基于Tikhonov正則化方法的同步電機參數(shù)辨識

黃 操，袁海文，馬 釗，凌 牧

（1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191；2．中國電力科學研究院，北京 100192）

0 引言

同步電機是電力系統(tǒng)中的重要部件，其運行行為影響到電力系統(tǒng)的各個方面，而掌握精確的電機參數(shù)，對準確分析和計算其動態(tài)行為有重要的意義。在實際工作過程中，電機的實際參數(shù)值并不是一成不變的，而是隨著環(huán)境和工況的不斷變化在一定范圍內(nèi)變化，如溫度變化引起的集膚效應，會影響電機定、轉(zhuǎn)子的電阻值，磁場飽和程度不同也會影響電感參數(shù)等。因此同步電機參數(shù)的辨識一直是電力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容［1］。

傳統(tǒng)的參數(shù)辨識算法中，最小二乘法是比較常用的算法，具有算法簡單、易于理解、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，因此被廣泛應用［2-4］。但最小二乘法存在一定的局限性，沒有考慮到系統(tǒng)的病態(tài)性問題。所謂病態(tài)性問題就是系統(tǒng)數(shù)據(jù)微小的變化引起解的巨大變化［5］，當病態(tài)性嚴重時，算法會存在收斂性和多值性的問題，結(jié)果將偏離真實值。

由于同步電機也是高維非線性系統(tǒng)，其病態(tài)性是參數(shù)辨識過程中無法回避的問題。文獻［6-8］都提到了同步電機系統(tǒng)的病態(tài)性，并采用子集選擇法來克服系統(tǒng)的病態(tài)，但子集選擇法有它的局限性，即需要一些先驗知識來幫助確定哪些參數(shù)是固定的。本文將參數(shù)辨識看成是一種非線性反問題，反問題具有不適定性，也就是病態(tài)性問題，其求解過程就是解決病態(tài)性問題的一個過程［9］。在反演問題理論中，正則化是解決病態(tài)問題的基本思路，本文將經(jīng)典的Tikhonov正則化方法引入到同步電機的參數(shù)辨識中，并通過在仿真中設置多個場景，證明了該方法能克服系統(tǒng)的病態(tài)性并有效地進行參數(shù)辨識。

1 病態(tài)性分析及其度量

一般而言，對于一個系統(tǒng)的模型，如果原始數(shù)據(jù)的微小變化引起解的巨大變化，則稱該模型為病態(tài)的，反之則稱為良態(tài)的。病態(tài)與良態(tài)，是模型本身固有的屬性，它表征了模型抗干擾性的強弱，即穩(wěn)定性的好壞［5］。

通常用條件數(shù)K來度量病態(tài)性的嚴重程度。統(tǒng)計應用經(jīng)驗表明：若01 000，則認為存在嚴重病態(tài)［5］。

引理 1 設若對Cn×n上的某一矩陣范數(shù)‖·‖有‖A-1‖‖δA‖＜1，則非齊次線性方程組 Ax=y與（A＋δA）（x＋δx）＝y(tǒng)+δy的解滿足：

其中，‖·‖v為Cn上與矩陣范數(shù)‖·‖相容的向量范數(shù)，證明過程見文獻［10］；δ為表征輸出誤差的參數(shù)。

由式（1）可以知道，數(shù)據(jù)的誤差對逆矩陣和求解線性方程組解的影響與‖A‖‖A-1‖的大小有關，當‖A‖‖A-1‖較大時，近似逆矩陣或線性方程組的相對誤差可能較大，因此‖A‖‖A-1‖可作為影響求解線性方程組解的大小的一種度量。

定義 1則稱

為矩陣A的條件數(shù)。一般地，如果系數(shù)矩陣A的條件數(shù)大就稱A對于求逆或求解線性方程組是病態(tài)的，否則稱為良態(tài)。

2 反問題與Tikhonov正則化方法

2.1 反問題與參數(shù)辨識

反問題是相對于正問題而言的，一個先前被研究的相對充分或完備的問題稱為正問題，而與此相對應的另一個問題稱為反問題。從實際應用中來看，可以概括地說，有2種動機驅(qū)動著反問題的研究：想了解物理過程過去的狀態(tài)或辨識參數(shù)；想了解如何通過干預當前的狀態(tài)或調(diào)整某些參數(shù)去影響或控制該系統(tǒng)，以使其在未來到達人們所期望的狀態(tài)［9］。

圖1描述了反問題的基本原理，而參數(shù)辨識是指在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎上，從給定系統(tǒng)的數(shù)學模型中確立系統(tǒng)模型參數(shù)，因此參數(shù)辨識實際上就是一種典型的反問題。反問題求解面臨2個根本困難：

圖1 反問題原理圖Fig.1 Schematic diagram of inverse problem

a.用于反問題求解的原始數(shù)據(jù)可能不屬于該問題的精確解所對應的數(shù)據(jù)集合，因而，在經(jīng)典意義下的近似解可能不存在；

b.近似解的不穩(wěn)定性，即原始數(shù)據(jù)小的觀測誤差（這個在工程中是不可避免的）會導致近似解與真解的嚴重偏離。

這是反問題求解中要面對的2個難點和關鍵所在，即所謂的反問題的不適定性。其中，a為反問題解的存在性問題，對于參數(shù)辨識而言，即是參數(shù)的可辨識問題［11］；b是關于解的唯一穩(wěn)定問題，實際上也是病態(tài)性問題。反問題求解主要是解決病態(tài)性問題。而在反演理論中，正則化方法是解決病態(tài)問題的基本思路。

2.2 Tikhonov正則化方法

假設反問題可以用一個抽象的算子方程（3）來描述，其中x代表系統(tǒng)的未知量，y代表系統(tǒng)的輸出，A為系統(tǒng)算子。反問題為：已知A和y來求未知量x。當A為線性算子，稱其為線性反問題，否則為非線性的反問題：

求解反問題不適定性的普遍方法是：用一組與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解，這種方法稱為正則化方法。如何建立有效的正則化方法是反問題領域中不適定問題研究的重要內(nèi)容。解決不適定性的典型的方法是變分正則化方法，又稱為 Tikhonov 正則化方法［9，12-13］。

按照正則化思想，可以用一系列與問題式（3）相鄰近的適定問題來近似，例如用下述帶有參數(shù)α（α≥0）的極小化問題來近似：

稱 Mα［x，y，A］為 Tikhonov泛函，α≥0 為正則參數(shù)，易見式（5）的歐拉方程為：

因此式（3）的極小解xα為正則解：

對于任何α≥0而言，其解存在、唯一，且連續(xù)依賴于A、y和α。則余下的工作是如何選取合適的正則參數(shù)α的問題?？傮w而言，正則參數(shù)α的選取要兼顧近似解的數(shù)值穩(wěn)定性和與原問題的好的逼近程度這2個要求。

這里正則參數(shù)α主要采用MOROZOV偏差原理來獲得，假設具體步驟如下［9］，其中 αn為第 n次迭代中的正則參數(shù)值，xαn，δ為第 n次迭代中的x值。

a.給定初始正則參數(shù) α0≥0，令 n＝0。

（92）細齒羽苔 Plagiochila denticulata Mitt. 熊源新等（2006）；楊志平（2006）

b.解方程（A*A+αnI）xαn，δ=A*yδ，得 xαn，δ。

c.對步驟b中的方程求導得到方程：

求解該方程得

e.令 αn+1=αn-F（αn）/F′（αn），若小于某

指定精度，則計算終止，否則進入步驟f。

f.令 n=n+1，轉(zhuǎn)步驟 b。

3 同步電機模型及病態(tài)性分析

同步發(fā)電機參數(shù)的計算依賴于數(shù)學模型的建立，模型不同參數(shù)也有所不同，本文選用同步發(fā)電機在dq旋轉(zhuǎn)坐標系下的穩(wěn)態(tài)方程（8）作為數(shù)學模型，同時忽略飽和、磁滯和渦流的影響，并且忽略阻尼繞組［14-15］。

其中，id、iq和 ud、uq分別為定子繞組 d、q 軸的電流和電壓；if、uf分別為勵磁繞組的電流和電壓；Rs、Rf分別為定子繞組和勵磁繞組電阻；Ld、Lq分別為定子繞組 d、q 軸上的自感；Lf為勵磁繞組自感；Lmd、Lmq分別為定子繞組d、q軸與勵磁繞組間的互感。

由式（8）可知，本文主要識別的參數(shù)為 Rs、Rf、Lq、Ld、Lf、Lmd、Lmq，因此式（8）可以寫成如下形式：

其中，A為利用觀察值建立的矩陣；輸出y=［uduquf］T；參數(shù)矩陣 x=［LdLqLfLmdLmqRs］T，所以本文中的參數(shù)識別的反問題即為：已知A和y，求x。

同步發(fā)電機的數(shù)學模型的病態(tài)性主要表現(xiàn)為矩陣A的病態(tài)性，可以通過計算法矩陣ATA的條件數(shù)來度量系統(tǒng)病態(tài)的嚴重程度，條件數(shù)的計算可以采用式（2）。

本文將通過下一節(jié)的同步發(fā)電機實例的測試數(shù)據(jù)來計算法矩陣的條件數(shù)。由于矩陣A需要用到電流的微分量，所以必須進行離散化處理：i′= （i（k）-i（k-1））/Ts，其中 Ts為采樣周期。 對同步電機的運行電流進行采樣，就能確定矩陣A，然后通過式（2）就能計算得到條件數(shù)K。當Ts=1×10-4s時，計算得K=4.687×105。由此可知，系統(tǒng)的病態(tài)性嚴重。

4 參數(shù)辨識的仿真

4.1 仿真模型

為了獲得同步發(fā)電機的測量數(shù)據(jù)，采用MATALB的Simulink平臺［16］搭建了同步發(fā)電機模型，其中電機采用Simulink自帶的同步電機模型，反問題的Tikhonov正則化方法采用S-function來編寫，并作為一個模塊嵌入到同步發(fā)電機系統(tǒng)仿真環(huán)境中，主要實現(xiàn)對發(fā)電機參數(shù)的識別。電機的參數(shù)為某航空獨立交流電源中主發(fā)電機的實際參數(shù)，如表1所示。

表1 主發(fā)電機參數(shù)Table 1 Parameters of master generator

4.2 仿真分析

為了真實地模擬觀測數(shù)據(jù)，并驗證Tikhonov正則化方法求解病態(tài)問題的能力以及對參數(shù)辨識的有效性，分別對測量數(shù)據(jù)加入10%、20%、30%的Gauss白噪聲，即：

由式（9）可知，反問題的輸入為電機模型輸出的iq、id、if、uq、ud、uf，如圖 2 所示（圖 2 所示為 t=0.1 s 時機械功率Pm階躍增大時的發(fā)電機電流、電壓波形），然后通過反問題的正則化方法，計算出同步電機的參數(shù) Rs、Rf、Lq、Ld、Lf、Lmd、Lmq，其中 Ld＝L1s+Lmd，Lq＝L1s+Lmq，Lf＝ L1fd+Lmd。

本文采用MOROZOV偏差原理來求解正則化參數(shù)α。選取正則參數(shù)α必須非常小心，如果α太大，則新得到的問題對原問題的逼近程度太差；相反如果α太小，則問題的不適定性并沒有克服，數(shù)值計算仍然很不穩(wěn)定。

a.加入10%白噪聲：表2是在測量數(shù)據(jù)中加入10%白噪聲后的辨識結(jié)果，經(jīng)過迭代最終得到正則參數(shù)α=1.36×10-3，迭代次數(shù)為8。由表中數(shù)據(jù)可以看出辨識結(jié)果較好。

b.加入20%白噪聲：表3是在測量數(shù)據(jù)中加入20%白噪聲的辨識結(jié)果，經(jīng)過迭代最終得到正則參數(shù)α=8.65×10-3，迭代次數(shù)為16。由表中數(shù)據(jù)可以看出辨識結(jié)果雖然不太精確，但可以接受。

c.加入30%白噪聲：表4是在測量數(shù)據(jù)中加入30%白噪聲的辨識結(jié)果，經(jīng)過迭代最終得到正則參數(shù)α=3.64×10-2，迭代次數(shù)為20。30%白噪聲代表比較嚴重的工況，由表中數(shù)據(jù)可以看出辨識結(jié)果開始偏離真實值。

圖2 電流、電壓波形Fig.2 Current and voltage waveforms

表2 加入10%噪聲的辨識結(jié)果Table 2 Results of identification with 10%noise

表3 加入20%噪聲的辨識結(jié)果Table 3 Results of identification with 20%noise

表4 加入30%噪聲的辨識結(jié)果Table 4 Results of identification with 30%noise

4.3 與傳統(tǒng)最小二乘法的比較

如何建立有效的正則化方法是反問題領域中病態(tài)問題研究的重要內(nèi)容。通常的正則化方法有Tikhonov正則化方法、信賴域法、正則化的內(nèi)積法等，Levenberg-Marquardt［17］也是一種特殊的正則化方法，可以看作是對非線性問題作先線性化后正則化的過程，文獻［9］對它的正則化進行了證明。本文選擇的是經(jīng)典的Tikhonov正則化方法。傳統(tǒng)的參數(shù)辨識方法中，使用最多的是最小二乘辨識法以及一些改進的最小二乘法，如增廣二乘法、廣義最小二乘法、加權(quán)最小二乘法，與它們相比，本文方法的本質(zhì)區(qū)別在對系統(tǒng)病態(tài)性能力的克服上，這里通過Tikhonov正則化方法與最小二乘辨識法的比較來進行證明。對于系統(tǒng) Y=AX，X 的最小二乘解是 x=（ATA）－1ATy，而正則解為 xα=（ATA+αI）－1ATye。 系統(tǒng)的病態(tài)表現(xiàn)為矩陣A的病態(tài)，即法矩陣ATA的病態(tài)性。與最小二乘法相比，正則化方法增加了αI一項，這一項的引入使法方程的病態(tài)性得到改善，因而能得到好的估計值。

表5顯示了對測量數(shù)據(jù)加入10%、20%、30%的白噪聲，并采用最小二乘法進行辨識的同步電機參數(shù)值?？梢钥闯?，在10%的白噪聲污染下，最小二乘法的結(jié)果已經(jīng)開始偏離，但勉強可以接受，而在強噪聲（30%的白噪聲污染）的工況下，最小二乘法的辨識結(jié)果已經(jīng)完全偏離真實值。由此可知，Tikhonov正則化方法克服病態(tài)性的能力優(yōu)于最小二乘法。

表5 加入噪聲的最小二乘法辨識結(jié)果Table 5 Results of identification with noise by least square method

5 結(jié)論

本文將同步電機的參數(shù)辨識作為一種反問題來研究，而反問題首要解決的問題就是病態(tài)性問題。通過對系統(tǒng)病態(tài)性問題的分析，得出正則化方法是解決病態(tài)問題的基本思路，將反演理論中經(jīng)典的Tikhonov正則化方法引入同步發(fā)電機參數(shù)辨識中，為同步發(fā)電機參數(shù)辨識問題提供了一條新的有嚴格數(shù)學理論基礎的思路和方法。通過實驗研究，并與傳統(tǒng)的最小二乘法相比較，可以證明：該方法能有效地進行參數(shù)辨識，同時具有克服病態(tài)性的能力。

［1］沈善德.電力系統(tǒng)辨識［M］.北京：清華大學出版社，1993：65-101.

［2］BJORCK A.Least squares methods［M］.Amestertam，Netherlands：Elesvier Science Ltd.，2002：466-645.

［3］KARRARI M，MALIK O P.Identification of physical parameters of a synchronous generator from online measurements［J］.IEEE Transactions on Energy Conversion，2004，19（2）：407-415.

［4］唐昆明，康麗紅，殷家敏.基于可測量的同步發(fā)電機參數(shù)時域辨識［J］. 電力自動化設備，2014，34（8）：135-146.TANG Kunming，KANG Lihong，YIN Jiamin.Time-domain parameter identification based on measurable variables for synchronous generator［J］.Electric Power Automation Equipment，2014，34（8）：135-146.

［5］張永軍，吳磊，林立文，等.攝影測量中病態(tài)問題的條件數(shù)指標分析［J］. 武漢大學學報信息科學版，2010，35（3）：308-312.ZHANG Yongjun，WU Lei，LIN Liwen，et al.Condition numbers forevaluation ofill-posed problems in photogrammetry ［J］.Journal of Wuhan University Information Science，2010，35（3）：308-312.

［6］BURTH M，VERGHESE G C，VELEZ-REYES M.Subset selection for improved parameter estimation in on-line identification of a synchronous generator［J］.IEEE Transactions on Power Systems，1999，14（1）：218-225.

［7］VELEZ-REYES M，JAUREGUI L.Conditioning analysis of parameter estimation in a synchronous generator［C］∥Proceedings of the 2001 IEEE International Electric Machines and Drives Conference（IEMDC 2001）.Cambridge，MA，USA：IEEE，2001：285-291.

［8］NINO C E，VELEZ-REYES M.Dealing with ill conditioning in recursive parameter estimation for a synchronous generator ［C］∥IECON 2006-32nd Annual Conference on Industrial Electronics.Paris，F(xiàn)rance：IEEE，2006：1089-1094.

［9］王彥飛.反演問題的計算方法及其應用［M］.北京：高等教育出版社，2007：13-60.

［10］戴華. 矩陣論［M］. 北京：科學出版社，2001：30-63.

［11］李靖霞，倪臘琴，鞠平，等.同步電機參數(shù)的可辨識研究［J］.電力系統(tǒng)自動化，1998，22（3）：9-12.LI Jingxia，NI Laqin，JU Ping，et al.A study on the identifiability of synchronous generator parameters［J］.Automation of Electric Power Systems，1998，22（3）：9-12.

［12］TIKHONOV A N，ARSENIN V Y.Solutions of ill-posed problems［M］.New York，USA：John Wiley and Sons，1997：200-215.

［13］ENGL H W，NEUBAUER H M.Regularization of inverse problems［M］.Dordrecht，Netherlands：Kluwer，1996：50-55.

［14］陳世元.電機學［M］.北京：中國電力出版社，2004：73-90.

［15］謝軍.航空電機學［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2006：202-214.

［16］于群，高娜.Matlab/Simulink電力系統(tǒng)建模與仿真［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2011：153-180.

［17］HANKE M.A regularizing Levenberg-Marquardt scheme，with application sto inverse groundwaterfilteration problems［J］.Inverse Problems，1997（13）：79-95.