簡化Lorenz系統(tǒng)多翅膀混沌吸引子的設(shè)計(jì)與電路實(shí)現(xiàn)*

孫克輝傅元理

（1.中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，長沙 410083）（2.新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，烏魯木齊 830046）

簡化Lorenz系統(tǒng)多翅膀混沌吸引子的設(shè)計(jì)與電路實(shí)現(xiàn)*

孫克輝1，2?傅元理1

（1.中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，長沙 410083）（2.新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，烏魯木齊 830046）

基于簡化Lorenz系統(tǒng)，通過設(shè)計(jì)非線性函數(shù)，得到單方向多翅膀混沌吸引子.在此基礎(chǔ)上，通過引入切換控制函數(shù)，得到了網(wǎng)格多翅膀混沌吸引子.通過相圖、耗散性、平衡點(diǎn)、分岔圖和Poincaré截面方法，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性.結(jié)果表明，該多翅膀系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)行為.設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)格多翅膀系統(tǒng)的模擬電路，通過示波器觀測到網(wǎng)格多翅膀混沌吸引子，驗(yàn)證了該系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性，電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致.

混沌， 網(wǎng)格多翅膀吸引子， 簡化Lorenz系統(tǒng)， 非線性函數(shù)，電路實(shí)現(xiàn)

引言

1963年Lorenz提出了Lorenz系統(tǒng)［1］，掀起混沌研究的熱潮.1984年，蔡少棠教授提出能產(chǎn)生雙渦卷的蔡氏電路［2］，首次在混沌理論和非線性電路之間架起了橋梁.混沌在保密通信、系統(tǒng)控制等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景.為了將混沌更好的應(yīng)用于保密通信，人們長期致力于研究結(jié)構(gòu)更復(fù)雜、性能更優(yōu)的混沌系統(tǒng)，既強(qiáng)化混沌系統(tǒng)［3-6］.多翅膀混沌系統(tǒng)由于具有更復(fù)雜的動力學(xué)行為，成為混沌領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.

經(jīng)典的Lorenz混沌系統(tǒng)其吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與蝴蝶的形狀十分相似，被稱為雙翅膀混沌系統(tǒng).類似的還有Lü系統(tǒng)［7］，Chen系統(tǒng)［8］，統(tǒng)一混沌系統(tǒng)［9］等.如何基于雙翅膀混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)出多翅膀混沌吸引子一直是眾多研究者的研究課題.一類多翅膀吸引子是通過計(jì)算機(jī)仿真偶然得到的［10-12］.另外，文獻(xiàn)［13］報(bào)道了環(huán)狀多翅膀吸引子的研究成果，但都沒有形成系統(tǒng)的方法，不具有普適性.另一類主要是采用與構(gòu)造多渦卷混沌吸引子相同的思想，即在系統(tǒng)中引入合適函數(shù)，擴(kuò)展指標(biāo)為2的鞍焦平衡點(diǎn).文獻(xiàn)［14-15］在部分廣義Lorenz系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了數(shù)量可控的單方向2N多翅膀吸引子.文獻(xiàn)［16-17］報(bào)道了在單方向多翅膀吸引子的基礎(chǔ)上，在另一方向引入非線性函數(shù)生成N×M網(wǎng)格狀多翅膀吸引子，但總的來說這類系統(tǒng)數(shù)量有限，設(shè)計(jì)新的網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)仍然是個(gè)富有挑戰(zhàn)性的課題.文獻(xiàn)［18］提出了簡化Lorenz系統(tǒng)，該系統(tǒng)只含有單參數(shù)，卻有三參數(shù)經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)的性質(zhì).但是到目前為止，還沒有關(guān)于簡化Lorenz系統(tǒng)的多翅膀吸引子的研究報(bào)道.

本文以簡化Lorenz系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，研究了多翅膀混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與電路實(shí)現(xiàn)問題.首先在x軸引入偶對稱分段非線性函數(shù)替代原方程中的交叉乘積項(xiàng)，使系統(tǒng)翅膀數(shù)在x方向上延伸，然后在z軸方向引入切換控制器，使系統(tǒng)吸引子在z軸方向延伸，生成了網(wǎng)格狀多翅膀吸引子；并對系統(tǒng)進(jìn)行了耗散性、平衡點(diǎn)分布、分岔圖和Poincaré截面等分析；最后設(shè)計(jì)了相應(yīng)的模擬電路，并進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn).

1 簡化Lorenz多翅膀混沌吸引子模型

1.1 簡化Lorenz系統(tǒng)模型

單參數(shù)簡化Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為［18］其中，x、y、z為系統(tǒng)狀態(tài)變量，c是系統(tǒng)參數(shù).圖1為c＝1時(shí)的吸引子相圖及系統(tǒng)隨參數(shù)c變化的分岔圖，可見，系統(tǒng)通過倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài)，擁有多個(gè)周期窗口，且具有雙翅膀狀吸引子.

圖1 簡化Lorenz系統(tǒng)的相圖和分岔圖（a）c＝1時(shí)的吸引子x-z相平面圖（b）系統(tǒng)隨參數(shù)c變化的分岔圖Fig.1 Phase diagram and bifurcation diagram of simplified Lorenz system（a）Phase diagram of attractor inx-zplane forc＝1（b）Bifurcation diagram（cis varying）

1.2 單方向多翅膀混沌吸引子的設(shè)計(jì)

多翅膀混沌吸引子的設(shè)計(jì)原理為拓展指標(biāo)2鞍焦點(diǎn)的個(gè)數(shù)，每個(gè)指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)對應(yīng)于一個(gè)翅膀吸引子.為了得到簡化Lorenz多翅膀混沌吸引子，在簡化Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，引入偶對稱分段非線性函數(shù)替代原系統(tǒng)中的交叉乘積項(xiàng)，且考慮到電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)需要，使系統(tǒng)變量范圍在電子元器件動態(tài)范圍之內(nèi)，對系統(tǒng)變量進(jìn)行等比例壓縮.比例壓縮系數(shù)p＝0.05，則系統(tǒng)方程變?yōu)?/p>

其中f（x）為偶對稱分段非線性函數(shù)，由一個(gè)平方函數(shù)和偶對稱的階梯波序列組合而成，表達(dá)式為

其中F0、Fi、Ei為可調(diào)參數(shù)，共同控制非線性函數(shù)各段的斜率、幅度和寬度.圖2為當(dāng)參數(shù)選擇如表1時(shí)的非線性函數(shù)f（x）的圖形，可見，系統(tǒng)關(guān)于x＝0對稱.令c＝1，N＝1、N＝2、N＝3、N＝4，以（0.1，0.1，0.1）為初始值進(jìn)行仿真，可得系統(tǒng)的吸引子相圖如圖3所示.與圖1（a）對比可知，在x方向引入偶對稱分段非線性函數(shù)之后，系統(tǒng)從兩翅膀混沌吸引子拓展成了多翅膀混沌吸引子.

圖2 N＝4時(shí)參數(shù)可調(diào)多分段非線性函數(shù)f（x）Fig.2 Non-linearmulti-segment functionf（x）forN＝4

表1 可調(diào)參數(shù)Fi、Ei的取值Table 1 Values ofFiandEi

圖3 單方向多翅膀混沌吸引子相圖（a）N＝1，4翅膀；（b）N＝2，6翅膀（c）N＝3，8翅膀；（d）N＝4，10翅膀Fig.3 Phase diagram ofN-wing chaotic attractor（a）N＝1，4-wing attractor；（b）N＝2，6-wing attractor（c）N＝3，8-wing attractor；（d）N＝4，10-wing attractor

1.3 網(wǎng)格多翅膀混沌吸引子的設(shè)計(jì)

為了能得到網(wǎng)格多翅膀混沌吸引子，在系統(tǒng)（2）的基礎(chǔ)上，在z方向上引入切換控制器g（z），得到網(wǎng)格多翅膀系統(tǒng)方程為

其中f（x）是偶對稱分段非線性函數(shù)，其定義由式（3）給出.切換控制器g（z）的定義為

其中G與單方向多翅膀吸引子在z方向的跨度相關(guān)，zi為切換控制點(diǎn).這樣，系統(tǒng)（4）可產(chǎn)生（2N+2）×（M+1）網(wǎng)格狀多翅膀混沌吸引子.若令M＝3，g（z）＝1.3［1+sgn（z-2.8）］-1.3［1-sgn（z-0.1）］-1.3［1-sgn（z+2.5）］，則切換控制器函數(shù)圖形如圖4所示.令c＝1，N＝2，M＝1；N＝2，M＝2；N＝2，M＝3；N＝4，M＝1；N＝4，M＝2；N＝4，M＝3時(shí)，可分別產(chǎn)生6×2，6×3，6×4；10×2，10 ×3，10×4網(wǎng)格多翅膀混沌吸引子.其數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示.

圖4 切換控制函數(shù)波形圖Fig.4 Curve of the switch control function

圖5 網(wǎng)格狀多翅膀混沌吸引子（a）2×6翅膀吸引子；（b）2×10翅膀吸引子；（c）3×6翅膀吸引子；（d）3×10翅膀吸引子；（e）4×6翅膀吸引子；（f）4×10翅膀吸引子Fig.5 Phase diagram of grid multi-wing chaotic attractor（a）2×6-wing attractor；（b）2×10-wing attractor；（c）3×6-wing attractor；（d）3×10-wing attractor；（e）4×6-wing attractor；（f）4×10-wing attractor

2 網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)的性能分析

單方向多翅膀混沌系統(tǒng)可以看成是網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)中g(shù)（z）＝0的一個(gè)特例.因此，以網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)為例，分析多翅膀混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性，包括c＝1時(shí)系統(tǒng)（4）的耗散性、平衡點(diǎn)分布、系統(tǒng)隨控制參數(shù)c改變時(shí)的分岔圖和Poincaré截面.

2.1 耗散性分析

由耗散性定義可得

可見系統(tǒng)（4）是耗散的.意味著當(dāng)t→∞時(shí)，所有的系統(tǒng)軌跡都會被限制在體積為零的集合上，其演化軌跡將表現(xiàn)為奇異吸引子.

2.2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

由式（7）求得的平衡點(diǎn)Q0（0，0，0）、Qi（u，u，w）.其中u，w由下式確定

根據(jù)前面給出的相關(guān)參數(shù)及式（8），令N＝4，M＝3，可得到4×10翅膀混沌吸引子的平衡點(diǎn)Qi（u，u，w）取值如式（9）所示.圖6給出了其在x-z相平面上的40個(gè)平衡點(diǎn)分布.可見，通過引入偶對稱分段非線性函數(shù)f（x），以及切換控制器g（z），系統(tǒng)原有的兩個(gè)鞍焦平衡點(diǎn)已被擴(kuò)展為（2N+2）×（M+1）個(gè).

將系統(tǒng)（4）在平衡點(diǎn)Qi（u，u，w）處做線性化處理，得到平衡點(diǎn)Qi（u，u，w）處的雅克比矩陣為

其中F*（x）、G*（z）分別為f（x）、g（z）在對應(yīng)平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.為分析各個(gè)平衡點(diǎn)的類型，計(jì)算每個(gè)平衡點(diǎn)所對應(yīng)雅克比矩陣的特征值，相關(guān)結(jié)果如下：

圖6中用“°”標(biāo)明的40個(gè)平衡點(diǎn)為指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)，根據(jù)多翅膀吸引子構(gòu)造原理，每個(gè)指標(biāo)2鞍焦點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)翅膀吸引子，可見系統(tǒng)能得到40個(gè)翅膀吸引子.

圖6 x-z平面平衡點(diǎn)分布示意圖Fig.6 Distribution of equilibrium points inx-zphase plane whenN＝4 andM＝3

2.3 分岔分析

當(dāng)p＝0.05，N＝4，M＝3時(shí)，系統(tǒng)（4）的分岔圖如圖7所示.將圖7（a）方框區(qū)域放大得到圖7（b）.與原系統(tǒng)分岔圖圖（1b）對比可知，圖7（b）幾乎與圖（1b）相一致，顯然，新構(gòu)造的網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)較原系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動力學(xué)行為.

圖7 4×10網(wǎng)格多翅膀系統(tǒng)分岔圖（a）當(dāng)c∈［-12，8］時(shí)的分岔圖（b）當(dāng)c∈［4.5，7.5］時(shí)的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of4×10-wing system（a）Bifurcation diagram whenc∈［-12，8］（b）Bifurcation diagram whenc∈［4.5，7.5］

2.4 Poincaré截面

計(jì)算以y＝0為截面的4×10網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)的Poincaré截面，結(jié)果如圖8所示.可見，Poincaré截面上的點(diǎn)主要分布為4排，且清晰表示出每排所拓展出的翅膀形狀，與吸引子相圖圖5（f）相一致，同時(shí)也驗(yàn)證了網(wǎng)格多翅膀系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

圖8 4×10網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)Poincaré截面Fig.8 Poincarésection of the 4×10-wing chaotic system

3 電路實(shí)現(xiàn)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)（4）進(jìn)行模擬電路的物理實(shí)現(xiàn).以N＝2，M＝1為例設(shè)計(jì)其模擬電路，電路由兩部分構(gòu)成：第一部分為c＝1時(shí)簡化Lorenz系統(tǒng)主體電路，如圖9所示.當(dāng)S1、S2打開時(shí)電路產(chǎn)生單方向6翅膀吸引子，當(dāng)S1、S2閉合時(shí)電路產(chǎn)生6×2網(wǎng)格多翅膀.第二部分為偶對稱多分段非線性函數(shù)f（x）和切換控制函數(shù)g（z）的產(chǎn)生電路，如圖10所示.

根據(jù)圖9和圖10的電路圖可得到非線性系統(tǒng)電路方程為

圖9 網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)主體電路Fig.9 Main circuit of grid multi-wing chaotic system

圖10 N＝2、M＝1非線性函數(shù)電路（a）f（x）電路圖；（b）g（z）電路圖Fig.10 Circuit of non-linear function withN＝2，M＝1（a）Circuit realization off（x）；（b）Circuit realization ofg（z）

對比方程（12）和（4）得到R0＝R3＝10kΩ，C0＝1nF，R1＝R2＝R8＝100kΩ，R4＝1000kΩ，R5＝R6＝5kΩ、R7＝R9＝375kΩ.電路實(shí)現(xiàn)中用到了5%精度的線性電阻、線性電容、模擬乘法器和運(yùn)算放大器.其中模擬乘法器采用的是AD633芯片，增益系數(shù)為0.1.運(yùn)算放大器采用TL082，電源供電電壓為± 15V，此時(shí)運(yùn)算放大器的動態(tài)范圍是±13.5V.圖11為電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可見實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致.表明電路設(shè)計(jì)正確，系統(tǒng)具有物理可實(shí)現(xiàn)性.

圖11 電路實(shí)驗(yàn)相圖（a）單方向4翅膀；（b）單方向6翅膀；（c）網(wǎng)格2×4翅膀；（d）網(wǎng)格2×6翅膀Fig.11 Results of circuit experimental（a）4-wing attractor；（b）6-wing attractor；（c）2×4-wing attractor；（d）2×6-wing attractor

4 結(jié)論

采用理論分析、數(shù)值仿真及電路實(shí)現(xiàn)的方法，研究了基于簡化Lorenz系統(tǒng)的網(wǎng)格多翅膀混沌吸引子設(shè)計(jì)問題.通過在x方向引入偶對稱多分段非線性函數(shù)及在z方向進(jìn)行切換控制，拓展了系統(tǒng)指標(biāo)為2的鞍焦平衡點(diǎn)，得到了網(wǎng)格多翅膀混沌吸引子.網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)有更加復(fù)雜的動力學(xué)行為.最后設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的模擬電路，驗(yàn)證了該系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性，多翅膀系統(tǒng)的應(yīng)用將是我們下一步研究的課題.

1 Lorenz E N.Deterministic non-periodic flows.Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20（3）：130～141

2 Chua L O，Komuro M，Matsumoto T.The double scroll family.IEEE Transactions on Circuits and Systems，1986，33（11）：1072～1118

3 孫克輝，艾星星，左婷.多渦卷Chua混沌吸引子的設(shè)計(jì)與性能分析.動力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2015，13（1）：11～17（Sun K H，Ai X X，Zuo T，et al.Design of Chua multi-scroll chaotic attrator and its performance analysis.Journal of Dynamics＆Control，2015，13（1）：11～17（in Chinese））

4 Zhang C X，Yu SM.Generation ofmulti-wing chaotic attractor in fractional order system.Chaos Solitons＆Fractals，2011，44（10）：845～850

5 Sun K H，Wang Y，Wang Y L.Hyperchaos behaviors and chaos synchronization of two unidirectional coupled simplified Lorenz systems.Journal of Central South University，2014，21（3）：948～955

6 艾星星，孫克輝，賀少波.不同類型混沌吸引子的復(fù)合.物理學(xué)報(bào)，2014，63（4）：040503（Ai X X，Sun K H，He S B.Compound attractors between different chaotic systems.Acta Physica Sinica，2014，63（4）：40503～040503（in Chinese））

7 LüJH，Chen G R.A new chaotic attractor coined.International Journal of Bifurcation＆Chaos，2002，12（3）：659～661

8 Chen GR，Ueta T.Yetanother chaotic attractor.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9（7）：1465～1466

9 LüJH，Chen G R，Zhang S.Dynamical analysis of a new chaotic attractor.International Journal of Bifurcation＆Chaos，2002，12（5）：1001～1015

10王繁珍，齊國元，陳增強(qiáng).一個(gè)四翼混沌吸引子.物理學(xué)報(bào)，2007，56（6）：3137～3144（Wang F Z，Qi G Y，Chen Z Q，et al.A four-winged chaotic attractor.Acta Phys Sinica，2007，56（6）：3137～3144（in Chinese））

11 Li Y X，Cao Y C，Huang X.A new 4D four-wing hyperchaotic attractor and its circuit implementation.IEEE Communications，Circuits and Systems（ICCCAS），2010：742～746

12 Giuseppe G.Novel four-wing and eight-wing attractors using coupled chaotic Lorenz systems.Chinese Physics B，2008，17（9）：3247-3251

13 Yu SM，LüJH，Tang K S，et al.A general muli-scroll Lorenz system family and its realization via digital signal processors.Chaos，2006，16（3）：033126（1～10）

14 Yu SM，Wallace K S，LüJH，et al.Generating 2n-wing attractors from Lorenz-like systems.International Journal of Bifurcation and Chaos，2010，38（3）：243～258

15 Bao BC，Wang X F，Xu JP.Multi-wing butterfly attractors in Lüsystem.2010 InternationalWorkshop on Chaos-Fractal Theory and its applications，2010，211～215

16 周欣，王春華，郭小蓉.一個(gè)新的網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn).物理學(xué)報(bào)，2012，61（20）：200506（Zhou X，Wang C H，Guo X R.A new grid multi-wing chaotic system and its circuit implementation.Acta Physica Sinica，2012，61（20）：200506～379（in Chinese））

17 Yu SM，Zhang C X.On constructing complex grid multiwing hyperchaotic system：Theoretical design and circuit implementation.International Journal of Circuit Theory and Applications，2013，41（3）：221～237

18 Sun K H，Sprott JC.Dynamics of a simplified Lorenz system.International Journal of Bifurcation and Chaos，2009， 19（4）：1357～1366

DESIGN AND CIRCUIT IMPLEMENTATION OF THE SIMPLIFIED LORENZ MULTI-W ING CHAOTIC ATTRACTOR*

Sun Kehui1，2?Fu Yuanli1
（1.School of Physics and Electronics，Central South University，Changsha410083，China）
（2.School of Physics Science and Technology，Xinjiang University，Urumqi830046，China）

N-wing attractorswere first obtained by introducing a nonlinear function on the simplified Lorenz system in this paper.The gridmulti-wing attractorswere then realized through switching the control function in the z direction.Moreover，the dynamical characteristics of the Lorenz system were studied by the attractor phase diagram，dissipation，equilibrium points，bifurcation diagram and Poincarésection.The results show that the simplified Lorenz system exhibited a rich dynamical behaviors.Finally，the analog circuitof the system was designed and developed.The grid multi-wing attractors were observed through the oscilloscope，and the physical implementation of chaotic circuitwas verified.It is found that the results of circuit experimentand numerical simulation were accordant.

chaos， grid multi-wing attractor， simplified Lorenz system， nonlinear function， circuit implementation

10.6052／1672-6553-2015-85

2015-10-12收到第1稿，2015-11-13收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61161006，61573383）

?通訊作者E-mail：kehui＠csu.edu.cn

Received 12 October 2015，revised 13 November 2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（61161006、61573383）

?Corresponding author E-mail：kehui＠csu.edu.cn