基于分支定界法的電能表計量電路容差設(shè)計方法

李求洋 ，李 新 ，王淑娟

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱建成集團(tuán)有限公司，黑龍江 哈爾濱 150030）

0 引言

為了適應(yīng)現(xiàn)代化電網(wǎng)自動化管理的需要，智能電能表成為了電能計量表計的主流，直接關(guān)系著用戶和電力企業(yè)之間的經(jīng)濟(jì)效益［1-2］。在智能電能表出廠檢定時，通常不使用硬件方法調(diào)試計量誤差，而是采用軟件方法進(jìn)行調(diào)整［3-4］。這種方法雖然調(diào)整了受檢定的電能表測試精度，但并沒有從根本上保證批量智能電能表的精度一致性要求。

近幾年，批次智能電能表誤差一致性問題漸漸得到重視，并且智能電能表相關(guān)國標(biāo)也對其加以定義［5］。文獻(xiàn)［6-7］通過定性地分析智能電能表誤差的來源，給出了關(guān)鍵元器件的選型精度。文獻(xiàn)［8］采用試驗(yàn)的方法，驗(yàn)證了相比傳統(tǒng)模擬電路測量法，通過電子式電流傳感器測量的負(fù)載電流誤差一致性明顯提高。然而，通過早期設(shè)計實(shí)現(xiàn)對誤差一致性控制的文獻(xiàn)還不多見。因此，有必要由設(shè)計入手保證測量精度，形成智能電能表的誤差一致性設(shè)計方法。

容差設(shè)計是解決批次產(chǎn)品一致性問題的有效方法。但容差設(shè)計方法的研究對象多為機(jī)械結(jié)構(gòu)，針對電子系統(tǒng)的設(shè)計優(yōu)化仍停留在照搬用于機(jī)械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法。然而，電子系統(tǒng)與機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計有所不同，如機(jī)械零件的制造公差在加工工藝允許范圍內(nèi)可以任意連續(xù)選定，而電子元器件的選型通常是按照等級離散劃分。對于設(shè)計變量離散的情況，現(xiàn)階段的容差設(shè)計方法主要通過不斷地“試湊”來進(jìn)行公差分配，設(shè)計效率依賴于設(shè)計人員的技術(shù)經(jīng)驗(yàn)［9-10］。尤其對于包含大量元器件、計量質(zhì)量要求高的智能電能表的設(shè)計優(yōu)化，現(xiàn)有的容差設(shè)計方法更難以實(shí)現(xiàn)。

為此，本文提出以批次單相智能電能表的誤差特性一致性為研究對象，首先分析單相智能電能表的結(jié)構(gòu)和計量原理，其次基于整數(shù)規(guī)劃思想通過分支定界算法實(shí)現(xiàn)對離散設(shè)計變量的優(yōu)化，然后根據(jù)“成本-公差”模型建立容差設(shè)計優(yōu)化方程，最后對單相智能電能表計量電路進(jìn)行容差設(shè)計，并對優(yōu)化方案進(jìn)行分析。

1 單相智能電能表的工作原理

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

智能電能表是指以智能芯片為核心，具有電功率計量、計時、計費(fèi)、與上位機(jī)通信、用電管理等功能的電子式電能表。圖1為典型單相電能表的硬件設(shè)計框圖，包括計量系統(tǒng)和單片機(jī)處理系統(tǒng)兩部分。其中計量部分是電能表計量準(zhǔn)確性的關(guān)鍵部分，通常由電阻分壓網(wǎng)絡(luò)完成電壓信號取樣，微型電流互感器完成電流信號取樣，取樣后的電壓、電流信號傳送入計量芯片，并由內(nèi)部乘法器轉(zhuǎn)換為功率信號以脈沖信號通過SPI總線輸出到單片機(jī)中。單片機(jī)處理系統(tǒng)對采樣到的脈沖信號進(jìn)行累加運(yùn)算，同時根據(jù)設(shè)定的費(fèi)率實(shí)現(xiàn)計量，實(shí)現(xiàn)各個部件協(xié)調(diào)控制等功能。

圖1 電能表系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 System structure of electrical energy meter

1.2 電能計量原理

電能計量主要把輸入的動態(tài)電壓和電流信號相乘，得到功率隨著時間變化的信息，假設(shè)電流、電壓為余弦函數(shù)，并存在相位差φ，則功率為：

經(jīng)過變換，瞬時功率p（t）可以轉(zhuǎn)化為：

理想的瞬時功率信號只包括直流部分和頻率為2ω的交流部分，而前者是電能表測量的首要對象。通過對電流、電壓信號高精度采樣和A/D轉(zhuǎn)換后，電流、電壓信號通過數(shù)字乘法器得到瞬時功率信號p（t）；再經(jīng)一個截止頻率很低的低通濾波器，將直流部分輸送到數(shù)字/頻率轉(zhuǎn)換模塊，轉(zhuǎn)換為頻率與能量消耗大小成正比的脈沖信號，并用計數(shù)器完成計量。

基本誤差是考核電能表計量性能的最基本性能指標(biāo)，電能表的等級指數(shù)一般是按基本誤差確定的，通常用相對誤差形式表示基本誤差［11-12］。相對誤差等于允許的絕對誤差與輸入量的約定真值的百分比，即：

其中，X是測量值，x0是與X相對應(yīng)的約定真值。對于智能電能表而言，這里的測量值即為功率值。設(shè)某批次共n只智能電能表，它們的計量誤差為ε=（ε1，ε2，…，εn），則該批次產(chǎn)品的誤差變化范圍可表示為：

2 容差設(shè)計算法實(shí)現(xiàn)

2.1 “成本-公差”模型

智能電能表的質(zhì)量要求和制造成本存在沖突，而元器件精度（偏差水平）是影響這一沖突的關(guān)鍵因素［13］。Chase等提出了制造成本與元器件偏差水平的關(guān)系曲線，曲線表明盲目地提高元器件的精度等級，雖然保證了產(chǎn)品質(zhì)量，但產(chǎn)品的制造成本會隨之增加，造成產(chǎn)品失去市場競爭力［14］；而隨意地降低元器件精度等級要求，雖降低了成本，但會影響產(chǎn)品質(zhì)量，導(dǎo)致批次產(chǎn)品性能分散大，用戶投訴率上升［15］。制造成本由于其對容差影響的直觀性，常被作為評定設(shè)計公差分配合理性的主要準(zhǔn)則［16］。通常選用滿足產(chǎn)品質(zhì)量要求的最低成本進(jìn)行公差分配，即容差設(shè)計。

半個多世紀(jì)以來，國內(nèi)外學(xué)者提出了十余種“成本-公差”模型，例如倒數(shù)模型、指數(shù)模型、線性指數(shù)組合模型等，如表1所示?！俺杀?公差”模型的選擇依照實(shí)際情況，通過獲得有關(guān)成本和公差的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)之上選取合適的近似模型擬合得到。

表1 常見的“成本-公差”模型Table 1 General “cost-tolerance” models

2.2 分支定界算法

分支定界法（Branch-and-Bound）是 20世紀(jì) 60年代由Land、Doig和Dakin等人提出的可用于求解整數(shù)線性規(guī)劃ILP（Integer Linear Programming）的算法。該算法通過放寬ILP問題的約束條件，得到其松弛問題，即線性規(guī)劃 LP（Linear Programing）問題［17］。如果松弛問題的最優(yōu)解保證每一個變量均為整數(shù)，則原問題得到解決。如果松弛問題的最優(yōu)解中某個變量的值不為整數(shù)，則需要進(jìn)一步地進(jìn)行“分支”和“定界”運(yùn)算。分支定界算法流程描述如下。

a.求解相應(yīng)的LP問題，得到初始最優(yōu)解x0，有最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 f0=f（x0）。

b.若LP的初始最優(yōu)解中任意變量為整數(shù)，它也是ILP的最優(yōu)解，則優(yōu)化停止。

c.若LP的初始最優(yōu)解不符合ILP中的整數(shù)條件，記最終的ILP最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為f，即有f≥f0。

d.在x0中任選一個不符合整數(shù)條件的變量xi，設(shè)其值為 li。 加入 2 個約束條件 xi≤［li］和 xi≥［li］+1（［li］是不超過li的最大整數(shù)），將原 LP問題分解為LP1和LP2 2個后繼問題，并分別進(jìn)行求解得到最優(yōu)解 x1、x2和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 f1、f2。

e.對于2個后繼問題中滿足整數(shù)條件的最優(yōu)解（若無可跳過此步驟），選取相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值最小者作為新的上界fU，即有fU≥f≥f0。

f.對于2個后繼問題中不滿足整數(shù)條件的最優(yōu)解（若無可跳過此步驟），選取相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最小者作為新的下界fL代替f0，即有f≥fL=f0。

g.對不滿足整數(shù)條件的分支，重復(fù)步驟d—f，比較各分支的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值與fU的大小，若f≥fU，則剪掉這一支，進(jìn)入步驟h；若f≤fU，且不符合整數(shù)條件，則重復(fù)步驟g。

h.最終的目標(biāo)函數(shù)值f*=fU，對應(yīng)的x*為最優(yōu)解。

2.3 整數(shù)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換

分支定界算法針對的是ILP問題，而容差設(shè)計問題需經(jīng)過相應(yīng)的轉(zhuǎn)換才能應(yīng)用分支定界方法。轉(zhuǎn)換過程包括2個方面：一方面是將各元器件的容差歸一為正整數(shù)，另一方面是將非線性的目標(biāo)函數(shù)和約束條件用近似模型近似。設(shè)n個元器件中的第m個元器件存在 k 個精度等級，用 m1、m2、…、mk表示，按照絕對值由小到大順序，依次對應(yīng)正整數(shù)1、2、…、k。以2個電阻R1、R2為例，假設(shè)它們的阻值為1kΩ，R1具有 3 個等級的容差分別是±10 Ω、±20 Ω、± 50 Ω，R2具有2個等級的容差分別是±10 Ω 和±50 Ω，則R1和R2的容差轉(zhuǎn)化為正整數(shù)的形式如圖2所示。設(shè)Ztol表示包含每個元器件精度等級信息的正整數(shù)矩陣，例如當(dāng) Ztol=［3，1］時，代表此刻 R1、R2的容差分別選擇為±50 Ω、±10 Ω。

圖2 容差整數(shù)化示例Fig.2 Example of tolerance integralization

3 智能電能表容差設(shè)計實(shí)例

本文以單相智能電能表的計量電路為研究對象，進(jìn)行各元器件的容差優(yōu)化設(shè)計，其流程如圖3所示。在確定各元器件參數(shù)的容差等級并整數(shù)化后，采用蒙特卡洛法在參數(shù)的變化范圍內(nèi)生成若干樣本點(diǎn)，并通過仿真得到樣本點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值。在此基礎(chǔ)上，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件的近似模型，并運(yùn)行分支定界算法進(jìn)行容差設(shè)計優(yōu)化。在反復(fù)評估目標(biāo)函數(shù)值和約束條件后，若無法得到最優(yōu)解則插入更多樣本點(diǎn)對模型加以精化，繼續(xù)執(zhí)行優(yōu)化程序直到獲得最優(yōu)解。單相智能電能表計量電路的電壓、電流通道電路圖如圖4所示。本文選取電壓量限為220 V、負(fù)載電流為In、功率因數(shù)為1的情況，進(jìn)行電能表的基本誤差計算。

在保證批次智能電能表的誤差范圍不超過自定義界限EC的同時，產(chǎn)品具有最低成本，其容差設(shè)計模型可表示為：

圖3 計量電路容差設(shè)計流程圖Fig.3 Flowchart of tolerance design of metering circuit

圖4 計量電路原理圖Fig.4 Schematic diagrams of metering circuit

其中，C（Ztol）是成本模型；（Ztol）是通過 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型近似后的基本誤差范圍模型。

計量電路中各元器件的精度等級轉(zhuǎn)化為整數(shù)形式，如表2所示。采用試驗(yàn)設(shè)計方法，列舉各種精度等級的組合情況，并對每一種情況下電壓、電流通道的誤差進(jìn)行蒙特卡洛分析。針對一種精度等級組合，在各個元器件對應(yīng)的容差范圍內(nèi)，通過隨機(jī)生成15 000組描述電子元件參數(shù)數(shù)值的樣本點(diǎn)進(jìn)行蒙特卡洛分析。該15000個樣本的生成根據(jù)6σ準(zhǔn)則，且滿足正態(tài)分布。在Simulink平臺上建立計量電路的仿真模型，得到各容差組合下的計量誤差分布。

表2 各元器件精度等級Table 2 Accuracy grades for different components

反向傳播（BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是指基于誤差反向傳播算法的多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有較好的近似精度和實(shí)用性［18-19］。典型的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成。將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于產(chǎn)品容差設(shè)計時，輸入層接收各設(shè)計參數(shù)的容差等級值進(jìn)行內(nèi)部學(xué)習(xí)和處理；輸出層輸出計量相對誤差的具體值。本文應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立基本誤差的數(shù)值模型，選擇收斂速度較快的L-M（Levenberg-Marquardt）算法，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的方法，選取隱含層神經(jīng)元個數(shù)為8個，可獲得較好的結(jié)果。根據(jù)90個數(shù)據(jù)樣本，選取72個樣本作為訓(xùn)練樣本，另外18個樣本作為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆抡骖A(yù)測結(jié)果，學(xué)習(xí)過程如圖5所示。在訓(xùn)練68步后，滿足所定義的擬合精度指標(biāo)要求（誤差為3%）。

圖5 L-M優(yōu)化學(xué)習(xí)算法的迭代效果Fig.5 Iteration effect of L-M optimization algorithm

各元器件不同精度等級時的成本如表3所示，分別選用倒數(shù)模型、線性模型和多項(xiàng)式模型對貼片電阻、貼片電容和微型電流互感器的“成本-公差”模型進(jìn)行擬合，得到容差設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)為：

其中，ztolR、ztolC和ztolA分別是單只貼片電阻、貼片電容和微型電流互感器的等效容差值，有 ztolR∈｛1，2，3，4｝、ztolC∈｛1，2，3｝和 ztolA∈｛1，2，3｝。

表3 元器件成本模型Table 3 Cost model for different components

本文選取4個誤差范圍界限，根據(jù)式（5）和式（6）對電能表計量采樣電路進(jìn)行容差設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果如表4所示。當(dāng)誤差范圍允許界限EC設(shè)置為相對較大值2.5%時，產(chǎn)品最低成本為3.38元，各元器件的容差等級取值較大；當(dāng)EC逐漸減小，產(chǎn)品成本隨之提高，某些元器件容差等級取值減小。在同樣的誤差范圍界限設(shè)置下，采用傳統(tǒng)面向連續(xù)設(shè)計變量的容差設(shè)計方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，元器件精度結(jié)果如表5所示，其中加粗?jǐn)?shù)值的元器件精度在實(shí)際工程應(yīng)用中無法提供。

表4 容差設(shè)計優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of tolerance design

對比表4和表5可知，在同一誤差允許范圍界限EC下，傳統(tǒng)方法所給出的產(chǎn)品成本更低，但由于工程上無法滿足部分元器件的精度要求，所以此時的產(chǎn)品成本并不是真實(shí)成本，而是需要進(jìn)一步列舉精度等級組合，直到獲得最優(yōu)組合為止。以EC取值2.5%為例，存在 R3、R4、R5、R6、R7、R86 個貼片電阻的精度未知，每一個電阻選取位于優(yōu)化值附近的精度值，即R3、R4、R5、R6、R7選擇 ± 1% 和 ± 5%，R8選擇 ± 0.1%和±0.5%，則需要對26組精度組合進(jìn)行比較，采用枚舉法選取成本最小的組合。

由以上分析可知，傳統(tǒng)容差設(shè)計方法無法直接獲得最終優(yōu)化值，需要再次通過枚舉法進(jìn)行選取，計算成本較高；而本文提出的方法在計算成本上更具優(yōu)勢，適用于離散設(shè)計變量的優(yōu)化設(shè)計。

針對應(yīng)用本文方法的4種優(yōu)化方案，在對應(yīng)的容差等級下分別選取2500個樣本進(jìn)行仿真計算，得到的誤差分布直方圖如圖6所示。從圖中可以看出：隨著誤差范圍允許界限EC越來越小，電路成本增加，基本誤差分布范圍變小，即誤差一致性提高。因此，設(shè)計人員可以通過設(shè)定目標(biāo)誤差范圍，獲得在此誤差范圍界定下使得成本最小的容差方案，以權(quán)衡成本和誤差一致性。

圖6 基本誤差分布直方圖Fig.6 Histogram of basic error distribution

表5 傳統(tǒng)方法優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results of traditional method

4 結(jié)論

本文從“成本-公差”模型的角度出發(fā)，分析并建立了單相智能電能表的容差設(shè)計模型，提出了以生產(chǎn)成本最小作為優(yōu)化目標(biāo)、以計量基本誤差范圍為約束條件的優(yōu)化方程。此外，針對包含離散設(shè)計變量的優(yōu)化問題，提出了一種以整數(shù)線性規(guī)劃思想為基礎(chǔ)、基于分支定界算法的容差設(shè)計方法。最后，采用該算法對典型的單相智能電能表計量電路進(jìn)行了容差設(shè)計，得到了在不同誤差變化范圍界限值下的各元器件公差值，驗(yàn)證了該算法的有效性。設(shè)計人員可以權(quán)衡待生產(chǎn)電能表的目標(biāo)誤差范圍，靈活選取各元器件的精度等級，在保證批次計量誤差一致性的同時，節(jié)約加工成本。

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