一類(lèi)二次可逆中心的周期函數(shù)的單調(diào)性

吳奎霖

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 貴州 貴陽(yáng) 550025)

一類(lèi)二次可逆中心的周期函數(shù)的單調(diào)性

吳奎霖

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 貴州 貴陽(yáng) 550025)

研究一類(lèi)二次可逆中心周期軌道的周期單調(diào)性問(wèn)題.首先給出該類(lèi)中心周期函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)表達(dá)式判定其周期函數(shù)是單調(diào)的.

二次可逆中心； 周期函數(shù)； Lagrange-Bürmann逆定理

平面微分系統(tǒng)的一個(gè)奇點(diǎn)E稱(chēng)為一個(gè)中心,如果E的一個(gè)鄰域全由圍繞E的周期軌道組成,這樣最大的鄰域稱(chēng)為中心E的周期環(huán)域,記為P.對(duì)一般的解析可積平面微分系統(tǒng)

(1)

不妨假設(shè)原點(diǎn)O(0,0)是其一個(gè)中心,設(shè)H(x,y)是其首次積分.圍繞O(0,0)的周期環(huán)域記為P:={γh:H(x,y)=h,h∈Σ},其中Σ為h的極大取值區(qū)間使得軌道γh:H(x,y)=h是系統(tǒng)(1)的周期軌道.則周期軌道γh的周期為

T(h):=∮Γhdt=

(2)

稱(chēng)函數(shù)T(h)為系統(tǒng)(1)的周期函數(shù).周期函數(shù)T(h)的極值點(diǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)(1)的臨界周期.稱(chēng)中心O(0,0)是等時(shí)中心如果周期函數(shù)T(h)是一個(gè)常數(shù),即T′(h)≡0.臨界周期的個(gè)數(shù)問(wèn)題在分支理論、Neumann問(wèn)題有重要的應(yīng)用.

(3)

如果B=0,A. Gasull[4]證明了系統(tǒng)(3)中心的周期函數(shù)是單調(diào)的.如果B≠0,系統(tǒng)(3)可簡(jiǎn)化為

(4)

文獻(xiàn)[5-10]對(duì)系統(tǒng)(4)的臨界周期個(gè)數(shù)問(wèn)題做了很多工作,但至今仍沒(méi)有解決Chicone關(guān)于系統(tǒng)(4)的相關(guān)猜想.

本文主要研究系統(tǒng)

(5)

表 1 系統(tǒng)(5)的奇點(diǎn)

其首次積分為

H(x,y)=(1-x)-2F(x2+y2).

1 主要結(jié)論及其證明

當(dāng)F>1和F<0時(shí),系統(tǒng)(5)有2個(gè)奇點(diǎn):中心O:(0,0)和鞍點(diǎn)P:(1/(1-F),0),一條不變直線(xiàn)x=1.周期環(huán)域?yàn)?/p>

P:={γh:H(x,y)=h,

h∈Σ=(0,(F-1)2F-2/F2F)}.

周期軌道γh的周期T(h)為

(6)

為了更方便研究周期函數(shù)T(h)的性質(zhì),引入一個(gè)Abel積分A(h)

A(h)=2∮γh(1-x)-2F-1ydx,

(7)

則A′(h)=T(h).因此周期函數(shù)T(h)的臨界周期個(gè)數(shù)由A″(h)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)決定.對(duì)Abel積分(7)分部積分,則有

接下來(lái)嘗試給出周期函數(shù)T(h)的級(jí)數(shù)表達(dá)式,根據(jù)級(jí)數(shù)表達(dá)式證明周期函數(shù)T(h)的單調(diào)性.做如下變換

z=(1-x)-Fx,Y=(1-x)-Fy,

(8)

則Abel積分(7)變?yōu)?/p>

(9)

設(shè)系統(tǒng)(5)的周期環(huán)域P在x-軸上的投影為(xl,xr),如果F>1,則

如果F<0,則

下面將用Lagrange-Bürmann逆定理計(jì)算Abel積分(7)的Taylor級(jí)數(shù).為了方便,首先給出定理.

引理 1.1[12]設(shè)f,φ為一解析函數(shù),在x=0的一個(gè)鄰域內(nèi)z=x/φ(x)解析,并且φ(0)≠0.則

下面運(yùn)用Lagrange-Bürmann逆定理證明下面這個(gè)引理.

引理 1.2 如果F>1或F<0,則系統(tǒng)(5)的中心的周期函數(shù)是單調(diào)的.

證明 由Lagrange-Bürmann逆定理,則有下面級(jí)數(shù)表示

(10)

其中

an(F)=

級(jí)數(shù)(10)的收斂半徑r為

如果F>1,則有

如果F<0,則有

當(dāng)F>1或F<0時(shí),Abel積分(9)可表示為

其中

故有

下面討論F=0和F=1這2種情形.

引理 1.3 如果F=0或F=1,則系統(tǒng)(5)的周期環(huán)域所對(duì)應(yīng)的周期函數(shù)是單調(diào)的.

證明 如果F=0,原點(diǎn)O:(0,0)是系統(tǒng)(5)的中心,x=1是奇異直線(xiàn)(即:奇異直線(xiàn)上的每個(gè)點(diǎn)都是系統(tǒng)(5)的奇點(diǎn)).此時(shí)系統(tǒng)(5)的首次積分為

H(x,y)=x2+y2.

周期環(huán)域?yàn)镻:={γh:H(x,y)=h,h∈(0,1)}.周期環(huán)域?yàn)镻在x-軸上的投影為(xl,xr)=(-1,1).周期函數(shù)(6)可表示為

這樣就證明了當(dāng)F=0時(shí),系統(tǒng)(5)的周期環(huán)域所對(duì)應(yīng)的周期函數(shù)是單調(diào)的.

如果F=1,1964年W. S. Loud[13]證明了系統(tǒng)(5)的中心是等時(shí)中心,即T′(h)≡0.綜上所述,引理1.3得證.

由引理1.2和1.3,得到了該文的主要結(jié)論.

定理 1.1 如果F≥1或F≤0,則系統(tǒng)系統(tǒng)(5)的周期環(huán)域所對(duì)應(yīng)的周期函數(shù)是單調(diào)的.

[1] CHICONE C. Review in MathSciNet, ref.94h:58072[J]. Math Rev,1994(h):58072.

[2] COPPEL W A, GAVRILOV L. The period function of a Hamiltonian quadratic system[J]. Differential Integral Equations,1993,6(6):1357-1365.

[3] ZHAO Y. The monotonicity of period function for codimension four quadratic systemQ4[J]. J Differential Equations,2002,185(1):370-387.

[4] GASULL A, GUILLAMON A, VILLADELPRAT J. The period function for second-order quadratic ODEs is monotone[J]. Qual Theory Dyn Syst,2004,4(2):201-224.

[5] VILLADELPRAT J. On the reversible quadratic centers with monotonic period function[J]. Proc Am Math Soc,2007,135(8):2555-2565.

[6] MANOSAS F, VILLADELPRAT J. The bifurcation set of the period function of the dehomogenized Loud’s centers is bounded[J]. Proc Am Math Soc,2008,136(5):1631-1642.

[7] ZHAO Y. The period function for quadratic integrable systems with cubic orbits[J]. J Math Anal Appl,2005,301(2):295-312.

[8] ZHAO Y. On the monotonicity of the period function of a quadratic system[J]. Discrete Contin Dyn Syst,2005,13(13):795-810.

[9] LIANG H, ZHAO Y. On the period function of reversible quadratic centers with their orbits inside quartics[J]. Nonlinear Anal,2009,71(11):5655-5671.

[10] LIANG H, ZHAO Y. On the period function of a class of reversible quadratic centers[J]. Acta Math Sin(Engl Ser),2011,27(27):905-918.

[11] LIU C. Limit cycles bifurcated from some reversible quadratic centers with nonalgebraic first integral[J]. Nonlinearity,2012,25(6):1653-1660.

[12] ABRAMOWITZ M, STEGUN I A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables[M]. New York:Dover,1972.

[13] LOUD W S. Behaviour of the period of solutions of certain plane autonomous systems near centers[J]. Contrib Differential Equations,1964,3(1):21-36.

2010 MSC：34C07; 34C08; 34C25

(編輯 周 俊)

Monotonicity for Period Functions of a Class of Quadratic Reversible Centers

WU Kuilin

(Department of Mathematics, Guizhou University, Guiyang 550025, Guizhou)

In this paper, we investigate the monotonicity of period function of periodic orbits for a class of quadartic reversible center. We firstly give the Taylor series expressions of the period function. Then, by the obtained Taylor series expressions of the period functions, we prove that the period function is monotone.

quadratic reversible centers; period function; Lagrange-Bürmann inversion theorem

2016-06-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301105)和貴州省科學(xué)技術(shù)基金(黔科合J字[2015]2036號(hào))

吳奎霖(1981—),男,副教授,主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的研究,E-mail:wkuilin@163.com

O123.4

A

1001-8395(2016)06-0857-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.015