時滯反饋作用下壓電梁的參數共振分析*

彭劍李祿欣馬建軍

（1.湖南科技大學土木工程學院，湘潭 411201）（2.河南科技大學土木工程學院，洛陽 471023）

時滯反饋作用下壓電梁的參數共振分析*

彭劍1?李祿欣1馬建軍2

（1.湖南科技大學土木工程學院，湘潭 411201）（2.河南科技大學土木工程學院，洛陽 471023）

基于Hamilton原理建立了受控壓電梁的參數振動方程，研究了軸向激勵壓電梁時滯速度反饋控制的主參數共振.采用非線性振動的多尺度法研究了壓電梁的亞諧波主參數共振，并對其穩(wěn)定域進行分析.通過算例分析得到了不同時滯，控制增益，軸力影響下壓電梁參數共振的穩(wěn)定域和時程曲線.結果表明：時滯值增大，系統(tǒng)承受軸向力減小，相對于控制增益則反之.同時，隨著軸向力增大，在一定范圍內主動阻尼增加，時滯反饋能有效降低響應幅值.隨著時滯值增大，減振效果變差.

壓電梁， 時滯， 穩(wěn)定性， 參數共振

引言

梁結構作為一個基本構件，廣泛應用于土木、機械和航空航天等工程領域.在承受外荷載作用下，易發(fā)生大幅振動［1-2］，影響系統(tǒng)的正常工作.因此，梁結構的大幅振動控制問題亟待解決.

國內外學者從理論研究、實驗分析等方面開展了研究［3］.特別值得指出的是，時滯反饋控制技術的發(fā)展為梁結構的振動控制提供了新的思路［4-10］.王在華和胡海巖［4］對時滯動力系統(tǒng)的理論和應用研究現狀做了詳盡的闡述.趙艷影和徐鑒［5］研究了時滯非線性動力吸振器的減振機理.Daqaq［6］研究了時滯反饋作用下懸臂梁的非線性振動.劉銘等［7］對中立型時滯反饋扭轉控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析.賈雁兵等［8］研究了異質性和時滯作用下神經元網絡的共振動力學.李欣業(yè)等［9］研究了陀螺系統(tǒng)的受迫振動并采用時滯反饋進行振動控制.馮志宏和霍睿［10］對壓電耦合懸臂梁的時滯反饋控制及穩(wěn)定性進行了分析.彭劍等［11］研究了時滯反饋及軸力作用下彈性梁的非線性振動.

本文采用時滯速度反饋控制對受軸向激勵作用下的壓電梁的主參數共振開展研究，分析控制系統(tǒng)中關鍵參數對受控系統(tǒng)穩(wěn)定域及共振響應的影響.

1 運動方程

簡支梁如圖1所示，截面形狀為矩形，壓電材料良好，粘貼在梁表面，梁端沿軸線方向受激振力P（t）＝P0+PtcosΩt作用，P0為軸力初值，Pt為軸力幅值，Ω為激振軸力頻率.建立坐標系如圖1所示，假設梁不可伸長且忽略扭轉和剪切變形.

圖1 軸向激勵下的壓電梁的理論模型Fig.1 Model of a piezoelectric beam subjected to axial excitation

根據Hamilton變分原理：

其中，δ為變分符號，T和U為整體結構的動能和勢能，δWP為外力虛功.考慮梁橫向位移w的一階展開式，將其表示為：

其中，q（t）為位移幅值，即廣義坐標，L為梁長.則動能、勢能和外力功分別表示為［3］：

c為阻尼系數，h為基梁厚底，b表示壓電層的寬，m為基梁和壓電片單位長度的質量，V0為外加電壓，hp為壓電片厚度，e31為壓電常數.將方程（3）～（5）代入方程（1），并對廣義坐標w求變分，得到結構的非線性運動方程如下：

根據壓電材料控制機理，采用速度傳感器測量梁結構某一點x0處的速度并傳給控制器，采用時滯速度反饋控制策略施加沿壓電作動器控制電壓［6］，即：

式中k為反饋控制增益.則受控系統(tǒng)運動運動方程為：

2 參數振動分析

下面運用多尺度法［12］對時滯反饋壓電梁的參數共振進行分析.將P（t）代入方程（9），并整理如下：

為書寫方便，在以下分析中略去方程中的星號.同時將系數調整為：

其中ε為小擾動參數.設方程（13）的解為：

方程（16）的通解可以寫為：

將An表示成極坐標其中a和nβn是關于T1的實函數.分離實虛部，可得：

令a′n0＝γ′n0＝0則可得穩(wěn)定解.考慮非平凡解，即an≠0，則由方程（20）和（21）可得：

將方程（22）代入方程（21），得到定常解的振幅為：

上式稱為幅頻曲線方程，反映了外激勵和主動阻尼等對結構振動幅值的影響.

根據An為實函數的條件，由方程（23）得到結構運動穩(wěn)定性條件如下：

3 算例分析

本節(jié)通過具體算例分析參數對結構參數共振的影響.梁和壓電材料的幾何和物理參數如下［3］.梁：彈性模量E＝71GPa，線密度ρ＝2710kg·m· s-2，長度L＝0.5m，寬度b＝0.01m，厚度h＝0.005 m.壓電材料：彈性模量c＝126GPa，線密度ρP＝7500kg·m·s-2，壓電系數e31＝-6.5cm-2，長度LP＝0.5m，寬度bP＝0.01m，厚度hP＝0.001m，x0＝L／2.

圖2給出了時滯τ對壓電梁參數共振穩(wěn)定性的影響，縱坐標μ與軸力幅值Pt有關，此處P0＝120N.從圖2中可以看到，當k＝2時，隨著時滯值的減小，穩(wěn)定性區(qū)域邊界處于曲線的最低點附近向上移動.此時，2ω／Ω＝1附近上方移動，該點是亞諧波-主參數共振點，也就是說，給定控制增益，不同時滯下，結構穩(wěn)定性區(qū)域發(fā)生變化并且相對亞諧波-主參數共振區(qū)有一定偏移.圖3分析了控制增益k對壓電梁參數共振的影響.當給定時滯τ＝π／4時，隨著控制增益的增長，穩(wěn)定區(qū)域邊界線上移.值得注意的是：控制增益越大，結構所能承受的軸向力越大（限于屈曲荷載范圍）.

圖2 不同時滯時壓電梁參數共振穩(wěn)定性域Fig.2 Stability region of parametrically excited piezoelectric beam with different time delay

圖3 不同控制增益時壓電梁參數共振穩(wěn)定性域Fig.3 Stability region of parametrically excited piezoelectric beam with different control gain

圖4 軸力影響下壓電梁參數共振穩(wěn)定性域Fig.4 Stability region of parametrically excited piezoelectric beam with the effect of axial force

圖4給出了無控和受控作用下軸力對壓電梁參數共振的影響.可見，隨著軸力的增大，穩(wěn)定域邊界線逐漸升高，同時可以看到，施加控制的穩(wěn)定域較有降低，說明軸力增加，需較大的主動阻尼才能使結構處于穩(wěn)定區(qū)域，而施加控制的效果明顯.

圖5～圖7給出了無控和受控作用下壓電梁參數振動響應的時程曲線.可以看出，采用時滯反饋控制后，響應幅值明顯受到抑制，但隨著時滯值的增大，結構響應也逐漸增大，甚至可能導致失穩(wěn).

圖5 無控梁的時程曲線Fig.5 Time history of an apiezoelectric beam without control

圖6 k＝2，τ＝π／4時受控梁的時程曲線Fig.6 Time history of a controlled piezoelectric beam whenk＝2，τ＝π／4

圖7 k＝2，τ＝π時受控梁的時程曲線Fig.7 Time history of a controlled piezoelectric beam whenk＝2，τ＝π

4 小結

本文研究了壓電梁參數共振的時滯反饋控制，采用多尺度法得到了參數共振的穩(wěn)定性曲線，分析了控制增益、時滯值、軸力等因素對穩(wěn)定性區(qū)域的影響.得到結論如下：時滯反饋控制下，較小的時滯值和較大的控制增益結構能承受的軸向與激勵越大.在穩(wěn)定域內，增大控制增益有利于增大主動阻尼.結構主參數共振響應隨著時滯的增大出現拍振，甚至可能失穩(wěn).

1 Zhang W，Wang F X，Zu JW.Local bifurcations and codimension-3 degenerate bifurcations of a quintic nonlinear beam under parametric excitation.Chaos，Solitons and Fractals，2005，24（4）：977～998

2 李海濤，秦衛(wèi)陽，田瑞蘭.隨機及移動荷載激勵下彈性梁分岔與混沌.動力學與控制學報，2015，13（6）：417～422（Li H T，Qin W Y，Tian R L.Bifurcation and chaos of beam subjected tomoving loads and random excitations.Journal of Dynamics and Control，2015，13（6）：417～422（in Chinese））

3 李鳳明，劉春川.非線性梁結構的參數振動穩(wěn)定性及其主動控制.應用數學與力學，2012，33（11）：1284～1293（Li FM，Liu C C.Parametric vibration stability and active control of nonlinear beams.Applied Mathematics and Mechanics，2012，33（11）：1284～1293（in Chinese））

4 王在華，胡海巖.時滯動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔：從理論走向應用.力學進展，2013，43（1）：1～20（Wang Z H，Hu H Y.Stability and bifurcation of delayed dynamics systems：From theory to application，2013，43（1）：1～20（in Chinese））

5 趙艷影，徐鑒.時滯非線性動力吸振器的減振機理.力學學報，2008，40（1）：98～105（Zhao Y Y，Xu J.Mechanism analysis of delayed nonlinear vibration absorber.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2008，40（1）：98～105（in Chinese））

6 Daqaq M F，Alhazza K A，Arafat H N.Non-linear vibrations of cantilever beamswith feedback delays.International Journal of Non-Linear Mechanics，2008，43：962～978

7 劉銘，徐曉峰，張春蕊.中立型時滯反饋扭轉控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.動力學與控制學報，2015，13（6）：449～453（Liu M，Xu X F，Zhang CR.Stability analysis of delayed torsional vibration system of neutral type.Journal of Dynamics and Control，2015，13（6）：449～453（in Chinese））

8 賈雁兵，楊曉麗，孫中奎.異質性和時滯作用下神經元網絡的共振動力學.動力學與控制學報，2014，12（1）：86～91（Jia Y B，Yang X L，Sun ZK.Impactof diversity and delays on the resonance dynamics of neuronal networks.Journal of Dynamics and Control，2014，12（1）：86～91（in Chinese））

9 李欣業(yè)，張利娟，張華彪.陀螺系統(tǒng)的受迫振動及其時滯反饋控制.振動與沖擊，2012，31（9）：63～68（Li XY，Zhang L J，Zhang H B.Forced vibration of a gyroscope system and its delayed feedback control.Journal of Vibration and Shock，2012，31（9）：63～68（in Chinese））

10 馮志宏，霍睿.壓電耦合懸臂梁的時滯反饋控制及穩(wěn)定性分析.振動與沖擊，2011，30（6）：181～184（Feng Z H，Huo R.Time-delay feedback control and stability analysis of piezoelectric-coupling cantilever beam.Journal of Vibration and Shock，2011，30（6）：181～184（in Chinese））

11 彭劍，趙珧冰，王連華.時滯反饋及軸力作用下彈性梁的非線性振動.湖南大學學報（自然科學版），2013，40（9）：30～36（Peng J，Zhao Y B，Wang L H.Nonlinear vibrations of elastic beams subjected to axial force and delayed-feedback.Journal of Hunan University（Naturnal Science），2013，40（9）：30～36（in Chinese））

12 Nayfeh A H.Linear and nonlinear structure mechanics.New York：Wiley Interscience，2004

PARAMETRIC RESONANCEOF PIEZOELECTRIC BEAMS W ITH TIME-DELAYED FEEDBACK*

Peng Jian1?Li Luxin1Ma Jianjun2
（1.School of Civil Engineering，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan411201，China）
（2.College of Civil Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang471023，China）

The primary parametric resonance of the time-delayed velocity feedback control on piezoelectric beams under axial excitation is studied.Based on Hamilton principle，the parameter vibration equations of the controlled piezoelectric beam are obtained.Themulti-scale method of the nonlinear vibration is used to study the subharmonic primary parameter resonance on the piezoelectric beam，and its stability regions are examined.The numerical example is given to investigate the effects of time delays，control gain and axial force on the stability region and obtain the time history curves of the primary parametric resonance on piezoelectric beams.The results show that the increase of time delay leads to the reduction of the axial force of the system，while the control gain exhibits opposite effect.Moreover，with the increase of the axial force，the active damping increases in a certain range，and the time-delayed feedback can effectively reduce the response amplitude.

piezoelectric beams， time delay， stability， parametric resonance

10.6052／1672-6553-2016-27

2016-1-20收到第1稿，2016-3-1收到修改稿.

*國家重點基礎研究發(fā)展計劃（973計劃）項目（2015CB057702）、國家自然科學基金（11402085，11502072）和湖南省教育廳資助項目（14C0464）

?通訊作者E-mail：pengjian＠hnu.edu.cn

Received 20 January 2016，revised 1 March 2016.

*The project supported by the Natural Natural Science Foundation of China（2015CB057702），National Natural Science Foundation of China（11402085，11502072），Scientific Research Fund of Hunan Provincal Education Dapartment（14C0464）

?Corresponding author E-mail：pengjian＠hnu.edu.cn