考慮溫度影響的斜拉索參數振動模型及響應分析

汪 峰,陳福青,文曉旭,彭 章

(三峽大學 土木與建筑學院,湖北 宜昌 443002 )

考慮溫度影響的斜拉索參數振動模型及響應分析

汪 峰,陳福青,文曉旭,彭 章

(三峽大學 土木與建筑學院,湖北 宜昌 443002 )

研究超長斜拉索在非均勻溫度場和橋面激勵聯合作用下的振動問題?？紤]斜拉索幾何非線性和大氣梯度溫度場的影響,將溫度場力作為斜拉索振動的邊界條件,提出了梯度溫度場和橋面激勵聯合作用下的斜拉索參數振動模型?；谫み|金模態(tài)截斷理論,推導了斜拉索面內主參數振動方程,利用多尺度法獲得了溫度和橋面聯合激勵作用下的斜拉索幅頻響應方程,并編制程序進行數值計算,分析了梯度溫度場、調諧值、橋面激勵幅值和阻尼對其參數振動的影響規(guī)律。結果表明：梯度溫度場中的斜拉索振動亦具有明顯的硬彈簧特性,隨著調諧值的增大,幅頻響應曲線逐漸彎曲成直角,引起多值響應。溫度場中拉索振動有明顯的“拍”特征,隨著溫度升高,斜拉索參數共振區(qū)域逐漸增大,溫度和橋面聯合激勵下的拉索振幅比單一橋面激勵振幅要小；隨著橋面激勵幅值的增大,拉索共振區(qū)和振動幅值均明顯增大,但共振區(qū)和振幅隨阻尼增大而減小。

橋梁工程；超長斜拉索；溫度場；橋面激勵；非線性振動

0 引 言

近年來,隨著斜拉橋跨度的不斷增大,斜拉索越來越纖細,橋塔也越來越高聳。在惡劣的自然環(huán)境中,作為斜拉橋的主要承重構件,斜拉索在橋塔或橋面的激勵作用下極易發(fā)生大幅參數振動[1-2]。與風雨激振不同,斜拉索參數振動時,橋塔或者橋面激勵是作為隨時間變化的參數出現在斜拉索的振動系統中。由于密索體系的現代大跨度斜拉橋拉索固有頻率小且分布范圍廣,與較低基頻的橋面梁或橋塔容易形成參數共振條件[3-4],例如1997年我國香港汲水門大橋斜拉索曾在嚴酷的氣象條件下出現了高幅振動[5]。

斜拉索參數振動控制一直是橋梁界研究的熱點,國內外學者針對端部激勵下的拉索振動開展了廣泛研究。徐明驍等[6]以一座大跨度三塔斜拉橋為例,通過有限元和數值積分兩種方法,研究了激勵頻率、激勵振幅、阻尼對拉索參數振動的影響,發(fā)現當索的頻率和全橋頻率成一定比率時,極易發(fā)生大幅度參數振動；汪志剛等[7]認為斜拉索是處于強迫振動和參數振動的混合狀態(tài),且當斜拉索自身頻率與橋面自振頻率成一定比例時,會引起拉索大幅參數振動；趙躍宇等[8]建立了端部軸向激勵下的斜拉索振動方程,采用多尺度法分析了斜拉索的參數振動特性及其穩(wěn)定性,發(fā)現端部激勵幅值對斜拉索穩(wěn)態(tài)振動的形態(tài)有較大影響；Y.Fujino等[9]，F.Enedettini等[10]，V.Gattulliv等[11]和孫測世等[12]分別對斜拉索端部激勵下的振動特性進行了研究。

汪峰等[13]前期研究了均勻溫度場中拉索受橋面激勵作用的振動規(guī)律。但在工程實際中,拉索為鋼纜,一端錨固于數百米高的橋塔之上,如蘇通大橋塔高達到300 m；另一端錨固在相對位置低的主梁上。由于兩錨固端存在較大高差,在日照、風等環(huán)境因素作用下,斜拉索處于非均勻變化的溫度場中,溫度變化一定程度上會影響索結構的振動特性[14]。因此,為更加實際地反映斜拉索受力情況,研究梯度溫度和橋面激勵聯合作用下斜拉索非線性振動行為顯得十分重要。

基于上述研究,筆者考慮斜拉索幾何非線性和大氣梯度溫度場的影響,將溫度場力作為斜拉索振動的邊界條件,建立梯度溫度場和橋面激勵聯合作用下的斜拉索參數振動模型。基于伽遼金模態(tài)截斷理論,推導溫度和橋面聯合激勵作用下的斜拉索面內運動方程和幅頻響應方程。利用數值計算方法分析梯度溫度場、調諧值、橋面激勵幅值和阻尼對其參數振動的影響規(guī)律。研究成果可為大跨度斜拉橋超長拉索振動的抑振和控制提供理論依據。

1 溫度場中拉索振動方程建立

圖1為考慮梯度溫度的斜拉索在橋面激勵作用下參數振動模型。斜拉索的振動機理十分復雜,建立溫度和橋面聯合激勵下的斜拉索非線性振動模型時。為較準確地反映出拉索參數振動的一些基本特性,作如下假設：①不考慮斜拉索的抗彎、抗扭和抗剪剛度；②索的應力應變關系服從胡克定律；③索的線形選取二次拋物線。

圖1 溫度場中受橋面激勵作用的斜拉索振動模型Fig.1 Model of cable vibration under deck excitation in temperature field

考慮斜拉索幾何非線性和梯度溫度的影響,在車輛作用下，彈性支撐在拉索上的橋面梁簡化為諧擾激勵,索段振動方程為

(1)

式中：v為拉索橫向振動位移；y為拉索初始垂度；F為考慮溫度變化影響的斜拉索切向初拉力；f為斜拉索的附加切向動拉力；s為斜拉索平面內弧長坐標；m為拉索單位長度質量；c為索的阻尼系數；θ為拉索傾角。

大跨度斜拉橋拉索精確線型實為懸鏈線,為便于計算,筆者選取二次拋物線作為拉索的初始線型,索跨中垂度為d,斜拉索的弦向初拉力為H,弦向附加動拉力為h,則：

(2)

(3)

研究表明：大氣溫度隨高度升高而遞減,氣溫的垂直變化與高度有著較吻合的線性關系,這種關系的系數稱為溫度垂直遞減率,遞減率的平均變化幅度為0.6 ℃/100m左右[15],因此假定處于大氣中的斜拉索溫度場分布模式為

(4)

式中：τ0為初始溫度,即斜拉索在橋面錨固端的溫度；τ1為溫度變化系數。

工程實際中,斜拉索處于非均勻溫度場中,拉索兩端的溫差會導致斜拉索伸長或縮短,進而產生溫度應力。由式(4)可得斜拉索所受溫度應力為

(5)

式中：r為斜拉索的熱膨脹系數；Le斜拉索的索長；E為拉索彈性模量；A為拉索橫截面積。

依據拉索靜力平衡條件,并將式(3)、式(5)代入式(1)可得

(6)

斜拉索與主梁端部位移取為Zb=Abcosω0t,由于斜拉索振動時其一階模態(tài)影響最大[4],筆者只考慮斜拉索的一階振動模態(tài),取拉索橫向振動位移為

(7)

忽略拉索軸向應變平方項的影響,得拉索動應變：

(8)

由式(3)和式(8)可得拉索弦向動拉力h：

(9)

為計算h,先令式(9)的分母為Le,并在y'=0處按照泰勒公式展開,取前3項積分可得

然后對式(9)積分可得

(10)

最后利用伽遼金模態(tài)截斷,將式(7)、式(10)代入式(6),化簡積分后可得到溫度和橋面聯合激勵下的斜拉索參數振動方程：

(11)

式(11)中：

式中：c為拉索阻尼系數；ξ為拉索模態(tài)阻尼比；ω0為不考慮垂度效應的斜拉索基頻；ω1為考慮垂度效應,初始平衡位置和梯度溫度影響的斜拉索基頻；α1，α2為斜拉索初始條件影響參數；α3為斜拉索的頻率修正系數；λ為斜拉索的Irvine系數；n2，n3為斜拉索的參數振動部分；n4為溫度影響系數；n5，n6分別為振動二次項和三次項的非線性影響系數；k1，k2,k3為橋面激勵引起的強迫振動部分。

從式(11)中可知,斜拉索的振動狀態(tài)實際上是參數振動和強迫振動的混合。

2 拉索主參數共振理論解

當橋面或橋塔激勵作為隨時間變化的參數出現在斜拉索的振動系統中,且激勵頻率接近拉索派生系統固有頻率的2倍時,斜拉索將發(fā)生主參數共振。為求解斜拉索在橋面激勵下斜拉索的非線性振動理論解,基于多尺度法,首先在阻尼項、非線性項、激勵項前冠以小參數ε,式(11)轉化為

(12)

引入調諧參數σ,由式(13)確定：

ωb=2ω1+εσ， σ=O(1)。

(13)

采用慢變和快變兩個時間尺度,研究主參數共振的一次近似解,設

V(t)=V0(T0,T1)+εV1(T0,T1)。

(14)

將式(14)代入式(12),通過ε同次冪的系數比較,可以獲得一組線性微分方程：

(15)

cos(2ω1T0+ εσT1)-n3V0cos2(2ω1T0+ εσT1)-

εσT1)-k3cos(2ω1T0+ εσT1)。

(16)

方程(15)的解為

(17)

式中：a為模態(tài)振幅;β為共振初相位角。

(18)

將式(17)代入式(16),消除久期項的條件為

(19)

將式(18)代入式(19),得

(20)

分離實部、虛部得

式(21)就是一次近似解的慢時變a和初相位β應滿足的微分方程,令φ=σT1-2β,則方程轉化為自治微分方程組：

令D1a=0,D1φ=0,可得拉索共振常定解的代數方程組：

式(23)消去φ,得到斜拉索主參數共振的幅頻響應方程：

(24)

3 數值計算與分析

基于上述斜拉索振動幅頻方程,運用MATLAB軟件編制程序,計算分析溫度場、橋面激勵幅值和阻尼等因素對斜拉索參數振動的影響。數值計算時,以某實際大跨度斜拉橋最長拉索為例,其結構參數為：索長L=341.899m,索力H=5 197.17kN,面積A=0.010 218 54m2,彈性模量E=1.9E11N/m2,質量m=96.074kg/m,阻尼比ξ=0.001,拉索傾角θ=27.597°,拉索熱膨脹系數取1.89E-5,橋面激勵幅值Ab=0.05m。

首先選取3種不同初始溫度τ0,對比分析頻率調諧值σ和拉索振幅a之間的變化情況,如圖2。大氣溫度垂直遞減率的平均變化幅度為0.6 ℃/100m,考慮拉索兩端錨固點高差和極端氣象條件,溫度影響系數τ1=1.5 ℃。

圖2 不同初始溫度τ0時斜拉索頻幅響應Fig.2 Amplitude-frequency response under different initialtemperatures τ0

由圖2可知,隨著初始溫度τ0升高,系統主參數共振區(qū)增大；對于下支幅值曲線,系統振動幅值隨初始溫度的增加而減小,3種不同初始溫度下系統振動區(qū)域在上半支曲線有交叉現象,調諧值減小達到一定值時,初始溫度大的振動幅值大于溫度小的幅值。溫度場中的斜拉索亦具有明顯的硬彈簧特性,隨著調諧值的增大,幅頻響應曲線逐漸彎曲成直角,導致多值響應,進而引發(fā)“跳躍”現象。

改變索端橋面激勵幅值,考慮振幅與調諧值之間的關系。圖3為初始溫度τ0=20 ℃,溫度影響系數τ1=1.5 ℃,阻尼比系數ξ=0.001,橋面激勵幅值Ab分別為0.001,0.05,0.1 m時對應的幅頻曲線。

圖3 不同激勵幅值時斜拉索頻幅響應Fig.3 Amplitude-frequency response under different excitation values (τ0=20 ℃,τ1=1.5 ℃)

由圖3可知,在該溫度模式下,斜拉索主參數共振隨著橋面激勵幅值的增大而明顯增大,整個幅頻曲線胖了一圈；對于振幅而言,上支曲線幅值增大,下支曲線幅值減小。圖3中箭頭表示拉索振動響應幅度的演變路徑,橋面激勵幅值強度對于溫度場中的斜拉索振動影響較大。

圖4為初始溫度τ0=20 ℃,溫度影響系數τ1=1.5 ℃,橋梁激勵幅值為0.05 m,選取3種斜拉索阻尼比系數ξ,分別為0.000 1,0.001,0.005代入幅頻曲線方程,分析不同阻尼比下的斜拉索主參數共振響應。

圖4 不同阻尼比時斜拉索頻幅響應Fig.4 Amplitude-frequency response under different damping ratios

由圖4可知,在梯度溫度場中,阻尼從0.000 1增大到0.001時,拉索共振區(qū)只是稍稍變窄,當阻尼增大到0.005時,共振區(qū)明顯收窄,整個幅頻曲線瘦了一大圈。因此,拉索共振區(qū)域隨阻尼的增大呈減小趨勢,但對于振幅而言,上支曲線振幅減小,下支曲線幅值增大。

圖5為不同條件下拉索振動歷程曲線(溫度條件同圖4)。

圖5 拉索振動歷程曲線Fig.1 Cable vibration history curve

由圖5(a)可知,不考慮溫度場作用時,拉索由初始位置開始振動,200 s后拉索振幅逐漸增大,450 s時達到第1個響應峰值,振幅達到2.559 m。

由圖5(b)、(c)可知,拉索達到最大振幅所經歷的時間縮短,溫度場中拉索振動亦有明顯的“拍”特征,但溫度和橋梁激勵聯合作用下拉索振幅比單一橋面激勵作用時振幅明顯要小,僅為0.07 m。分析其原因由振動方程式(11)和幅頻方程式(24)可知,非均勻溫度和橋面激勵聯合作用下,拉索的固有頻率ω1隨著溫度的升高而減小,導致拉索具有較強的非線性,且振幅減小。

由圖5(b)、(c)、(d)可知,當阻尼ξ由0.001增大到0.01時,拉索振幅有減小趨勢,說明增大阻尼可抑制拉索振動。

由圖5(b)、(c)、(e)可知,隨著橋面激勵幅值Ab由0.05 m增加到0.1 m,拉索振動幅值明顯增大,橋面激勵幅值對拉索振動影響較大。工程實際中,應該適當控制橋面振幅。

4 結 論

將溫度場力作為斜拉索振動的邊界條件,建立了梯度溫度場和橋面激勵聯合作用下的超長斜拉索參數振動模型,研究了非均勻溫度場中斜拉索的參數振動特性及其影響因素，得到如下結論。

1) 梯度溫度場中拉索振動亦有明顯的“拍”特征,隨著溫度升高,拉索的主參數共振區(qū)域增大,但溫度和橋面聯合激勵下的拉索振幅比單一橋面激勵振幅要?。?/p>

2) 橋面激勵強度對拉索振動影響較大,斜拉索參數共振區(qū)和振動幅值均隨著橋面激勵幅值的增大而明顯增大；

3) 溫度場中的斜拉索參數共振區(qū)隨著阻尼的增大呈減小趨勢,增大阻尼可以抑制斜拉索的振動；

4) 梯度溫度場中的斜拉索振動具有明顯的硬彈簧特性,隨著調諧值的增大,幅頻響應曲線逐漸彎曲成直角,引起拉索出現多值響應。

[1] MATSUMOTO M, SHIRAISHI N, SHIRATO H. Rain-wind induced vibration of cables of cable-stayed bridges[J].JournalofWindEngineeringandIndustrialAerodynamics, 1992,43(1/3):2011-2022.

[2] LILIEN J L, COSTA A P D. Vibration amplitudes caused by parametric excitation of cable stayed structures[J].JournalofSound&Vibration,1994,174(1): 69-90.

[3] COSTA A P D, MARTINS J A C, BRANCO F, et al.Oscillations of bridge stay cables induced by periodic motions of deck and/ortowers[J].JournalofEngineeringMechanics,1996,122(7):613-622.

[4] TAGATA G. Harmonically forced, finite amplitude vibration of a string[J].JournalofSound&Vibration,1997,51(4):483-492.

[5] 楊素哲,陳艾榮. 超長斜拉索的參數振動[J]. 同濟大學學報(自然科學版),2005,33(10):1303-1308. YANG Suzhe, CHEN Ai′rong. Parametric oscillation of super long stay cables[J].JournalofTongjiUniversity(NaturalScience),2005,33(10):1303-1308.

[6] 徐明驍,葛耀君,馬婷婷,等. 大跨度斜拉索參數振動研究[J]. 科學技術與工程,2011,11(19):4509-4515. XU Mingxiao, GE Yaojun, MA Tingting, et al. Research on parametric oscillation of super long cables[J].ScienceTechnologyandEngineering,2011,11(19):4509-4515.

[7] 汪志剛,孫炳楠. 斜拉索的參數振動[J]. 土木工程學報,2002,35(5):28-33. WANG Zhigang, SUN Bingnan. Parametric vibration of the cable in cable-stayed bridge[J].ChinaCivilEngineeringJournal,2002,35(5):28-33.

[8] 趙躍宇,王濤,康厚軍. 斜拉索主參數共振的穩(wěn)定性分析[J]. 動力學與控制學報,2008,6(2):112-116. ZHAO Yueyu, WANG Tao, KANG Houjun. Analysis of the stability of principal parametric resonance of stayed-cable[J].JournalofDynamicsandControl,2008,6(2):112-116.

[9] FUJINO Y, WARNITCHAI P, PACHECO B M. An experimental and analytical study of autoparametric resonance in a 3DOF model of cable-stayed-beam [J].NonlinearDynamics,1993,4(2): 111-138.

[10] BENEDETTINI F, REGA G, ALAGGIO R. Non-linear oscillations of a four-degree-of-freedom model of a suspended cable under multiple internal resonance conditions[J].JournalofSoundVibration,1995,182(5):775-789.

[11] GATTULLI V, MARTINELLI L, PEROTTI F, et al. Nonlinear oscillations of cables under harmonic loading using analytical and finite element models[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 2004,193(1/2):69-85.

[12] 孫測世,王志搴,趙珧冰,等. 兩端水平激勵斜拉索面內非線性振動響應[J]. 地震工程與工程振動,2014,34(6):122-126. SUN Ceshi, WANG Zhiqian, ZHAO Yaobing, et al. In-plane nonlinear vibrations of stayed cables under horizontal excitations[J].EarthquakeEngineeringandEngineeringDynamics,2014,34(6):122-126.

[13] 汪峰,文曉旭,陳福清. 溫度和橋面激勵聯合作用下斜拉索非線性振動特性分析[J].科學技術與工程,2014,14(25):135-139. WANG Feng,WEN Xiaoxu, CHEN Fuqing.Vibration analysis of long cables subjected to deck excitation and temperature[J].ScienceTechnologyandEngineering,2014,14(25):135-139.

[14] 吳曉,楊立軍,黎大志,等. 溫度變化對正交索網結構非線性振動的影響[J]. 空間結構,2009,15(2):52-57. WU Xiao, YANG Lijun, LI Dazhi, et al. Effect of temperature variation on the nonlinear vibration of orthogonal cable net structure [J].SpatialStructures,2009,15(2):52-57.

[15] 王靜.青島市大氣邊界層氣候特征研究[D].蘭州:蘭州大學,2011. WANG Jing.StudyontheClimateCharacteristicsofAtmosphericBoundaryLayerofQingdao[D].Lanzhou:Lanzhou University,2011.

Analysis of Cable Parametric Vibration Model and Response with Consideration of Temperature Effect

WANG Feng, Chen Fuqing, WEN Xiaoxu,PENG Zhang

(College of Civil Engineering & Architecture, China Three Gorges University, Yichang 443002, Hubei, P. R. China)

The vibration of super-long cable under joint effect of non-uniform temperature field and deck excitation was analyzed.A model of cable parametric vibration under the joint effect of gradient temperature field and deck excitation was set up by considering the impacts of cable nonlinearity and atmospheric gradient temperature field and taking force of temperature field as the boundary of cable vibration. Based on Galerkin method, the main parametric vibration equation within cable plane was developed and the equation of cable amplitude-frequency response under joint excitation of temperature and deck was obtained by means of multi-scale method. Program for numerical computation was prepared and the law of influences on their parametric vibrations imposed by gradient temperature field, detuning value and deck excitation amplitude was analyzed and explored. The results show that the cable vibration in gradient temperature field is of apparent hard spring nature. With the increased detuning the amplitude-frequency response curve gradually changed to straight angle and multiple-responses were caused. The cable vibration in the temperature field bears feature of “patting”. With the increase of temperature the cable parametric resonance area gradually expanded. The cable vibration amplitude under joint excitation of temperature and deck is lower than that of single cable plane. With the increased deck excitation amplitude, both the cable resonance area and vibration value increased notably. However, the resonance area and vibration amplitude decrease with increased damping.

bridge engineering; super-long stayed cable; temperature field; deck excitation; nonlinear vibration

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.02.01

2015-04-03；

2015-07-16

國家自然科學基金項目(51278282)；道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室(武漢理工大學)開放課題基金項目(DQJJ201507)；三峽大學2014年碩士創(chuàng)新基金項目(2014CX017)

汪 峰(1979—)男，湖北黃岡人，副教授，博士，主要從事大跨度橋梁結構非線性計算方面的研究。E-mail:wanggoody@126.com。

U448.27

A

1674-0696(2016)02-001-05