基于H∞方法的控制系統(tǒng)作動器最優(yōu)控制仿真研究

趙一瑾

(北京航空航天大學 無人駕駛飛行器設計研究所, 北京 100191)

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基于H∞方法的控制系統(tǒng)作動器最優(yōu)控制仿真研究

趙一瑾

(北京航空航天大學 無人駕駛飛行器設計研究所, 北京 100191)

摘要:在設計控制系統(tǒng)模型時,首先引入了有限差分法(FDM)離散化后的波動方程,然后基于H∞最優(yōu)控制原理,檢查閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可探測性,對控制系統(tǒng)傳感器和作動器的位置進行優(yōu)化配置。通過計算閉環(huán)反饋系統(tǒng)的范數(shù),最終得到了控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法。仿真結果表明,利用波動方程來優(yōu)化控制系統(tǒng)傳感器和作動器位置的算法是可行的,可廣泛應用于飛控系統(tǒng)的設計中。

關鍵詞:傳感器和作動器; 有限差分法; H∞最優(yōu)控制

0引言

現(xiàn)代控制領域中最重要的內(nèi)容之一就是尋找傳感器和作動器的最優(yōu)位置,以獲得更好的控制結果。傳感器的不當放置,可能會導致其精度降低,影響控制效果。

自20世紀七八十年代起,人們開始了對控制系統(tǒng)和顯示系統(tǒng)中傳感器和作動器位置的研究。1973年,文獻[1]提出通過檢測系統(tǒng)的可觀測性確定傳感器的優(yōu)化配置。之后,研究者們開始關注于在傳感器位置最優(yōu)問題上如何減少估計誤差[2]。文獻[3]通過對線性偏微分方程(PDE)模型的控制器進行可控性測量,來得到最佳的作動器的位置。后來文獻[4]將遺傳算法引入到優(yōu)化控制器增益和作動器位置研究中。對于非線性控制系統(tǒng),Lou等[5]嘗試用K-S方程的高階離散來計算。盡管這些前期的方法和研究取得了一定的進展,但在魯棒性方面均存在不足。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展,魯棒控制系統(tǒng)被引入到這一問題中來。文獻[6]利用線性Ginzburg-Landau模型來設計H2控制器,但相較于H∞最優(yōu)控制理論,H2控制理論存在更多的局限性。

考慮到實際工程應用中飛機作為一個彈性體,在設計控制器時必須考慮柔性結構的因素，本文將現(xiàn)代H∞魯棒控制理論與柔性結構的波動方程相結合,來解決作動器和傳感器位置最優(yōu)的問題。利用有限差分法(FDM)來離散化波動方程,它的線性偏微分方程可以通過物理學原理推導得出[7]。H∞最優(yōu)控制原理被應用于設計控制系統(tǒng),它擁有傳統(tǒng)控制方法的所有優(yōu)點，并且很好地平衡了控制器的表現(xiàn)和魯棒性[8]。H∞最優(yōu)控制的目標是減小閉環(huán)系統(tǒng)從外界輸入到誤差信號輸出的范數(shù)γ∞。

1被控系統(tǒng)的離散化

1.1偏微分方程

由于一維波動方程沒有阻尼項,其所有特征值均在虛軸上即實數(shù)部分為零,整個開環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定,須引入阻尼項來確保所有矩陣的特征值都處于左半平面上。一維有阻尼項的波動方程的偏微分方程為[7,9]:

(1)

式中:x為波的振幅;s為位置矢量;c為波的傳播速度;λ為阻尼系數(shù)。假設在機翼的底端有脈沖輸入信號,則初始條件(IC)和邊界條件(BC)分別為:

(2)

(3)

1.2有限差分方法

用有限差分法對偏微分方程進行離散化[10],下面是兩種離散方法。

1.2.1全離散有限元差分法

離散化整個系統(tǒng),將其分為N個點,時間T分為M個節(jié)點,所以空間和時間上的步長可分別表示為Δs=L/(N-1),Δt=T/(M-1)。一階差分用向前差分法,二階用中心差分法,可離散化一維有阻尼項的波動方程為:

(4)

式中:i為空間網(wǎng)格;j為時間網(wǎng)格。用p=c2Δt2/Δs2替代,重新整理式(4)可得:

(5)

寫成矩陣格式為:

(6)

1.2.2半離散有限元差分法

半離散法僅在空間上離散而不在時間上進行離散,即Δs=L/(N-1)。離散時對于各節(jié)點處n=0,1,…,N-1,可使用二階向前差分、二階向后差分以及二階中心差分法,其表達式分別如式(7)～式(9)所示:

(7)

(8)

(9)

2H∞最優(yōu)控制系統(tǒng)

2.1H∞最優(yōu)控制原理

一個典型的H∞反饋控制系統(tǒng)的結構框圖如圖1所示。

圖1　H∞反饋控制系統(tǒng)結構框圖Fig.1　Structure of H∞ feedback control system

圖1的反饋控制系統(tǒng)可以看作一個下線性分式變換(LFT)。圖中：G(s)為被控對象;K(s)為控制器[11-12];u為控制輸入;y為測量輸出;w為所有外部輸入,包括干擾或噪聲;z為系統(tǒng)的輸出即錯誤信號。該系統(tǒng)可以表示為:

(10)

通過一系列推導可得系統(tǒng)從外部輸入w到誤差信號z的傳遞函數(shù)為[13]:

(11)

此系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為:

(12)

所以傳遞函數(shù)可以表示為:

(13)

系統(tǒng)的H∞范數(shù)γ代表系統(tǒng)最壞的情況或可能出現(xiàn)的最大增益。定義為[11-13]:

(14)

2.2H∞閉環(huán)控制器的設計

用狀態(tài)空間描述開環(huán)系統(tǒng)[14]:

(15)

其中:

利用H∞最優(yōu)控制理論設計一個閉環(huán)控制系統(tǒng),寫成式(12)的形式。

2.3位置最優(yōu)設計

2.3.1傳感器位置最優(yōu)

2.3.2作動器位置最優(yōu)

3仿真結果及分析

假設:波的傳播速度c=1 m/s;介質(zhì)長度L=10 m;分割節(jié)點數(shù)N=15;總測量時間T=10 s;時間節(jié)點數(shù)M=100;外界脈沖輸入的邊界條件uL=10 mm;阻尼項的阻尼系數(shù)λ=1。

3.1H∞閉環(huán)控制系統(tǒng)

閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)γclosed是用來測量H∞最優(yōu)控制系統(tǒng)的控制效果的一項非常重要的指標。

對于不同的r,閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應分別如圖2所示。當r=0時,為了平衡位于介質(zhì)末端的正向波動,靠近介質(zhì)起始端的節(jié)點處的響應是負向的。隨著系數(shù)r的不斷增大,這個響應在不斷減小,當r趨近于正無窮大時,對比開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的范數(shù)可知,γclosed會趨近于γopen,此時意味著控制器對系統(tǒng)的影響小到可以忽略不計。

圖2　含阻尼項波動方程的脈沖響應Fig.2　Impulse responses of closed-loop system for wave equation with damping term

通過對比不同r情況下閉環(huán)系統(tǒng)和開環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù),可以得出如下結論:當r不斷增大,會使得控制輸入u變小,從而導致控制器在閉環(huán)系統(tǒng)中所起到的作用非常小。當r足夠大時,閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)會無限趨近于開環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù),這說明閉環(huán)系統(tǒng)的控制效果與開環(huán)系統(tǒng)一樣變得非常差。

3.2傳感器位置最優(yōu)

根據(jù)第2.3.1節(jié)關于傳感器位置最優(yōu)的研究,移動傳感器測量輸出的位置,則系統(tǒng)的脈沖響應如圖3所示。當測量輸入向位于底端的外界輸入移動時,位于遠離w的作動器反應越來越迅速,這表明了控制器的效果不斷提高。

圖3　移動傳感器位置時波動方程的脈沖響應Fig.3　Impulse responses of closed-loop system with the position of sensor being moved

此時若將u固定在其他節(jié)點處,移動測量輸出y的位置時,會出現(xiàn)系統(tǒng)不可探測的情況,增加傳感器的個數(shù)可以使系統(tǒng)重新變?yōu)榭商綔y的。

3.3作動器位置最優(yōu)

按照本文第2.3.2節(jié)所述的過程進行作動器位置最優(yōu)的研究,移動作動器即控制輸入的位置。表1為作動器位置不同時閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)。其中，γ1為u=x(0,t)時γclosed的最小值;γ2為u=x(Δs,t)時γclosed的最小值。對比可知,將作動器放在起始端,會得到更好的控制效果。繼續(xù)移動作動器的位置,可能會出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況,這意味著僅用一個作動器無法使系統(tǒng)穩(wěn)定,此時可以通過增加作動器的個數(shù)來解決這一問題。

在研究一個傳感器作動器位置最優(yōu)問題時,會出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定或不可探測的情況,此時可以通過增加傳感器或作動器的數(shù)量來使系統(tǒng)重新恢復到穩(wěn)定、可探測的狀態(tài)。

表1　作動器位置不同時閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)

4結束語

基于H∞最優(yōu)控制原理,利用波動方程來優(yōu)化控制系統(tǒng)傳感器和作動器位置的算法是可行的,可以將傳感器和作動器的位置最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為控制系統(tǒng)的優(yōu)化問題。可以通過測量控制系統(tǒng)的H∞范數(shù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的控制效果,給復雜的位置最優(yōu)問題一個固定的檢測標準。在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和可探測性的前提下,可以進一步研究多個傳感器及作動器位置最優(yōu)的問題。

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(編輯：方春玲)

Simulation of optimal control actuators for a control system based onH∞theory

ZHAO Yi-jin

(Unmanned Aircraft Design and Research Institute, BUAA, Beijing 100191, China)

Abstract:This paper proposes a new way to address this issue, in which wave equation discretized by the finite differential method (FDM) was used to describe the input/output propagation mode for control systems. By utilizing a robust controller design to the models, the complicated optimal actuator and sensor placement problem can be transformed to a judgement on specific characteristics. Check the stability and detectability of the closed-loop control system based on the H∞optimal control principles. The simulation results show that the process of optimizing the placement of sensors and actuators for control and monitoring system could also serve as a natural extension to other structures.

Key words:sensor and actuator; finite differential method (FDM); H∞optimal control

中圖分類號：V249.1

文獻標識碼：A

文章編號：1002-0853(2016)02-0028-04

作者簡介:趙一瑾(1993-)，女，陜西西安人，碩士，研究方向為飛行力學與控制工程。

收稿日期:2015-11-08;

修訂日期:2016-01-19; 網(wǎng)絡出版時間:2016-03-15 14:29