一類沖擊碰振系統(tǒng)的分岔及混沌演化分析

汪健龍李萬祥

（蘭州交通大學機電工程學院，蘭州 730070）

一類沖擊碰振系統(tǒng)的分岔及混沌演化分析

汪健龍?李萬祥

（蘭州交通大學機電工程學院，蘭州 730070）

運用Poincaré映射理論與計算機仿真，研究了三自由度含間隙碰振系統(tǒng)的分岔和向混沌演化的道路.結果表明，在Hopf-flip余維二分岔點附近存在倍化分岔和Hopf分岔，不動點先發(fā)生倍化分岔形成周期2點，又經(jīng)過Hopf分岔形成了概周期運動.Hopf-Hopf余維二分岔通過數(shù)值仿真展現(xiàn)了Hopf分岔、環(huán)面分岔以及由“近正方形”概周期吸引子轉遷為混沌的奇異過程.通過對該類系統(tǒng)的研究，可以為工程實際中的含間隙碰振系統(tǒng)的優(yōu)化設計提供理論參考.

Poincaré映射， 間隙， 碰振， 混沌， 余維二分岔

引言

含間隙的機械構件在工程實際中普遍存在，它是不可避免的.有間隙就會存在碰撞和沖擊，這毫無疑問會對機械設備產(chǎn)生不利的影響.例如，零件組裝時的間隙會影響系統(tǒng)的安全性和耐用性；齒輪、連桿、軸承等傳動件間的間隙會降低傳動效率.但是，一些機械設備是依靠碰撞振動來達到工作目的，比如振動落砂機、沖擊振動成型機、振動篩等.正是由于碰撞的存在，機械系統(tǒng)的動力學行為會變得更為復雜，甚至系統(tǒng)的拓撲結構都會改變.

學者們在這一方面進行了研究，并且得出了一些鮮明的結論.文獻［1］以兩自由度分段線性系統(tǒng)為研究對象，分析了在一定的參數(shù)下系統(tǒng)會出現(xiàn)Neimark-Sacker分岔和倍化分岔.文獻［2］建立了轉子-密封系統(tǒng)的模型，研究了氣流激振力下系統(tǒng)的亞諧共振問題.文獻［3］研究了兩自由度碰撞振動系統(tǒng)的Hopf-flip余維二分岔，分析了不動點的概周期分岔與倍化分岔.文獻［4］研究了一類實際模型沖擊振動成型機的周期運動以及發(fā)生的Hopfflip余維二分岔.數(shù)值仿真了其在該類分岔條件下的動力學行為，并演化了通向混沌的過程.文獻［5］探討了當碰撞振動系統(tǒng)發(fā)生余維二分岔時，周期1、2點的Hopf分岔現(xiàn)象是存在的，并揭示了概周期運動經(jīng)環(huán)面倍化與鎖相轉遷為混沌的過程.文獻［6］以一單自由度含間隙的彈性約束系統(tǒng)為研究模型，通過數(shù)值計算證明了Hopf分岔在單自由度系統(tǒng)中的存在性.

本文以工程實際為出發(fā)點，建立了一類含間隙的碰振模型，求出了其周期解及六維的Poincaré映射.用Matlab編程仿真系統(tǒng)的周期運動［7-8］與過渡到混沌的過程.文中主要研究了余維二分岔點［9］附近復雜的動力學特性，用Poincaré映射投影圖、相圖、時間歷程圖、分岔圖形象地展示了系統(tǒng)隨參數(shù)變化而出現(xiàn)的分岔［10-11］行為.

1 力學模型及運動微分方程

圖1表示存在間隙的三自由度相對碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型，工程實際中許多部件的碰撞可認為此模型的簡化.如圖1所示整個模型由質量塊、彈簧和阻尼器相連接而成.彈簧剛度分別為K1、K2、K3、K4，阻尼系數(shù)分別為C1、C2、C3、C4，假定質量塊M1、M2、M3只在垂向運動，三個振子受到的簡諧激振力為Pisin（ΩT+τ）（i＝1，2，3），當滿足關系X1-X3＝Δ時，質量塊M1將與質量塊M3發(fā)生碰撞.這里的阻尼為Rayleigh型比例阻尼，碰撞過取決于碰撞恢復系數(shù)R，不計碰撞時間.

在連續(xù)兩次碰撞之間，該碰振系統(tǒng)無量綱化的運動微分方程表示為：

圖1 系統(tǒng)力學模型圖Fig.1 Schematic of the system mechanicalmodel

振子M1與M3碰撞時的沖擊方程及R為：

式中，下標“+”和“-”分別表示碰撞瞬時前后.

下面對方程（1）解耦，令ψ為正則模態(tài)矩陣，ωn1和ωn2是無碰撞振動情況下系統(tǒng)的固有頻率.這里取ψ為變換矩陣，做如下的坐標變換

式中，X＝（x1，x2）T；ξ＝（ξ1，ξ2）T.

經(jīng)過坐標變換，方程（1）可以寫為：

式中，ψij為正則模態(tài)矩陣ψ的元素和bj是積分常數(shù)，可通過系統(tǒng)的初始條件和模態(tài)參數(shù)確定；Aj和Bj為振幅常數(shù)，可通過穩(wěn)態(tài)解回代求得（j＝1，2，3）.

2 碰撞振動系統(tǒng)的Poincaré映射

為了分析碰撞振動系統(tǒng)的概周期運動和相關的分岔問題，通常要確定Poincaré映射，并且基于以上周期解，可以寫出擾動解.定義截面σ為：

式中，θ＝ωtmod2π.

這里將截面σ作為Poincaré截面.建立周期運動的映射方程：

式中，v∈R1；X＝X*+ΔX，X′＝X*+ΔX′，X*＝表示位于在Poincaré截面σ上的周期n單碰撞不動點，ΔX與ΔX′是擾動.

文中用q＝p／n來表示周期運動，其中n表示周期數(shù)，p表示對應的碰撞次數(shù).當系統(tǒng)受到擾動后，在M1與M3碰撞后的瞬時，令時間t為0，那么下一次發(fā)生碰撞前的時間為：

由邊界條件可推得周期運動的Poincaré映射為：

式中，x10表示未受擾動時質量塊M1在t＝0時刻碰后的位移，x20同上.且

從而建立Poincaré映射，簡要地表示成：

（11）式位于不動點處的雅克比矩陣為

式中，ν∈R表示分岔參數(shù)，為系統(tǒng)參數(shù)之一.

利用（12）式的特征值可判別系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性.若線性化矩陣Df（v，0）的全部特征值都位于復平面單位圓的內部，那么周期運動是穩(wěn)定的.只要特征值穿越單位圓的情況存在，系統(tǒng)的周期運動將會出現(xiàn)分岔.一般來說，由特征值穿越單位圓的位置和數(shù)量來決定分岔為何種類型.

3 數(shù)值仿真

選擇一組無量綱系統(tǒng)參數(shù)值：

um3＝1.75，um2＝0.65，uk2＝1.15，uk3＝0.016，uk4＝1.05，ζ＝0.002，R＝0.65，δ＝0.025.將激勵頻率ω作為分岔參數(shù)，特征值的穿越趨勢見圖2，依據(jù)判斷條件可知滿足Hopf-flip余維二分岔.即有一對復共軛特征值和一個-1的實特征值橫截單位圓周，剩下的特征值都位于單位圓的內部.

圖2 特征值穿越單位圓周Fig.2 Variation of eigenvalues inside the unit circle

圖3 Poincaré映射投影圖Fig.3 Projection draw of Poincarémap

進行數(shù)值編程仿真，當ω＜ωc＝2.056時，該系統(tǒng)處于穩(wěn)定的q＝1／1周期運動，在Poincaré截面上則為一個q＝1／1不動點；隨著激勵頻率ω的遞增，當ω＝2.062時，穩(wěn)定的q＝1／1不動點發(fā)生倍化分岔與Hopf分岔，變?yōu)門2／2吸引不變環(huán)，如圖3（a）、3（b）；若激勵頻率進一步增加，吸引不變圈的環(huán)面發(fā)生振蕩，如圖3（c）；當激勵頻率ω＝2.072時，T2／2環(huán)失穩(wěn)，發(fā)生了環(huán)面倍化，在Poincaré截面上形成2T2／2吸引不變環(huán)，如圖3（d）；若激勵頻率ω繼續(xù)遞增，2T2／2環(huán)面發(fā)生振蕩，如圖3（e）；當激勵頻率ω＝2.074時，系統(tǒng)經(jīng)環(huán)面倍化轉遷為混沌，如圖3（f）.

為了進一步分析系統(tǒng)處于混沌運動時的動力學行為，在ω＝2.074的條件下，通過編程分別仿真了3個質量塊的相圖和時間歷程圖，如圖4.由于質塊M1和M3在運動的過程中會發(fā)生碰撞，所以其相圖與質塊M2的相圖是有區(qū)別的.從圖4（a）、4（e）中，可知碰撞時“位移不變，速度突變”.從時間歷程圖可以看出，此時系統(tǒng)運動呈非周期性，即處于混沌運動.

圖4 ω＝2.074，相圖和時間歷程圖Fig.4 Phase diagrams and time history diagrams whenω＝2.074

取無量綱系統(tǒng)參數(shù)值為：um3＝1.1，um2＝0.44，uk2＝1.15，uk3＝0.59，uk4＝0.5，ζ＝0.0，R＝0.81，δ＝0.026.以激勵頻率ω作為分岔參數(shù)，數(shù)值仿真不動點鄰域內的特征值發(fā)展趨勢，系統(tǒng)特征值的穿越見圖5.當ω逐漸減小經(jīng)過ωc＝1.338時，出現(xiàn)了兩對復共軛特征值穿越情況，滿足Hopf-Hopf余維二分岔的條件.圖6（a）為分岔圖，從圖中可以看出系統(tǒng)的分岔行為，圖6（b）為圖6（a）的局部放大圖.在分岔圖中難以辨別概周期運動和混沌運動，因此還需進行進一步的分析.

圖5 特征值穿越單位圓周Fig.5 Variation of eigenvalues inside the unit circle

圖6 分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams

在這組參數(shù)值下進行數(shù)值仿真，如圖7所示.隨著激勵頻率ω的減小，當ω＝1.338時，穩(wěn)定的q＝1／1不動點發(fā)生Hopf分岔，Poincaré截面上形成一個不變圈，系統(tǒng)呈現(xiàn)概周期運動，如圖7（a）所示；當激勵頻率繼續(xù)減小時，吸引不變圈的光滑性逐漸減弱并發(fā)生振蕩，如圖7（b）；當激勵頻率ω＝1.32687時，概周期吸引子發(fā)生環(huán)面分岔，變?yōu)椤皫睢毙?，如圖7（c）；隨著激勵頻率ω進一步遠離分岔點時，產(chǎn)生了奇特的“近正方形”概周期吸引子，如圖7（d）；當激勵頻率ω＝1.321時，退化出5T1／1吸引環(huán)，如圖7（e）；繼續(xù)減小激勵頻率ω，吸引不變環(huán)轉化為半吸引的，運動最終經(jīng)半吸引不變環(huán)通向混沌，如圖7（f）.圖8為ω＝1.3208時，質量塊M1的相圖和時間歷程圖，由圖可知系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，從而證實了前面分析方法的正確性.

圖7 Poincaré映射投影Fig.7 Projection draw of Poincarémap

圖8 M1的相圖和時間歷程圖Fig.8 Phase diagrams and time history diagrams ofM1

4 結論

（1）通過數(shù)值仿真揭示了含間隙三自由度系統(tǒng)的周期運動轉遷為混沌運動的兩條道路.在Hopf-flip分岔中即存在倍化分岔，也存在周期2的Hopf分岔和環(huán)面倍化.當系統(tǒng)發(fā)生Hopf-Hopf分岔時，可通過環(huán)面分岔形成非常規(guī)“近正方形”概周期吸引子，展現(xiàn)了向混沌演化的精彩過程.

（2）由分析可知，系統(tǒng)參數(shù)的選取對機械的振動特性有很大影響，當參數(shù)變化時，機械系統(tǒng)可能產(chǎn)生復雜的分岔與混沌現(xiàn)象.因此，文中的參數(shù)范圍可以作為機械系統(tǒng)優(yōu)化設計的依據(jù).

（3）文中的研究方法與所得的結論可以推廣到其它含間隙的多自由度碰撞振動模型，為這些模型的研究分析提供有益參考，同時也是混沌控制的基礎理論.

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ANALYSISOF ROUTES TO CHAOS AND BIFURCATION OF A VIBRO-IMPACT SYSTEM

Wang Jianlong?LiWanxiang
（School of Mechatronic Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou730070，China）

The bifurcation and the routes to chaos of the three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearance are investigated using Poincarémapping and the computer simulation in this paper.The results show that flip bifurcation and Hopf bifurcation exist close to the bifurcation point of the Hopf-flip codimension two bifurcation.In the fixed point，the period two point is formed when Flip bifurcation firstly takes place，and the quasiperiodic motion occurs after Hopf bifurcation.It is revealed that Hopf bifurcation，torus bifurcation and the chaos evolution of the“subquadrate”quasi-period attractor through the numerical simulations are exhibited in Hopf-Hopf codimension two bifurcations.The study on this vibro-impact system with clearance provides the essential reference for its future optimize design.

Poincarémap， clearance， vibro-impact， chaos， codimension two bifurcation

10.6052／1672-6553-2015-74

2015-10-03收到第1稿，2015-10-22收到修改稿.

?通訊作者E-mail：jlwang321＠163.com

Received 3 October 2015，revised 22 October 2015.

?Corresponding author E-mail：jlwang321＠163.com