考慮電壓約束的分布式電源接入配電網(wǎng)最大準入容量計算方法

劉科研，劉永梅，盛萬興，孟曉麗

（中國電力科學(xué)研究院，北京 100192）

0 引言

分布式電源（DG）的接入給配電網(wǎng)的運行帶來了一系列的影響：一方面它能夠改善網(wǎng)絡(luò)電壓質(zhì)量、降低網(wǎng)絡(luò)損耗；另一方面當(dāng)分布式電源接入滲透率較高時可能會影響網(wǎng)絡(luò)的安全運行。對于分布式電源接入配電網(wǎng)的最大滲透率計算，傳統(tǒng)的研究主要集中在給定分布式電源接入點和接入數(shù)量下分布式電源所能接入網(wǎng)絡(luò)的最大滲透率［1］。這是一個最優(yōu)規(guī)劃問題，所求解的是分布式電源的最優(yōu)接入方式，目標是接入容量最大。這種應(yīng)用場景主要出現(xiàn)在分布式電源即將接入配電網(wǎng)前的規(guī)劃階段。但是如果從配電網(wǎng)的角度來看，在所求解的最大接入容量下，當(dāng)分布式電源接入的位置和容量改變時，無法保證網(wǎng)絡(luò)約束不越限。

因此，在分布式電源接入位置、數(shù)量、容量未知時，評價配電網(wǎng)所能接納的分布式電源最大滲透率就無法采用前面所述的模型和方法求解［2-5］。在這種情況下求解的最大滲透率相對于以分布式電源接入容量最大為目標所求解的最優(yōu)值是一個更為保守的值。因為在該滲透率下，不管分布式電源以何種方式接入均應(yīng)保證網(wǎng)絡(luò)各項約束不越限，而不只是存在某一種接入方式使得約束不越限，因此需要建立一種新的數(shù)學(xué)模型，從配電網(wǎng)側(cè)討論其接納分布式電源的最大滲透率問題。

本文在研究分布式電源接入配電網(wǎng)的最大滲透率時，從配電網(wǎng)側(cè)的角度出發(fā)，在考慮節(jié)點電壓約束的前提下建立了計及負荷不確定性的分布式電源接入配電網(wǎng)最大準入容量的雙層規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，最后給出了求解算法。該問題的求解有助于在分布式電源接入配電網(wǎng)前，對配電網(wǎng)整體的分布式電源接納能力做出評估，在求解得到的最大滲透率下，無論分布式電源接入位置、數(shù)量、容量如何，網(wǎng)絡(luò)均能安全運行。

1 配電網(wǎng)負荷及分布式電源有功出力數(shù)學(xué)特性

1.1 配電網(wǎng)負荷數(shù)學(xué)特性

配電網(wǎng)中的負荷一般具有較強的時序特性，但是從中長期的負荷數(shù)據(jù)來看，配電網(wǎng)負荷的概率分布基本符合正態(tài)分布模型，其正態(tài)密度函數(shù)描述如下［6］：

其中，σS、μS分別為基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的負荷視在功率的方差和均值。在本文中，將負荷的不確定性描述為區(qū)間的形式，即，其中 S和 S分別為負荷某一時段歷史數(shù)據(jù)中的最小值和最大值。在網(wǎng)絡(luò)正常運行時，負荷的取值可能為其區(qū)間中的任意值。

1.2 分布式電源有功出力數(shù)學(xué)特性

目前接入配電網(wǎng)中的分布式電源主要為風(fēng)電機組和光伏機組，二者一次能源均為可再生能源，因此都具有較強的隨機特性。

風(fēng)電機組的風(fēng)輪從風(fēng)中吸收能量并將其轉(zhuǎn)化成電能的數(shù)學(xué)式如下：

其中，Pw為輸出功率；ρair為空氣密度；v為風(fēng)速；R為風(fēng)輪掃風(fēng)面的半徑；Cp為功率系數(shù)。風(fēng)電機組輸出功率與風(fēng)速的三次方成正比，受風(fēng)速影響很大。而風(fēng)速概率分布一般滿足兩參數(shù)Weibull分布的概率密度函數(shù)：

其中，K為形狀參數(shù)，反映風(fēng)速分布的特點；C為尺度參數(shù)，反映該地區(qū)平均風(fēng)速的大小。

太陽能光伏發(fā)電系統(tǒng)主要由太陽能電池方陣、控制器和逆變器組成，其中，太陽能電池方陣是核心部件。太陽能電池方陣的輸出功率為：

太陽光照輻射度r在一定時間段內(nèi)可以近似服從Beta分布，其概率密度函數(shù)為：

其中，rmax為最大輻射度；α、β均為Beta分布形狀參數(shù)。

由式（4）、（5）可得 Psolar的概率密度函數(shù)：

其中，Psolar，max=rmaxAη為太陽能電池方陣最大輸出功率。光伏發(fā)電系統(tǒng)一般只向電網(wǎng)提供有功功率，其無功功率可以不予考慮。

2 分布式電源最大準入容量計算的數(shù)學(xué)模型及求解方法

2.1 分布式電源最大準入容量數(shù)學(xué)模型

本文所提出的最大準入容量并非一般意義上滿足各項約束下所能接入的最大容量。準入容量是指在接入網(wǎng)絡(luò)的分布式電源總?cè)萘啃∮谠撊萘恐禃r，能滿足各分布式電源以任何位置、任何容量接入網(wǎng)絡(luò)均不會造成網(wǎng)絡(luò)約束越限。一般而言，對于特定的網(wǎng)絡(luò)通過其歷史數(shù)據(jù)可以獲得各節(jié)點負荷的分布圖。按前文所述，在這里將負荷的不確定性以變化區(qū)間的形式表示，即認為負荷是在某一區(qū)間隨機變化的。

影響分布式電源接入配電網(wǎng)的因素有多種，本文僅考慮分布式電源接入網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點電壓約束問題，即系統(tǒng)電壓幅值以及線路潮流約束。綜上所述，可以得到計及負荷不確定性及節(jié)點電壓約束的分布式電源最大準入容量的數(shù)學(xué)模型：

其中，M為待確定的準入容量值；分別為節(jié)點i所允許的電壓幅值上限和下限；Ui為節(jié)點i的電壓幅值；分別為節(jié)點i在準入容量下負荷變化時不同分布式電源接入方式所能產(chǎn)生最高電壓幅值和最低電壓幅值；Sij、Pij、Qij分別為 i-j支路上流過的視在功率、有功功率和無功功率；Gij、Bij為節(jié)點導(dǎo)納矩陣中所對應(yīng)的元素。其中的潮流等式約束、負荷區(qū)間約束和分布式電源有功出力約束具體如式（8）所示。

其中，PDG，i、Pd，i、Qd，i分別為節(jié)點 i處所接 DG 有功出力及有功、無功負荷；分別為有功、無功負荷區(qū)間的最小值；分別為有功、無功負荷區(qū)間的最大值。

將式（7）和式（8）模型簡化為式（9）所示的簡單數(shù)學(xué)模型：

其中，x、p、s分別為網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)量、各分布式電源待接入節(jié)點接入的分布式電源有功和各節(jié)點負荷值；為各負荷的區(qū)間，和分別對應(yīng)有功、無功負荷區(qū)間的最小值和最大值；等式約束 f（x，p，s）=0 為潮流方程，g（x）≤0為網(wǎng)絡(luò)的安全約束，包括節(jié)點電壓幅值上下限約束和支路功率約束，C為約束的個數(shù)，j=1，…，C。數(shù)學(xué)模型中不等式約束的物理意義為當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中接入分布式電源有功小于M時，無論負荷在各自區(qū)間怎樣變化，各項約束均不會越限。

通過式（9）所確定的分布式電源最大準入容量具有重要意義，其本質(zhì)是網(wǎng)絡(luò)的最大安全負功率接入量?？紤]到配電網(wǎng)中分布式電源的出力通常是隨機性的，因此不論各分布式電源出力如何變化，接入網(wǎng)絡(luò)的總有功功率總是小于分布式電源總額定容量值。若接入網(wǎng)絡(luò)的分布式電源額定容量總值不超過準入容量值，不論各分布式電源出力隨機性如何，網(wǎng)絡(luò)均處于安全狀態(tài)。所以式（9）實際上也間接地包含了分布式電源出力不確定的情況。

式（9）并非一般的約束優(yōu)化問題，而是屬于雙層優(yōu)化的問題，目前并沒有通用的求解算法［7］，但是對于某些特殊形式的雙層優(yōu)化問題可以通過一系列的變換來尋求求解方法。現(xiàn)構(gòu)造式（10）：

對于式（10），當(dāng)給定m的值時，便可以求出該優(yōu)化問題的最優(yōu)值。式（9）即轉(zhuǎn)變成尋求最大的m，使得 φ（m）≤0。

進一步，式（10）可以分解為如下C個子優(yōu)化問題，其中 j=1，2，…，C：

將第j個子優(yōu)化問題的最優(yōu)值定義為φj（m），則φ（m）=max（φ1（m），…，φC（m））。 若 k 是最大的 φj（m）值對應(yīng)的腳標，則第k個子問題的最優(yōu)解即對應(yīng)著式（10）的最優(yōu)解。這也說明第k個約束是最容易越限的一個約束，對應(yīng)到原電力網(wǎng)絡(luò)為此時網(wǎng)絡(luò)的最薄弱環(huán)節(jié)。

可以證明函數(shù)φ（m）是連續(xù)且單調(diào)遞增的函數(shù)，限于篇幅，證明過程省略。根據(jù)函數(shù)φ（m）的連續(xù)且單調(diào)遞增的特性，原來的式（9）即轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ姚眨╩）=0的解。

為求解方程 φ（m）=0，本文利用函數(shù) φ（m）連續(xù)且遞增的性質(zhì)，采用一種簡單的二分方法來求出m的值。

（1）設(shè)定方程的精度ε（ε為一個較小的正數(shù)）。確定方程解所在的大致區(qū)間［tn，tp］，滿足 φ（tp）≥0，φ（tn）≤0。

（2） 求解 φ（（tn+tp）／2）的值，若求得的值為負則取 tn=（tn+tp）／2；否則取 tp=（tn+tp）／2。

（3） 判斷是否成立，若成立則方程φ（m）=0的解為 m=tn，計算完成；若不成立，則轉(zhuǎn)步驟（2）。

根據(jù)分布式電源接入配電網(wǎng)絡(luò)的實際經(jīng)驗，可以選取初始的。其中為網(wǎng)絡(luò)最大的總有功負荷值，此時各負荷取其變化區(qū)間的最大值，在大多數(shù)電力系統(tǒng)中當(dāng)m取該值時，對應(yīng)的 φ（m）＞0。

2.2 基于信賴域的序列二次規(guī)劃算法

求解約束優(yōu)化問題的常用算法有逐次線性規(guī)劃法［8］、序列二次規(guī)劃法［9-11］、原對偶內(nèi)點法及其改進算法［12-15］等算法，但是各算法都有一定的局限性。本文提出采用基于信賴域思想的序列二次規(guī)劃算法來求解約束優(yōu)化問題，其繼承了傳統(tǒng)序列二次規(guī)劃法收斂速度快的特點，并且加上了信賴域指導(dǎo)的方法來防止因迭代步長過大而導(dǎo)致數(shù)值振蕩甚至不收斂的問題。

2.2.1 信賴域方法的基本原理

信賴域方法的基本思想是：首先給定一個信賴域半徑作為位移長度的上界，并以當(dāng)前迭代點為中心、以此上界為半徑確定一個稱為信賴域的閉球區(qū)域。然后，通過求解該區(qū)域內(nèi)的信賴域子問題（目標函數(shù)的二次近似模型）的最優(yōu)點來確定候選位移。若候選位移能使目標函數(shù)值有充分的下降量，則接受該候選位移作為新的位移，并保持或擴大信賴域半徑,繼續(xù)新的迭代；否則，說明二次模型與目標函數(shù)的近似度不夠理想,需要縮小信賴域半徑，再通過求解新的信賴域內(nèi)的子問題得到新的候選位移。如此重復(fù)下去，直到滿足迭代終止條件。

對于無約束優(yōu)化問題：

設(shè) xk是第 k 次迭代點，記 fk=f（xk），gk=f（xk），Bk=△2f（xk），則第k次迭代步的信賴域子問題具有如下形式：

其中，qk（d）為函數(shù) f（x）在xk處以 d 為步長的預(yù)測增量；Δk為信賴域半徑；‖·‖為任一種向量范數(shù)，通常取2-范數(shù)或∞-范數(shù)。

定義Δfk為f（x）在第k步的實際下降量：

定義Δqk為對應(yīng)的預(yù)測下降量：

定義Δfk和Δqk的比值為：

通常情況下，有 Δqk＞0。 因此，若rk＜0，則 Δfk＜0，xk+dk不能作為下一個迭代點，需要縮小信賴半徑重新求解問題；若rk比較接近于1，說明二次模型與目標函數(shù)在信賴域范圍內(nèi)有很好的相似性，此時xk+1=xk+dk可以作為新的迭代點，同時下一次迭代時可以增大信賴半徑；對于其他情況，信賴半徑可以保持不變。

2.2.2 約束優(yōu)化問題的信賴域序列二次規(guī)劃法

對于約束優(yōu)化問題式（11）可以表述為式（17）：

其中，w 為式（11）中各變量；等式約束 h（w）=0 對應(yīng)潮流方程，不等式約束g（w）≤0對應(yīng)約束不等式。

采用外罰函數(shù)的方法將式（17）改寫為無約束優(yōu)化問題，定義價值函數(shù) Pσ（w）：

其中，σ為約束懲罰系數(shù)，當(dāng)σ足夠大時無約束問題式（18）的解即為約束優(yōu)化問題式（17）的解；g+（w）表示對于約束函數(shù)中的每一項有。令當(dāng)前迭代點為wk，信賴域半徑為Δk，懲罰系數(shù)為σk。則第k次迭代的信賴域內(nèi)子二次規(guī)劃問題模型為：

Bk為原目標函數(shù)的海森矩陣，d為需要求解的本次迭代最優(yōu)步長。由于式（19）中還含有無窮范數(shù)，將式（19）進一步等效為式（20）形式。

其中，θ、δ為人工添加的正變量用以等效無窮范數(shù)形式，事實上式（20）的最優(yōu)解滿足，均為單位列向量，二者行數(shù)分別為等式約束個數(shù)和不等式約束個數(shù)。考慮到實際潮流等式的一階方程組總能有解，因此可以將θ變量去除，將式（20）進一步簡化為如下形式：

求解式（21）得到最優(yōu)步長d后，需要對步長和當(dāng)前信賴域半徑進行判斷。在此定義原目標函數(shù)的二階泰勒展開式Φ（d）為：

定義參數(shù)rk來表征當(dāng)前步長下實際目標函數(shù)改進值和二階模型函數(shù)的改進值的比值：

若rk越接近1，則表明在當(dāng)前步長下，二階模型函數(shù)能夠很好地擬合實際目標函數(shù)，在這種情況下可以接受當(dāng)前步長并增大信賴域半徑和罰參數(shù)；反之則考慮拒絕步長并減小信賴域半徑。參考經(jīng)典無約束優(yōu)化問題的信賴域指導(dǎo)方法，采取如式（24）所示的信賴域指引方法：

其中，分別為預(yù)設(shè)的最大罰參數(shù)和信賴域半徑。若在當(dāng)前迭代點處信賴域內(nèi)，所求解的子二次規(guī)劃問題得到步長矢量的無窮范數(shù)小于設(shè)定的精度值且罰參數(shù)達到指定最大值時，即認為已達到最優(yōu)點。采用式（24）所示的信賴域指導(dǎo)方法能夠自適應(yīng)的調(diào)節(jié)信賴域半徑，以使原優(yōu)化問題快速地收斂至最優(yōu)點。

求解約束優(yōu)化問題的信賴域序列二次規(guī)劃法如圖1所示。

3 分布式電源接入配電網(wǎng)最大準入容量計算流程

綜合前述內(nèi)容，可將分布式電源接入配電網(wǎng)最大準入容量的計算流程歸結(jié)如下。

a.根據(jù)系統(tǒng)各節(jié)點負荷的歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計各節(jié)點負荷有功、無功的波動區(qū)間。

b.令 k=1，設(shè)定和最大準入容量的計算精度 ε。 令 tn=rk，tp=rk+1。

c.令分布式電源準入容量為 M=rk+2=（tn+tp）／2，計算在該準入容量下負荷在其區(qū)間內(nèi)變化時各節(jié)點負荷所能達到的最大和最小值以及各線路輸送功率容量的最大值，即求解式（11）。

d.利用2.2節(jié)所述的信賴域序列二次規(guī)劃法求解式（11）。

e.統(tǒng)計系統(tǒng)約束越限最大值，即對應(yīng)φ（M）=max（φ1（M），…，φC（M）），其中 C 為系統(tǒng)節(jié)點電壓幅值約束和線路輸送容量約束的個數(shù)。

f.若φ（M）＞0則說明在該準入容量下，系統(tǒng)約束可能會越限，應(yīng)降低準入容量值，令tp=M；反之則說明在當(dāng)前準入容量下，系統(tǒng)約束不可能越限，應(yīng)提高準入容量值，令tn=M。

圖1 信賴域序列二次規(guī)劃法Fig.1 Flowchart of trust region sequential quadratic programming algorithm

g.判斷是否成立，若成立則系統(tǒng)分布式電源的最大準入容量值為tn，計算完成；若不成立，則轉(zhuǎn)步驟c。

4 算例分析

本章以IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)為例計算，通過本文提出算法計算該系統(tǒng)接入分布式電源的最大準入容量。設(shè)定系統(tǒng)最高允許電壓幅值為12×1.07=12.84（kV），最低允許電壓幅值為12×0.93=11.16（kV）。對IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)閉合聯(lián)絡(luò)支路前后進行仿真，仿真軟件為MATLAB，對比仿真結(jié)果并對其進行分析。求解最大準入容量的仿真精度為10-3MW。

IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)單線圖如圖2所示，虛線為系統(tǒng)的聯(lián)絡(luò)線。由于本文考慮了負荷的波動特性，因此增加了負荷數(shù)據(jù)的變動區(qū)間，定義了3種負荷區(qū)間類型，系統(tǒng)各節(jié)點負荷區(qū)間類型及區(qū)間最大、最小值（均為標幺值）見表1。

圖2 IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)圖Fig.2 Diagram of IEEE 33-bus system

表1 系統(tǒng)各節(jié)點負荷區(qū)間類型及區(qū)間值Table 1 Load variation types and ranges of system nodes

對開環(huán)的IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)進行仿真并記錄迭代過程，如表2所示。其中，k為迭代次數(shù)；rk為第k次迭代時計算的準入容量值；φ（rk）為準入容量值為rk時的最大約束越限值，若其值小于零則表示該準入容量值下不會出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)安全約束越限，反之則會出現(xiàn)安全約束越限；越限節(jié)點／支路表示在當(dāng)前準入容量下可能會出現(xiàn)越限現(xiàn)象的節(jié)點和支路。

表2 迭代過程數(shù)據(jù)Table2 Data during iterations

表2中+0和-0分別表示大于0和小于0的極小數(shù)，由于精度關(guān)系未在表中具體寫出（表3同）。系統(tǒng)仿真時長為40.8 s，從表2的迭代過程可以看到該系統(tǒng)最大DG準入容量為0.908MW。當(dāng)接入系統(tǒng)中的DG總?cè)萘啃∮?.908MW時，無論系統(tǒng)負荷在其區(qū)間內(nèi)如何變化也無論DG接入方式如何，系統(tǒng)均能運行在安全狀態(tài)。由表2中第8—15行可知，制約DG接入容量的因素主要在于節(jié)點17的電壓幅值。觀察第15次迭代節(jié)點17電壓幅值達到最大值時的其他變量情況，發(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果中負荷均取到最小值，而DG全部接入了節(jié)點17。這表明當(dāng)系統(tǒng)負荷全部處于低谷時，節(jié)點17接入過多的DG會導(dǎo)致該節(jié)點電壓約束首先越限。

對閉合了所有聯(lián)絡(luò)支路的IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)進行仿真，得到如表3所示的迭代過程數(shù)據(jù)。

表3 迭代過程數(shù)據(jù)Table3 Data during iterations

仿真時長為52.0 s，由表3可以看出，IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)閉合聯(lián)絡(luò)線后的DG最大準入容量為0.987MW，比閉合聯(lián)絡(luò)線前系統(tǒng)的最大準入容量增加約10%。另外，與輻射狀的IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)不同的是，系統(tǒng)最薄弱環(huán)節(jié)不再是節(jié)點電壓幅值，而是支路23。增加支路23的線路容量可以增強DG接納能力。將支路23的線路容量提高為一較高值時，如4MV·A，再次對系統(tǒng)進行仿真得到的結(jié)果為1.326MW，此時DG的最大準入容量得到了較大提高。通過本文的算法對系統(tǒng)進行DG最大準入容量仿真能夠在求解過程中發(fā)現(xiàn)制約DG接入的系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)，加以改進能夠提高系統(tǒng)對于DG的接納能力。

另外，對比IEEE 33節(jié)點系統(tǒng)閉合聯(lián)絡(luò)線前后的DG最大準入容量可以發(fā)現(xiàn)，環(huán)網(wǎng)系統(tǒng)由于潮流分布更為均勻，因此具有更強的DG接納能力。

下面分析負荷的波動特性對DG最大準入容量的影響。表1所示的3種負荷區(qū)間特性，分別對應(yīng)配電網(wǎng)負荷峰谷差極大、較大和較小3種情況。分別對3種負荷區(qū)間特性進行仿真，計算3種負荷區(qū)間特性下的DG最大準入容量。

表4所示為環(huán)網(wǎng)下系統(tǒng)所有負荷區(qū)間特性均為表1中的類型1、類型2和類型3時，DG的最大準入容量和系統(tǒng)接入DG的最薄弱環(huán)節(jié)。將系統(tǒng)負荷區(qū)間特性均設(shè)置為類型1時，系統(tǒng)總負荷峰值相對于原系統(tǒng)有了較大的提高，即使沒有DG的接入，系統(tǒng)也將運行在安全約束越限的狀態(tài)。因此進行表4的仿真時，將原系統(tǒng)線路容量均增加了一倍。

由表4可見，在相同網(wǎng)絡(luò)和負荷條件下負荷區(qū)間類型1的DG最大接入容量最小，而負荷區(qū)間類型3的DG最大準入容量最大。這說明負荷的峰谷差較大時，會影響DG的最大接入容量；而負荷變化較為平穩(wěn)時，系統(tǒng)能夠接入更多的DG。

表4 不同負荷區(qū)間特性下的DG最大準入容量Table 4 Maximal allowable DG penetration capacity for different load variation types

5 結(jié)論

本文在考慮配電網(wǎng)負荷區(qū)間特性的基礎(chǔ)上，采用最優(yōu)化問題的形式建立了考慮節(jié)點電壓約束的分布式電源接入配電網(wǎng)的最大準入容量的雙層規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。通過變換將求解雙層規(guī)劃問題變成求解多次單層規(guī)劃的問題，然后提出采用信賴域序列二次規(guī)劃算法來求解變換后的單層規(guī)劃問題。仿真結(jié)果表明本文算法能較好地求解分布式電源接入配電網(wǎng)最大準入容量的問題。采用本文提出算法還能對系統(tǒng)接入分布式電源的薄弱環(huán)節(jié)進行判斷，根據(jù)仿真結(jié)果對系統(tǒng)進行適當(dāng)改良能夠提高系統(tǒng)接納分布式電源的能力。另外，仿真結(jié)果還表明潮流相對均勻的環(huán)網(wǎng)相比輻射網(wǎng)有更強的接納分布式電源能力，負荷峰谷差較小的系統(tǒng)比負荷峰谷差較大的系統(tǒng)具有更強的接納分布式電源能力。

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