一類雙險(xiǎn)種離散風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

張夢瑤　宿婧

【摘 要】本文討論在保費(fèi)隨機(jī)收取的情況下索賠額都是復(fù)合二項(xiàng)過程的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了該模型的期望罰金函數(shù)及其破產(chǎn)概率所滿足的積分方程，有限時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)概率的遞推公式。

【關(guān)鍵詞】風(fēng)險(xiǎn)模型；期望罰金函數(shù)；破產(chǎn)概率

The ruin probability for a discreet risk model of a double type insurance

ZHANG Meng-yao XU Jing

（School of Dalian Institute of Science and Technology， Dalian Liaoning 116052， China）

【Abstract】In this paper， we discusses the risk model with two independent classes of insurance business when the premium random income and arrival processes of the claims are all described by binomial processes. We will obtain expected penalty function of this model and integral equation satisfied by ruin probability， recursion formulas of the ruin probability in finite time.

【Key words】Risk model； Expected penalty function； Ruin probability

0 引言

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型[1-3]研究的是單一險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程，隨著時(shí)代的發(fā)展，保險(xiǎn)公司的規(guī)模不斷擴(kuò)大，經(jīng)營單一險(xiǎn)種已不能滿足實(shí)際需求，因此多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型[4-5]逐漸成為人們研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]討論了雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型并得到了相關(guān)結(jié)論，但討論的保費(fèi)收入為時(shí)間的線性函數(shù)具有局限性。從保險(xiǎn)公司的經(jīng)營安全角度來說保險(xiǎn)公司常常最關(guān)注的是破產(chǎn)概率，破產(chǎn)前和破產(chǎn)后的盈余的分布，引起破產(chǎn)索賠量的分布等。因此本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上討論一類在保費(fèi)到達(dá)計(jì)數(shù)過程為二項(xiàng)分布且保費(fèi)收入為常數(shù)的情況下，索賠額都是服從復(fù)合二項(xiàng)分布的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得到該模型的罰金函數(shù)及其破產(chǎn)概率滿足的積分方程，有限時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)概率和破產(chǎn)時(shí)刻的遞推公式。

1 模型概述

假設(shè)保險(xiǎn)公司在n時(shí)刻的盈余可表示為：

其中：

（1）u≥0為保險(xiǎn)公司的初始資本；M（n）是一個(gè)二項(xiàng)過程表示保險(xiǎn)公司在n時(shí)刻保費(fèi)到達(dá)計(jì)數(shù)過程且M（0）=0，我們假設(shè)有保費(fèi)收入的概率為p，沒有保費(fèi)收入的概率為q，其中0

（2）N1（n）是服從參數(shù)為（n，p1）的二項(xiàng)序列，表示保險(xiǎn)公司在[0，n]的時(shí)間段險(xiǎn)種1索賠的次數(shù)，{Xk，k≥1}為非負(fù)獨(dú)立同分布的正整數(shù)值的隨機(jī)變量序列，表示險(xiǎn)種1第k次的索賠量，其分布函數(shù)為H（x）。

（3）N2（n）是服從參數(shù)為（n，p2）的二項(xiàng)序列，表示保險(xiǎn)公司在[0，n]的時(shí)間段險(xiǎn)種2索賠的次數(shù)，{Yi，i≥1}為非負(fù)獨(dú)立同分布的正整數(shù)值的隨機(jī)變量序列，表示險(xiǎn)種2第i次的索賠量，其分布函數(shù)為Q（y）。

（4）假設(shè)M（n），N1（n），N2（n），{Xk，k≥1}，{Yi，i≥1}相互獨(dú)立。

V（n）=u-U（n），W（n+1）=U（n+1）-U（n），其中W（n+1）和{U（n），n∈N+}相互獨(dú)立，與V（1）同分布。

最后我們介紹罰金折現(xiàn)函數(shù)，注意當(dāng)破產(chǎn)發(fā)生時(shí)，Ut表示破產(chǎn)時(shí)的赤字而UT-1表示保險(xiǎn)公司在破產(chǎn)前一時(shí)刻的資本盈余，則罰金函數(shù)為：

這里v為折現(xiàn)因子，本文討論當(dāng)折現(xiàn)因子v=1的情況，I（A）表示事件A的示性函數(shù)，而w（i，j）：N×N+→N為一個(gè)非負(fù)有界函數(shù)。

2 主要結(jié)果

得到折現(xiàn)罰金函數(shù)及其破產(chǎn)概率滿足的積分方程，有限時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)概率和破產(chǎn)時(shí)刻的遞推公式。

定理1：罰金函數(shù)m（u）滿足的積分方程為：

結(jié)合（3）～（10）式可以得到（2）式。

定理證畢。

推論1：在m（u）中取w（i，j）≡1，于是m（u）=？鬃（u），于是最終破產(chǎn)概率？鬃（u）滿足積分方程。

例2：索賠額都是指數(shù)分布的破產(chǎn)概率遞推公式

根據(jù)定理結(jié)合（14）和（17）我們會(huì)得到破產(chǎn)概率的遞推公式。

【參考文獻(xiàn)】

[1]Grandel J. Aspects of Risk Theory[M].New York：Springer-Verlag，1991.

[2]Asmussen S.Ruin Probabilities[J].Singpore：World Scientific，2006.

[3]Gerber H U.Mathematical fun with the compound binomial process[Z].ASTIN Bulletin，1998，18（2）：161-168.

[4]方世祖，張春梅，王志攀.帶干擾的多險(xiǎn)種離散風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，32（3）：282-284.

[5]呂偉春，陳新美.常利率下帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型[J].湖南文理學(xué)院學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22（1）：7-9.

[6]蔣志明，王漢興.一類多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，14（1）：11-15.

[7]方世祖，陳流紅，郭夢丹，等.離散時(shí)間的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型研究[J].廣西科學(xué)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，31（1）：54-58.

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