基于TetGen的箱梁三維四面體網格自動劃分分析

王家林，段紅俊

(重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074)

基于TetGen的箱梁三維四面體網格自動劃分分析

王家林，段紅俊

(重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074)

以VC++為平臺，利用四面體網格生成接口軟件TetGen，研究了單箱單室變截面箱梁的高質量四面體網格生成方法。用多連通平面多邊形面片描述橫截面、用字符串函數描述箱梁截面上各特征點的坐標變化規(guī)律，將平面橫截面面片映射為空間橫截面面片，再自動生成相鄰空間面片的連接面片，從而獲得箱梁的空間多面體。利用四面體網格劃分接口軟件TetGen對箱梁空間多面體進行四面體網格剖分，自動生成高質量的四面體網格；通過將網格數據寫為inp文件導入Abaqus 軟件進行可視化檢查和有限元計算驗證了網格的有效性。

橋梁工程；TetGen；四面體網格；三維實體網格劃分

隨著我國經濟的飛速發(fā)展，作為基礎設施的橋梁工程也在不斷發(fā)展，箱型梁橋也日益受到關注。箱梁有截面抗扭剛度大，截面效率高，有效地抵抗正負彎矩等優(yōu)點[1]?；谝陨蟽?yōu)點，箱型梁橋在我國得到廣泛的使用。

在橋梁計算中，大多采用有限元軟件(橋梁博士[2]、GQJS[3]、Midas Civil[4]等)對橋梁進行建模。這些軟件的建模與分析一般采用梁單元進行。但梁單元模型難以揭示箱梁的多種復雜變形效應，例如扭轉畸變、翹曲、剪力滯等。隨著計算機硬、軟件技術的發(fā)展和分析要求逐步地提高，采用空間實體單元對橋梁進行高精度分析逐漸成為一種新的發(fā)展趨勢。趙安等[5]對橋梁結構空間模型進行了有限元分析；交通部公路科學研究院利用空間實體單元對橋梁三維預應力空間進行分析，并研發(fā)出針對這一問題的BridgeKF系統(tǒng)[6]；劉艷萍[7]利用空間實體單元模型對橋梁預應力鋼筋混凝土結構局部進行了ANSYS二次開發(fā)；余錢華等[8]利用實體單元模擬了連續(xù)剛構橋的施工過程。

基于VC++面向對象技術，筆者通過研究單箱單室箱型橋梁的結構特點，首先利用典型截面自動生成空間多面體，再利用成熟的四面體網格劃分接口軟件TetGen[9]對箱梁的多面體進行四面體剖分，自動生成高質量的四面體網格，最后導入Abaqus 軟件完成有限元計算來驗證網格的有效性。

1 TetGen的網格劃分原理

TetGen能對三維實體結構四面體剖分，其目的是為了產生合適的四面體網格。TetGen的代碼采用VC++編寫，這些代碼可被編譯成直接運行的程序，也可被編譯成靜(動)態(tài)連接庫。目前的操作系統(tǒng)基本都能運行TetGen，如Macos，Windows等。TetGen使用的算法約束delaunay四面體剖分。

1.1 約束delaunay四面體剖分

約束delaunay四面體剖分是用一個個四面體網格將三維區(qū)域Ω進行劃分。三維區(qū)域Ω可能有著很多形狀上的變化，可能包含內邊界，或包含洞。

點集V中的兩個點p，q可見，但若有一個約束平面f，且點p，q兩點分別位于平面f的兩邊，p，q間的線段交叉于平面f(圖1)，那么頂點p，q將不可見。那么約束delaunay四面體則就是由這個點集V的頂點組成。像這樣一個四面體剖分被稱作是約束delaunay四面體剖分。

圖1 約束delaunay四面體剖分示意Fig.1 Constraint delaunay tetrahedral subdivision schemes

1.2 四面體網格質量

TetGen處理四面體網格質量問題的算法是利用shewchuk的delaunay優(yōu)化算法。給出一系列三維的頂點、約束段、不少于90°的輸入角和小平面，則利用delaunay優(yōu)化算法就能夠產生delaunay四面體網格，并且這個delaunay四面體網格的半徑邊緣比不大于2。該算法產生的網格普遍比較合適，并且對消除最小或最大二面角的四面體非常有效。

網格劃分中需要有質量衡量標準。一般情況下，用邊界縱橫比來衡量網格劃分的質量。邊界縱橫比η(t)是最大邊的長度lmax與最小高度hmin的比值，即η(t)=lmax/hmin。判斷四面體網格質量，邊界縱橫比要愈小愈好。在TetGen衡量網格劃分質量的標準中則采用Miller，Teng，Wang Talmor 和Walkington提出的半徑邊緣比的標準。

一個四面體t有且只有一個外接球，令r為四面體外接球的半徑，d為四面體最短邊的長度，則這個四面體的半徑邊緣比ρ(t)為

(1)

式中：θmin為四面體t的最小面角。

在判斷四面體網格質量的應用中，半徑邊緣比要愈小愈好。

2 箱梁空間多面體的建立

2.1 平面橫截面面片幾何特征分析

用多連通平面多邊形面片描述橫截面(以單箱單室梁橫截面為例)，可分為外圍平面多邊形與內圍平面多邊形，將其特征點依次編號。

筆者利用VC++編程對此截面面片節(jié)點進行編號，步驟如下：

1)利用AutoCAD畫出箱梁截面面片，將其保存成dxf形式。

2)由于dxf文件存取著所畫截面的線段信息，故編寫了函數，用來從dxf文件中讀取線段信息到線鏈表中。

3)利用函數將各線段生成平面面片，再將其節(jié)點進行編號。

(1)定義一個具有x,y兩個坐標的點列表；

(2)將線鏈表中的線段連入點列表中；

(3)讀取一條線段作為多邊形的首尾，讀取下一段線段時，若這條線段與多邊形首尾的點有相同的坐標，將其添加到多邊形中，連接的線段將從線段列表中刪除；若這條線段與多邊形首尾的點沒有相同的坐標，則接著讀取再下一條線段，此線段將不從線段列表中刪除；

(4)若點列表已閉合，說明一個多邊形已生成。則需生成一個新的多邊形，如此循環(huán)(3)，(4)兩步，直至線段列表為空；

(5)計算多個多邊形的面積，若出現(xiàn)面積為負值，則表示多邊形為順時針連接而成，取面積為其相反數，并將多邊形調整為逆時針連接；

(6)將多邊形的面積從大到小排列，并從大到小對各個多邊形的各個點進行編號，并存儲其所對應的坐標(圖2)。

圖2 截面面片節(jié)點編號Fig.2 Section node number

2.2 箱梁截面特征及處理方法

對等截面而言，直接利用函數將全局坐標從二維變?yōu)槿S，則所有特征點均發(fā)生變化。而對變截面而言，首先將全局坐標從二維變?yōu)槿S，然后將用字符串函數描述箱梁截面上各關鍵點的y坐標變化規(guī)律。y坐標變化規(guī)律包括箱梁根部高度的變化曲線、箱梁底板厚度變化曲線。例如變化的點包括1，2，17，18，19，20；而1，2點的變化規(guī)律為箱梁根部高度的變化曲線；17～20點的變化規(guī)律為箱梁底板厚度變化曲線。

2.3 將平面橫截面面片映射為空間橫截面面片

利用函數在z坐標每隔一定距離得到一個空間面片(僅包含兩個空間面片)，如圖3。

圖3 空間面片示意Fig.3 Space diagram

2.4 生成連接面片

以VC++為平臺利用函數自動生成相鄰空間面片的連接面片，即可生成箱梁的空間多面體，如圖4。

圖4 箱梁空間多面體示意Fig.4 Box girder polyhedron space diagram

3 四面體網格的自動生成

在Windows系統(tǒng)中，將TetGen編譯為靜態(tài)庫“Tetgen.lib”。創(chuàng)建一個“Tetgenio”的輸入對象“Win”，將數據導入輸入對象“Win”，調用函數“Tetrahedralize()”創(chuàng)建四面體網格，并將結果輸出到對象“Wout”中，實現(xiàn)了三維實體結構網格劃分。

3.1 Tetgenio結構的輸入與輸出數組

用多連通平面多邊形面片描述橫截面(以單箱單室梁橫截面為例)，可分為外圍平面多邊形與內圍平面多邊形，將其特征點依次編號。Tetgenio結構的作用是傳入空間實體的數據并輸出四面體及其數據。Tetgenio結構的輸入與輸出數組用來保存點、多邊形、面片和四面體等內容。它為一個C++類，包括一些數據域和函數。Tetgenio結構的輸入輸出數組如下:

1)“REAL *pointlist”頂點的坐標數組

第一個頂點的x坐標是index[0]，y坐標是index [1]，z坐標是index[2]；第二個頂點的x坐標是index[3]，y坐標是index [4]，z坐標是index[5]，依次類推，每個頂點占3個REALS。

2)“REAL *pointattributelist”頂點的屬性數組

每一個頂點的屬性占用一個“numberofpointat tributes”的REALS。

3)“int *pointmarkerlist”頂點標識符數組

每一個點的標識符為一個整數。

4)“facet *facetlist”面片數組

每一個面都是一個面類型的對象。

5)“int *facetmarkerlist”面片標識符數組

每個面的一個標識符占一個整數。

6)“REAL *holelist”孔洞的數組

第一個洞的x坐標是index[0]，y坐標是index [1]，z坐標是index[2]；第二個洞的x坐標是index[3]，y坐標是index [4]，z坐標是index[5]，依次類推，每個洞占3個REALS。

7)“int *tetrahedronlist”四面體角數組

第一個四面體的第一個角為index[0]，一個四面體一共有4個角。每個四面體占用numberofcorners整型。

8)“REAL *tetrahedronvolumelist”四面體體積列表

每一個四面體占一個REAL。

3.2 TetGen命令行選項

TetGen有多個命令行選項，它通過對命令行選項設置參數來實現(xiàn)四面體網格的自動劃分。以下為常用的命令行選項：

1)-p：對三維實體模型進行約束delaunay四面體剖分；

2)-q：網格控制參數，主要設置最小半徑邊緣比，默認為2；

3)-a：控制產生四面體的最大體積；

4)-r：重構和優(yōu)化之前產生的網格文件。

4 變截面箱型梁劃分實例

該連續(xù)剛構橋采用單箱單室。箱梁高度是由距離根部高7.5 m處按照1.9次拋物線變化至端部及跨中高3.0 m處。箱梁底板厚度是由距離根部厚100 cm處按照二次拋物線變化至端部及跨中厚30 cm處。

根據圖紙，利用AutoCAD畫出單箱單室梁橫截面圖。利用VC++編程對此單箱單室梁橫截面面片節(jié)點進行編號，如圖5。

圖5 截面面片節(jié)點編號Fig.5 Section node number

以VC++為平臺，利用映射點的原理，根據變截面變形曲線，映射出新的單箱單室截面面片；其中1，2點變形曲線為y—z1.9×3.519 7×10-5；17～20變形曲線為y—z1.9×3.519 7×10-5+z2×2.31 4×10-6。

將網格數據寫為inp文件導入到Abaqus[8]中，便得到了三維實體網格效果見圖6。

圖6 箱梁的三維網格Fig.6 Three-dimensional grid section of box girder

為檢查三維網格劃分的準確性，筆者將導入的空間四面體進行有限元計算。將梁的一端設為固定端，另一端的中間位置施加垂直向下的荷載1 000 N，計算結果如圖7。

圖7 一跨梁的有限元計算結果Fig.7 Finite element calculation results for girder of one span

5 結 語

基于VC++面向對象技術，筆者通過研究單箱單室箱型橋梁的橫截面特征和截面的變化規(guī)律，建立了一種變截面箱型橋梁空間四面體自動生成方法；利用成熟的四面體網格劃分接口軟件TetGen對箱梁的空間多面體進行四面體剖分，自動生成高質量的四面體網格；通過將網格數據寫為inp文件導入Abaqus 軟件，進行可視化檢查；并用有限元計算驗證了網格的有效性。

筆者以單箱單室箱梁為例檢驗了基于TetGen的箱梁三維四面體網格自動劃分的思想，但文中思想并不局限于單箱單室，對于雙箱等也適用，僅僅是特征點增多。

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[7] 劉艷萍.橋梁預應力鋼筋混凝土結構局部有限元分析的ANSYS二次開發(fā)[D].武漢:華中科技大學,2005. LIU Yanping.PartialPrestressedConcreteBridgeStructureFiniteElementAnalysisofANSYSSecondaryDevelopment[D]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology,2005.

[8] 余錢華,朱鵬志,周偉,等.連續(xù)剛構橋實體建模方法介紹與結果分析[J].中外公路,2007,27(2):69-73. YUN Qianhua, ZHU Pengzhi, ZHOU Wei, et al. Entity modeling method is introduced and the result analysis of long span continuous rigid frame[J].JournalofChina&ForeignHighway,2007,27(2):69-73.

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Automatic Meshing of Box Girder Based on TetGen 3D Tetrahedral Element

WANG Jialin，DUAN Hongjun

(School of Civil Engineering，Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074，P.R.China)

Based on VC++ platform, the tetrahedral mesh generation interface software—TetGen was used to study high quality tetrahedral element generation method of box girder with varied cross section of generation single box with single cell. The girder cross section was described with facet of multiply connected plane polygon and letter and symbol string function was used to describe coordinate variation at respective feature points on the box girder cross section. First of all, it was mapped from plane cross-section facet to space cross-section facet. Secondly the connected facet of adjacent space facet was generated automatically, thus spacial polyhedron of box girder was achieved. The tetrahedral mesh generation interface software—TetGen was used to subdivide spacial polyhedron. High quality tetrahedron element was generated automatically. The network data was written in inp document which was subscribed in software Abaqus which allowed for visual inspection and verification of effectiveness of this grid.

bridge engineering;TetGen； tetrahedral mesh； the mesh of three-dimensional entity

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.05.01

2015-05-20；

2015-11-03

王家林(1968—)，男，重慶人，教授，博士，主要從事土木工程、結構力學方面的研究。E-mail:jialinwang@163.com。

段紅俊(1991—)，女，山東煙臺人，碩士，主要從事土木工程、結構力學方面的研究。E-mail:1091782733@qq.com。

U448.21+3

A

1674-0696(2016)05-001-04