基于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的IIR濾波器設(shè)計(jì)

秋研東，王 偉

（西安空間無線電技術(shù)研究所 陜西 西安 710071）

基于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的IIR濾波器設(shè)計(jì)

秋研東，王 偉

（西安空間無線電技術(shù)研究所 陜西 西安 710071）

差分進(jìn)化由于其算法簡單、收斂速度快，所需領(lǐng)域知識(shí)少而受到關(guān)注。通常，根據(jù)優(yōu)化問題的約束條件差分進(jìn)化算法需要進(jìn)行變量上、下界的限制。本文提出利用IIR濾波器零極點(diǎn)特性來進(jìn)行IIR濾波器設(shè)計(jì)，采用復(fù)數(shù)編碼降低了變量的維度，并在設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)不需要對變量范圍進(jìn)行約束，同時(shí)利用超出邊界的解進(jìn)行變異操作，以達(dá)到更加快速精確的收斂到全局最優(yōu)解的目的。

差分進(jìn)化算法；變異操作；IIR濾波器設(shè)計(jì)；零極點(diǎn)特性

近年來，一種新的進(jìn)化算法——差分進(jìn)化算法，被各國學(xué)者所廣泛關(guān)注。作為一種進(jìn)化算法的，差分進(jìn)化算法最初是由Rainer Storn和Kenneth Price于1995年提出[1]。它是一種實(shí)數(shù)編碼的進(jìn)化算法，具有較強(qiáng)的全局搜索能力和收斂速率，在解決復(fù)雜的全局優(yōu)化問題上，差分進(jìn)化算法被證明是一種有效的全局最優(yōu)解搜索算法[2]。它的主要特點(diǎn)是算法簡單、收斂速度快，所需領(lǐng)域知識(shí)少，比較適合于解決復(fù)雜的優(yōu)化問題。

根據(jù)傳輸函數(shù)零極點(diǎn)特性，可以將數(shù)字濾波器分為兩類，即FIR和IIR。FIR只包含零點(diǎn)，其極點(diǎn)全部為零。而IIR的極點(diǎn)不為零，零點(diǎn)可以全部為零。在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)通常需要考慮的因素有兩大方面，一是濾波器幅度響應(yīng)；二是濾波器的相位響應(yīng)。FIR濾波器可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的線性相位，所以再設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)只需要考慮其幅度響應(yīng)的設(shè)計(jì)。通常達(dá)到相同指標(biāo)的IIR濾波器階數(shù)要比FIR濾波器少很多，這就意味著乘法器的數(shù)量會(huì)明顯減少[3-4]。

通常，一個(gè)IIR濾波器的穩(wěn)定性是由其極點(diǎn)確定的。對于因果穩(wěn)定的IIR濾波器來說，其極點(diǎn)需要全部落在單位圓內(nèi)。為了更強(qiáng)的阻帶衰減，其零點(diǎn)應(yīng)該在單位圓上。在IIR濾波器設(shè)計(jì)的過程中，其零極點(diǎn)必然不全為實(shí)數(shù)，此時(shí)系統(tǒng)無法物理實(shí)現(xiàn)，而采用二階因子（second-order factor，SOF）來設(shè)計(jì)[5-6]就可以使得濾波器能物理實(shí)現(xiàn)。

文中剩余部分內(nèi)容如下。第二部分介紹文中提出的基于IIR濾波器零極點(diǎn)特性的差分進(jìn)化算法。第三部分展示仿真結(jié)果并進(jìn)行分析。第四部分進(jìn)行總結(jié)。

1 提出的設(shè)計(jì)算法

IIR濾波器的傳輸函數(shù)可以如下表示：

為了更清楚的分析IIR濾波器的零極點(diǎn)，可以將其傳輸函數(shù)改寫為：

式（2）中A=p0，[·]為上取整，p1，np2，n為零點(diǎn)二階因子系數(shù)，q1，mq2，m為極點(diǎn)二階因子系數(shù)，當(dāng) p2，nq2，m為零時(shí)二階因子變成一階因子。通常，為了濾波器可以物理實(shí)現(xiàn)，需要零極點(diǎn)二階因子系數(shù)全為實(shí)數(shù)。

只考慮二階因子的情況下均為偶數(shù)，IIR濾波器的幅度響應(yīng)可以表示為：

式（3）中定義

一個(gè)理想的低通濾波器其幅度響應(yīng)如下：

那么濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)為：

其中x=[aTbT]T

式（5）中W（ω）為加權(quán)最小二乘因子[7]，文中采用最小均方誤差準(zhǔn)則[8]并關(guān)注0到π上的幅度相應(yīng)，所以有：

采用差分進(jìn)化算法對（5）（6）進(jìn)行最優(yōu)化求解時(shí)，常規(guī)的算法采用由式（2）得到的響應(yīng)函數(shù)來進(jìn)行解空間搜索，其解空間的維度為M+N實(shí)數(shù)空間。文中提出的算法采用式（3）得到的響應(yīng)函數(shù)來進(jìn)行解空間搜索，其解空間的維度為 （M+N）/2復(fù)數(shù)空間，利用實(shí)系數(shù)二階因子的特點(diǎn)可以提高搜索效率[9-10]。此外文中在原始差分進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上根據(jù)IIR濾波器特點(diǎn)改進(jìn)了變異策略，下面介紹改進(jìn)的變異策略和其理論推導(dǎo)。

設(shè) x（i）=[a（i）Tb（i）T]T為當(dāng)前搜索到的解

理論推導(dǎo)如下：

設(shè)不穩(wěn)定的一階低通IIR濾波器的響應(yīng)函數(shù)為：

其中|a|＞1，則有與其相應(yīng)的穩(wěn)定一階低通IIR濾波器的響應(yīng)函數(shù)為：

式（8）中ωa為a的相位角

對于不穩(wěn)定的N階低通IIR濾波器

觀察式（9）可以發(fā)現(xiàn)變易操作的實(shí)質(zhì)是在初始設(shè)計(jì)的濾波器上級(jí)聯(lián)一個(gè)全通濾波器，即

這只會(huì)改變其相位響應(yīng)而不影響其幅度響應(yīng)。所以對于不穩(wěn)定的IIR濾波器極點(diǎn)來說，存在相應(yīng)的穩(wěn)定極點(diǎn)可以代替，而它們之間的差別只是幅度響應(yīng)上的倍數(shù)關(guān)系。而對于IIR濾波器的相位響應(yīng)可以采用一個(gè)全通濾波器即群時(shí)延均衡器[11-12]對其相位進(jìn)行補(bǔ)償，在此不做討論。

2 算法與流程

傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法主要流程如下[6，13-15]

Step1：初始化向量x，迭代最大次數(shù)K，種群數(shù)量Num，終止條件C，并令l=0

Step2：計(jì)算適應(yīng)度種群適應(yīng)度fitness=e（x），計(jì)算終止條件若滿足則輸出最優(yōu)結(jié)果，否則繼續(xù)

Step4：進(jìn)行交叉操作

Step5：進(jìn)行條件約束

Step6：進(jìn)行選擇操作，令l=l+1，返回step2

在使用本文提出的算法進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)交叉操作會(huì)降低結(jié)果的精度，這是由于交叉操作會(huì)造成滿足限制條件的當(dāng)前最優(yōu)解也發(fā)生改變，從而遠(yuǎn)離應(yīng)該達(dá)到的解，這就會(huì)跳出全局最優(yōu)解附近，最終在迭代次數(shù)達(dá)到上限時(shí)仍然無法達(dá)到全局最優(yōu)解，故本文提出的改進(jìn)算法中去除了交叉操作。

根據(jù)上述理論，改進(jìn)的差分進(jìn)化算法主要流程如下：

Step1：初始化向量x，迭代最大次數(shù)K，種群數(shù)量Num，終止條件C，并令l=0

Step2：計(jì)算適應(yīng)度種群適應(yīng)度fitness=e（x），計(jì)算終止條件若滿足則輸出最優(yōu)結(jié)果，否則繼續(xù)

Step4：進(jìn)行選擇操作，執(zhí)行文中提出的變異操作，令l=l+ 1，返回step2

3 仿真結(jié)果與分析

文中對差分進(jìn)化算法、改進(jìn)的算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)

目標(biāo)低通IIR濾波器幅度響應(yīng)函數(shù)為：

仿真輸入?yún)?shù)為種群數(shù)Num=200，濾波器階數(shù)M=N=12，終止條件C=10-5。變異操作步長F=random（0～1）[16]。對改進(jìn)的算法進(jìn)行了10次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如表1所示。

對經(jīng)典算法進(jìn)行了10次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如表2所示。

觀察表1與表2可以發(fā)現(xiàn)文中提出的算法相比經(jīng)典算法在最小均方誤差上降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)，這主要是由于阻帶衰減增大引起的。同時(shí)可以看出文中提出的算法魯棒性比經(jīng)典算法要更強(qiáng)。

表1 改進(jìn)差分進(jìn)化算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 經(jīng)典差分進(jìn)化算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1 本文提出算法與經(jīng)典算法設(shè)計(jì)的濾波器幅度響應(yīng)對比

圖2 本文提出的算法與經(jīng)典算法的均方誤差

對比圖1中兩條曲線可以清晰的看出，文中提出的算法與經(jīng)典算法在通帶上具有比較接近的性能，而文中提出的算法明顯增大了阻帶衰減。圖2顯示了本文提出的算法與經(jīng)典算法的均方誤差，可以看出本文提出的算法相比經(jīng)典算法在迭代初期收斂速度慢卻更加平緩，這是由于本文提出的算法在每次迭代是總是優(yōu)先尋找滿足穩(wěn)定性條件的解從而限制了零極點(diǎn)的快速變異并導(dǎo)致收斂速度下降，最終于514代收斂，而經(jīng)典算法收斂于第175代。

4 結(jié)束語

文中通過研究分析IIR濾波器零極點(diǎn)特性設(shè)計(jì)出一種基于該特性的差分進(jìn)化算法變易操作，并且優(yōu)化了經(jīng)典算法的流程。通過仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)了文中提出的算法相比經(jīng)典算法具有更強(qiáng)的魯棒性、精確性，可以通過文中的算法有效設(shè)計(jì)高阻帶衰減和窄過渡帶的IIR濾波器。

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An IIR filter design method based on improved differential evolution algorithm

QIU Yan-dong，WANG Wei
（Xi’an Institute of Space Radio Technology，Xi’an 710071，China）

The Differential Evolution Algorithm is concerned for its properties of implementing simplified，convergence fast and requiring less features.Generally，according to constraint conditions of the optimization problems in differential evolution algorithm，the boundary of arguments are required to be restrained.In this paper，an improved algorithm which using the features of zero and pole points of IIR filters is developed for the design of IIR filters.A complex coding method is used to decrease the dimension of arguments.The solutions out of constraint conditions are used to implement mutation operation to achieve the goal of faster and more accurately converge to the global optimal solution.

DE；mutation operation；IIR filter design；zero and pole points properties

TN02

A

1674－6236（2016）23-0136-03

2016-06-21稿件編號(hào)：201606154

秋研東（1990—），男，陜西西安人，碩士。研究方向：空間通信技術(shù)。