浚單元示意圖，表1為2011，2012和2013年長江口深水航道月回淤量。分析表明，長江口深水航道二期工程竣工以來，H～N段的回淤最為嚴(yán)重，因而根據(jù)深水航道的回淤情況，將航道分為3段，H單元以上為P1段，H～N段為P2段，N單元以下為P3段，對這3段分別進行混沌特征的判別。

圖1　長江口深水航道示意Fig.1　Deep-water channel of Yangtze River estuary

104m3

3混沌特征量分析

3.1長江口深水航道混沌特征量計算結(jié)果

利用自相關(guān)法作出長江口深水航道全段與各分段Cl(τ)與τ的關(guān)系曲線(圖2)，可確定全段與P1，P2，P3段Cl(τ)=0時，τ分別為2.89，2.81，2.83，3.01?？扇∪闻c各分段的延遲時間均為τ=3。利用飽和關(guān)聯(lián)維法，根據(jù)已確定的延遲時間，畫出長江口深水航道全段與各分段在嵌入維數(shù)m逐漸增加情況下ln(r0)和ln(C(r))的關(guān)系曲線(圖3)。每幅圖中每個嵌入維數(shù)m對應(yīng)的曲線中間均有近似直線段，直線段斜率為該嵌入維數(shù)m對應(yīng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)dm。隨著m的增大，直線段的斜率也在增大并接近一個定值，該值即為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)值。由圖2可見，長江口深水航道全段與P1，P2，P3段飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)分別為2.93，2.11，1.80，2.15，全段與之對應(yīng)的飽和嵌入維數(shù)m均為6，各分段與之對應(yīng)的飽和嵌入維數(shù)m均為5。該結(jié)果也可通過長江口深水航道全段與各分段嵌入維數(shù)m與其對應(yīng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)dm的關(guān)系曲線(圖4)得到驗證。同樣可計算長江口深水航道全段與P1,P2,P3段，K2熵分別為0.16，0.12，0.08，0.10。

圖2　Cl(τ)與τ的關(guān)系曲線Fig.2　Relationship curves of Cl(τ) and τ

圖3　ln(r0)和ln(C(r))的關(guān)系曲線Fig.3　Relationship curves of ln(r0) and ln(C(r))

圖4　關(guān)聯(lián)維數(shù)與嵌入維數(shù)關(guān)系Fig.4　Relationship curves of correlation dimension and 　embedding dimension

Tab.2Chaotic parameters of the whole and each section

of Yangtze estuary’s deep-water channel

長江口深水航道疏浚段飽和嵌入維數(shù)飽和關(guān)聯(lián)維K2熵P152.110.12P251.800.08P352.150.10全段62.930.16

3.2長江口深水航道混沌特征量物理意義分析

飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)和K2熵是判斷系統(tǒng)是否具有混沌特征及混沌程度的重要指標(biāo)。由表2可見, 長江口深水航道全段及各分段飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)均為正數(shù)，證明長江口深水航道回淤動力系統(tǒng)具有混沌特征。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)越大，K2熵越大，說明混沌運動越復(fù)雜。嚴(yán)重回淤段P2的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)、K2熵在3段里最小，說明混沌運動的程度相對較低，即更有規(guī)律性，但與其相鄰兩段P1，P3差別不大。長江口深水航道全段的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)、K2熵比各分段都要高，說明整個深水航道的動力系統(tǒng)復(fù)雜程度要比其中某一段的復(fù)雜程度要高。

在可預(yù)報時間內(nèi)，利用混沌預(yù)報算法可較為精確地預(yù)報深水航道回淤量。依據(jù)混沌理論，K2熵的倒數(shù)為表征可預(yù)報時間的物理量，全段與P1，P2，P3段的可預(yù)測時間分別為6.67，8.88，12.5，10。故長江口深水航道各分段回淤量可預(yù)測時間最多可達1年；而全段回淤量可預(yù)報時間僅為半年。其原因在于，長江口深水航道各段可預(yù)報時間內(nèi)的回淤量與未來值均會產(chǎn)生一定偏差，但認(rèn)為是可以接受的。而各段偏差的累積會在整個航道預(yù)測時造成不可接受的更大偏差，導(dǎo)致可預(yù)測時間的縮短。

3.3長江口深水航道回淤動力系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達式構(gòu)建設(shè)想

長江口深水航道非線性動力學(xué)系統(tǒng)十分復(fù)雜，回淤量與各影響因素之間的定量數(shù)學(xué)關(guān)系確定難度很大。本文雖然是對單變量時間序列重構(gòu)相空間的混沌特征進行分析，但也可為非線性動力學(xué)系統(tǒng)構(gòu)建提供借鑒。

根據(jù)飽和關(guān)聯(lián)維和飽和嵌入維的物理意義，飽和關(guān)聯(lián)維表示該動力系統(tǒng)需要的最少獨立變量數(shù)，飽和嵌入維表示該動力系統(tǒng)需要的最多獨立變量數(shù)。對于長江口深水航道各分段，回淤動力系統(tǒng)應(yīng)包含的最少狀態(tài)變量數(shù)目為2，最多狀態(tài)變量數(shù)目為5。若考慮整條航道，回淤動力系統(tǒng)應(yīng)包含的最少狀態(tài)變量數(shù)目為3，最多狀態(tài)變量數(shù)目為6。這在一定程度上為構(gòu)建動力學(xué)系統(tǒng)提供了參考。確定狀態(tài)變量后，還需要若干個控制變量來全面刻畫系統(tǒng)分叉與突變行為?？刂谱兞康臄?shù)目不小于最多與最少狀態(tài)變量的差?？刂谱兞恳话闶窃谙到y(tǒng)演化過程中新形成的具有綜合意義的變量，需要深入探討[12]。

由此可得長江口深水航道回淤動力系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達式的一般形式：

dxi/dt=fi(x1,x2,…,xn;λ1,λ2,λ3)

(8)

式中：xi為狀態(tài)變量；λ1,λ2,λ3為控制變量；fi為非線性變換。長江口深水航道全段對應(yīng)的n=6,i=1～6；各分段對應(yīng)的n=5,i=1～5。在未來的研究中，可從狀態(tài)變量、控制變量和非線性變換的分析與確定這3個方面進行研究。

4結(jié)語

(1) 長江口深水航道的時間序列具有混沌特征。以嚴(yán)重淤積段(H～N段)為中間段，將總航道段分為3段，全段及各分段均具有混沌特征；嚴(yán)重淤積段混沌特征的復(fù)雜性最低，但是與各分段沒有明顯區(qū)別；各分段的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)變化范圍為1.80～2.15，K2熵變化范圍為0.08～0.12；全段的分?jǐn)?shù)維與K2熵的值大于各分段，分別為2.93和0.16；說明全段混沌特征的復(fù)雜性高于各分段。

(2) 可以采用混沌預(yù)報算法對長江口深水航道回淤動力系統(tǒng)進行預(yù)報，長江口深水航道各分段回淤量可預(yù)報時間為1年，各分段的累計誤差會降低全段可預(yù)報時間及預(yù)報精確性,長江口深水航道全段回淤量可預(yù)報時間僅為半年。

(3) 通過對于該時間序列的混沌分析，可以反演航道回淤動力系統(tǒng)的特征，使得基于成因機理的動力模型預(yù)測在混沌理論中尋找到支撐。長江口深水航道回淤動力系統(tǒng)非線性數(shù)學(xué)表達式需要3～6個狀態(tài)變量，3個以上的控制變量；若對各分段進行研究，狀態(tài)變量數(shù)改為2～5個。

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Chaotic characteristics of back-silting quantity of Yangtze River estuary’s deep-water channel

DING Lei， DOU Xi-ping， GAO Xiang-yu， PAN Yun， JIAO Zeng-xiang

(KeyLaboratoryofPort,WaterwayandSedimentationEngineeringoftheMinistryofTransport,NanjingHydraulicResearchInstitute,Nanjing210029，China)

Abstract：According to the distribution of the back-silting quantity of the Yangtze River estuary’s deep-water channel, the whole channel is divided into three sections: the middle section P2 is section N～H, which is under the most severe back-silting condition while the other two sections are section P1 in the west of section H and section P3 in the east of section N. The chaotic characteristics of the whole and each section of the deep-water channel are analyzed by calculating the saturation correlation dimension and K2 entropy of back-silting quantity time series. The saturation correlation dimensions of sections P1, P2 and P3 are between 1.80 and 2.15 while the K2 entropies are between 0.08 and 0.12. The saturation correlation dimension and K2 entropy of the whole section are larger than each section, which are 2.93 and 0.16 respectively. The analysis results show that the back-silting quantity time series of the Yangtze River estuary’s deep-water channel has chaotic characterisics and that the chaotic characteristic of the whole channel is more complicated than that of each section. The longest time-scale for predicting each section is one year and the time-scale for predicting the whole channel is half a year, according to the time series of the back-silting quantity of the Yangtze River estuary’s deep-water channel in 2011, 2012 and 2013. A general form of the dynamic model of the whole and each section of the Yangtze River estuary’s deep-water channel is given in this paper. 3 to 6-state variables and more than 3 control variables are needed in the model of the whole channel while 2 to 5-state variables and more than 3 control variables are needed in the model of each section of the channel. The general form of the dynamic model of the Yangtze River estuary’s deep-water channel can provide references for the foundation of the back-silting quantity prediction model.

Key words：deep-water channel; chaotic characteristics; back-silting quantity; time series

中圖分類號：U61

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-640X(2016)02-0097-07

作者簡介：丁磊(1993—)，男，江蘇鹽城人，碩士研究生，主要從事河口水動力學(xué)及物質(zhì)輸運研究。

收稿日期：2015-04-19

DOI:10.16198/j.cnki.1009-640X.2016.02.014

丁磊， 竇希萍， 高祥宇， 等. 長江口深水航道回淤量時間序列混沌特征分析[J]. 水利水運工程學(xué)報, 2016(2): 97-103. (DING Lei, DOU Xi-ping, GAO Xiang-yu, et al. Chaotic characteristics of back-silting quantity of Yangtze River estuary’s deep-water channel[J]. Hydro-Science and Engineering, 2016(2): 97-103.)

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