二階非線性積-微分方程邊值問(wèn)題解的存在性

尚亞亞, 李永祥

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

二階非線性積-微分方程邊值問(wèn)題解的存在性

尚亞亞, 李永祥*

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

討論二階積-微分方程邊值問(wèn)題

二階積-微分方程; 極大值原理; 上解; 下解; 正解

1 預(yù)備知識(shí)

本文考慮二階非線性積-微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(BVP)

-u″(t)=f(t,u(t),(Su)(t)),t∈I,

u(0)=0,u(1)=0

(1)

解的存在性,其中,I=[0,1],f(t,u,v):I×R×R→R連續(xù),S為Fredholm型積分算子

其核K(t,s):I×I→R+連續(xù).非線性積-微分方程邊值問(wèn)題是微分方程理論中的一個(gè)重要分支,在生物學(xué)、金融數(shù)學(xué)及控制論等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.另外,部分三階與四階非線性常微分方程邊值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二階積-微分方程邊值問(wèn)題來(lái)討論,如文獻(xiàn)[1].因此,該問(wèn)題引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-10].但是,已有文獻(xiàn)對(duì)周期邊值問(wèn)題的研究較多,在BVP(1)中邊界條件下的研究相對(duì)較少.若非線性項(xiàng)f(t,u,v)不含v時(shí),即BVP(1)的特殊情形

-u″(t)=f(t,u(t)),t∈I,

u(0)=0,u(1)=0.

(2)

其研究已經(jīng)獲得了豐富而深刻的結(jié)果,見(jiàn)文獻(xiàn)[11-13].然而對(duì)非線性項(xiàng)f(t,u,v)含積分項(xiàng)v的情形,且在實(shí)數(shù)空間考慮時(shí),研究的理論相對(duì)較少.特別地,文獻(xiàn)[2]運(yùn)用Krasnosélskii錐映射不動(dòng)點(diǎn)定理,在f非負(fù)且允許超線性和次線性增長(zhǎng)的條件下,獲得了BVP(1)正解的存在性;文獻(xiàn)[3]考慮了更一般的二階邊值問(wèn)題

t∈I=[a,b],u(a)=A,u(b)=B,

(3)

其中,a,b,A,B∈R,k(t,s)∈C(I).文獻(xiàn)[6]運(yùn)用單調(diào)迭代方法研究了該問(wèn)題極解的存在性,并證明了分別以下解α與上解β為初始元作迭代序列,則其一致收斂于BVP(3)的極小解與極大解.

受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文試圖運(yùn)用上下解方法討論BVP(1)解的存在性,建立了極大值原理(本文引理3)與上下解定理.需要注意的是,在利用上下解方法尋求解的過(guò)程中,找出上解及下解是至關(guān)重要的,但是如何具體去找上解及下解的文章并不多見(jiàn).基于此,本文對(duì)非線性項(xiàng)f提出不同的限制條件,利用極大值原理獲得了BVP(1)一對(duì)有序的上下解,進(jìn)而由上下解定理得到了解的存在性.然后,討論正解的存在性一般均要求非線性項(xiàng)f非負(fù),若f變號(hào)時(shí),文獻(xiàn)[2]中的方法不再適用.本文在允許f變號(hào)的一般情形下,獲得了BVP(1)正解的存在性,拓寬了f的適用范圍.

容易知道,對(duì)?h∈C(I),二階線性邊值問(wèn)題(LBVP)

-u″(t)=h(t),t∈I,

u(0)=0,u(1)=0,

(4)

存在唯一解u∈C2(I),且

(5)

其中

(6)

引理 1 LBVP(4)的解算子T:C(I)→C(I)為全連續(xù)算子,且滿足‖T‖=1/8.

證明 易證T為全連續(xù)算子.下證‖T‖=1/8.由T的定義,則有

為了建立新的極大值原理,現(xiàn)考慮如下LBVP

-u″(t)-Mu(t)-N(Su)(t)=h(t),t∈I,

u(0)=0,u(1)=0,

(7)

證明 LBVP(7)可化為如下形式

-u″(t)=h(t)+Mu(t)+N(Su)(t),t∈I,

u(0)=0,u(1)=0.

由(4)及(5)式可知LBVP(7)有解

u(t)=T(h(t)+Mu(t)+N(Su)(t)),

即等價(jià)于C(I)中的算子方程

(I-MT-NT°S)u(t)=Th(t),

(8)

這里,I為C(I)中的單位算子.此外

‖MT+NT°S‖≤|M|‖T‖+

|N|‖T‖‖S‖

根據(jù)單位算子擾動(dòng)定理,I-MT-NTS有有界逆算子,且

(I-MT-NT°S)-1=

(9)

因此(8)式有唯一解

u=(I-MT-NT°S)-1Th:=

(B1°T)h:=Bh,

(10)

其中

B1=(I-MT-NT°S)-1:C(I)→C(I)

為有界線性算子,B=B1°T.由引理1,算子T全連續(xù),因此B:C(I)→C(I)全連續(xù).此時(shí),算子方程的唯一解即為L(zhǎng)BVP(7)的唯一解.證畢.

-u″(t)-Mu(t)-N(Su)(t)≥0,t∈I,

u(0)≥0,u(1)≥0,

(11)

則u(t)≥0于I.

證明 因?yàn)镸,N≥0,T、S均為正算子,則

也為正算子.結(jié)合(9)和(10)式及引理2的論證過(guò)程,對(duì)?h∈C+(I),u(t)≥0.證畢.

2 主要結(jié)果及證明

用上下解方法討論BVP(1)解的存在性.先引入上下解的定義.

定義 1 設(shè)w(t)∈C2(I),若w(t)滿足

-w″(t)≤f(t,w(t),(Sw)(t)),t∈I,

w(0)≤0,w(1)≤0,

則稱w(t)為BVP(1)的下解.若上述不等式全取反向,則稱w(t)為BVP(1)的上解.

定理 1 設(shè)f:I×R×R→R連續(xù).設(shè)BVP(1)存在下解v0及上解w0,且v0≤w0.若f(t,u,v)滿足條件

(F1) 對(duì)?t∈I,當(dāng)Sv0(t)≤v(t)≤Sw0(t)時(shí)有

f(t,w0(t),v(t))≤f(t,w0(t),Sw0(t)),

f(t,v0(t),v(t))≥f(t,v0(t),Sv0(t)),

則BVP(1)至少存在一個(gè)解u滿足v0≤u≤w0.

證明 用截?cái)嗪瘮?shù)法論證.令

η(t,u)=max{v0(t),min{w0(t),u(t)}},

則η:I×R→R連續(xù),且滿足

v0(t)≤η(t,u)≤w0(t), (t,u)∈I×R,

Sv0(t)≤Sη(t,u)≤Sw0(t), (t,u)∈I×R.

作f*(t,u,v):I×R×R如下

f*(t,u,v)=f(t,η(t,u),Sη(t,u))-

(12)

則f*(t,u,v):I×R×R連續(xù),有界.由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理易證二階邊值問(wèn)題

-u″(t)=f*(t,u(t),(Su)(t)),t∈I,

u(0)=0,u(1)=0,

(13)

有解u0∈C2(I).下證u0滿足

v0≤u0≤w0.

(14)

若(14)式成立,此時(shí),η(t,u0(t))=u0(t),Sη(t,u0(t))=Su0(t),則

f*(t,u(t),(Su)(t))=f(t,u0(t),(Su0)(t)),

因此,BVP(13)與BVP(1)等價(jià),故u0∈C2(I)也是BVP(1)的解.

先證v0≤u0.反設(shè)v0(t)u0(t),則存在t′∈(0,1),使v0(t′)>u0(t′).考察I上的函數(shù)

Φ(t)=u0(t)-v0(t),t∈I,

顯然Φ(t′)<0,Φ(0)>0,Φ(1)>0.故minΦ(t)<0,t∈(0,1),則必存在t0∈(0,1)使

Φ(t0)=minΦ(t)<0,

Φ′(t0)=0,Φ″(t0)≥0.

因此

u″0(t0)>v″0(t0).

(15)

再由條件(F1)、f*、η(t,u)及下解的定義有

-u″0(t0)=f*(t0,u0(t0),Su0(t0))=

f(t0,v0(t0),Sv0(t0))≥-v″0(t0),

則u″0(t0)

因此,v0(t)≤u0(t).同理可證,u0(t)≤w0(t),即(14)式成立.證畢.

注 1 定理1中必須要求BVP(1)存在上解與下解,并滿足相應(yīng)的序關(guān)系,從而保證解的存在性,因此如何去找上下解變得尤為重要.本文將在不假定BVP(1)上下解存在的情形下,對(duì)非線性項(xiàng)f提出不同的條件,獲得了以下結(jié)論.

定理 2 設(shè)f:I×R2→R連續(xù).若存在常數(shù)c>0,使f(t,u,v)滿足下列條件:

(F2)f(t,c,Sc)≤0,f(t,-c,-Sc)≥0;

(F3) 當(dāng)-Sc≤v≤Sc時(shí),

f(t,c,v(t))≤f(t,c,Sc),

f(t,-c,v(t))≥f(t,-c,-Sc),

則BVP(1)至少有一個(gè)解.

證明 取w(t)=c,由(F2)有

-w″(t)=0≥f(t,w(t),(Sw)(t)),

w(0)=w(1)=c>0,

滿足上解的定義,因此w(t)是BVP(1)的一個(gè)上解;同理,令v(t)=-c,則

-v″(t)=0≤f(t,v(t),(Sv)(t)),

v(0)=v(1)=-c<0,

即v(t)是BVP(1)的一個(gè)下解.又c>0,則v(t)

注 2 定理2中找到的上下解為常數(shù)上下解.由于在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)受到限制,因此,將尋找更一般的非常數(shù)的上下解.

定理 3 設(shè)f:I×R2→R連續(xù),當(dāng)v≥0時(shí),f(t,u,v)關(guān)于v單調(diào)遞增.若下列條件成立:

(F4) 若存在δ>0,當(dāng)0≤u≤δ時(shí)有

f(t,u,v)≥λ1u,

(16)

這里,λ1=π2為BVP(4)對(duì)應(yīng)的第一特征值;

f(t,u,v)≤au+bv+c,

(17)

則BVP(1)至少存在一個(gè)正解.

證明 令v(t)=σsin πt,對(duì)任意充分小的σ∈(0,δ),由(F4)有

-v″(t)=λ1v(t)≤f(t,v(t),(Sv)(t)),t∈I,

v(0)=0,v(1)=0,

因此v(t)是BVP(1)的一個(gè)下解.此時(shí),0≤v(t)≤σ,故v(t)是一個(gè)非負(fù)的下解.

對(duì)線性邊值問(wèn)題

-u″(t)=au(t)+b(Su)(t)+c,t∈I,

u(0)=0,u(1)=0.

(18)

由條件(F5),BVP(18)有唯一的正解w(t),且

-w″(t)=aw(t)+b(Sw)(t)+c≥

f(t,w(t),(Sw)(t)),

w(0)=w(1)=0,

則w(t)為BVP(1)的一個(gè)上解.再證當(dāng)σ適當(dāng)小時(shí),上下解滿足v(t)≤w(t).

-(w(t)-v(t))″-a(w(t)-v(t))-

b((Sw)(t)-(Sv)(t))=

-w″(t)+v″(t)-aw(t)+

av(t)-b(Sw)(t)+b(Sv)(t)=

aw(t)+b(Sw)(t)+c-λ1v(t)-aw(t)+

av(t)-b(Sw)(t)+b(Sv)(t)=

c+(a-λ1)v(t)+b(Sv)(t)≥

c-λ1σ>0.

f(t,u,v)≥au+bv-c,

(19)

則BVP(1)至少有一個(gè)解.

證明 由定理3的證明,(F5)成立時(shí),BVP(18)的唯一解w(t)是BVP(1)的一個(gè)正的上解.同理,考慮線性邊值問(wèn)題

-u″(t)=au(t)+b(Su)(t)-c,t∈I,

u(0)=0,u(1)=0.

(20)

根據(jù)條件(F6),BVP(20)有唯一解-w(t),且-w(t)是BVP(1)的一個(gè)下解.顯然,-w(t)

例 1 考察二階積-微分方程邊值問(wèn)題

-u″(t)=-3u3(t)+

u(0)=0,u(1)=0.

(21)

此時(shí)

容易驗(yàn)證

f(t,2,S2)≤-24+e≤0,

從而找到了一對(duì)有序的常數(shù)上下解2與-2,易見(jiàn)f(t,u,v)關(guān)于變量v單調(diào)不減,由定理2,BVP(21)在[-2,2]上有解.

例 2 考慮邊值問(wèn)題

-u″(t)=(u-sin πt)(u-11)+

u(0)=0,u(1)=0,

(22)

其中

f(t,u,v)=-(11+sin πt)u+u2+

顯然f是變號(hào)的.令v0(t)=sin πt,w0(t)=4.經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算知,w0(t)是BVP(22)的一個(gè)上解.另一方面

f(t,v0(t),Sv0(t))=

π2≥-v″0(t).

同時(shí),v0(0)=v0(1)=0,因此,v0(t)是BVP(22)的一個(gè)下解,且v0(t)≤w0(t),t∈I,所以找到了一對(duì)有序的上下解.又因f(t,u,v)關(guān)于變量v單調(diào)不減,由定理1,則BVP(22)在[sin πt,4]上有解u0,且此解是正解.

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2010 MSC：34B18

(編輯 李德華)

The Exsitence of Solutions for the Boundary Value Problem of Nonlinear Second Order Integro-differential Equations

SHANG Yaya, LI Yongxiang

(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu)

second order integro-differential equation; maximum principle; upper solution; lower solution; positive solution

2015-12-21

國(guó)家自然科學(xué)基金(11261053)和甘肅省自然科學(xué)基金(1208R-JZA129)

O175.8

A

1001-8395(2016)06-0833-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.010

*通信作者簡(jiǎn)介：李永祥(1963—),男,教授,主要從事非線性泛函分析的研究,E-mail:liyxnwnu@163.com

解的存在性,其中S為Fredholm型積分算子.在非線性項(xiàng)f(t,u,v)滿足較弱的單調(diào)性條件下,建立了上下解定理,然后用該上下解定理,得到了一些存在性結(jié)果.特別在不要求f非負(fù)的一般情形下,用上下解方法獲得了正解的存在性結(jié)果.