計及風速與負荷相關性的配電網重構方法

李春燕，楊 強，魏 蔚，羅洪飛，張 謙

（重慶大學 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室，重慶 400044）

0 引言

配電網通常具有閉環(huán)設計、開環(huán)運行的特點，其上配置了較多分段開關和聯(lián)絡開關等，通過改變這些開關的開、合狀態(tài)可以改變配電網結構。因此，配電網重構就是在滿足系統(tǒng)約束的條件下，通過改變開關的狀態(tài)來改變網絡拓撲結構，從而達到降低網絡損耗、平衡負荷和提高供電可靠性等目的［1］。

近年來，風力發(fā)電作為分布式發(fā)電DG（Distributed Generation）的一種重要形式，技術發(fā)展迅猛，風電機組 WTG（Wind Turbine Generator）接入傳統(tǒng)配電網是配電智能化的發(fā)展趨勢。但WTG出力的隨機性和間歇性，勢必會對配電網系統(tǒng)產生較大影響［2］。

國內外已對含DG的配電網重構展開研究。文獻［3］基于概率模型描述風電隨機出力，根據風速與輸出功率間的關系，將不同功率輸出作為不同場景，通過選擇不同場景建立計及風電出力隨機影響的配電網重構場景模型。文獻［4-6］提出在重構過程中將分布式電源的輸出功率和負荷視為恒定，忽略了DG出力的隨機性特點。這些文獻均基于恒定負荷模型，且未計及風速與負荷相關性的影響。在含WTG的配電網中，風速和負荷受多種氣候因素影響而隨機變化，二者具有一定相關性，并非獨立隨機變量，且這種相關性對配電網潮流和重構的影響不能忽略。

國內外已有一些關于風速與負荷相關性的研究。文獻［7］考慮與負荷相關的溫度變化對風速的影響，對風速進行自回歸滑動平均ARMA（Auto Regression Moving Average）預測，采用非參數(shù)估計的方法得到含溫度參量的時序風速。文獻［8］建立了時序風速-負荷模型，研究風電容量裕度時計及負荷變化的影響。文獻［9］假設風速、負荷均服從正態(tài)分布，通過二者的線性相關系數(shù)，建立了基于二元正態(tài)分布的風速與負荷相關性模型，研究了風速與負荷相關性對配電網可靠性的影響。上述文獻建立的模型精度較差，且鮮有文獻研究風速與負荷相關性對配電網重構的影響。文獻［10］應用Copula理論建立了風電場、光伏電站出力聯(lián)合概率分布模型，沒有分析風速與負荷間的相關性，但可以借鑒該文方法進行變量間相關性的研究。文獻［11］將Copula理論與蒙特卡洛仿真法相結合，提出了一種處理輸入隨機變量相關性的概率潮流計算方法，但沒有分析風速與負荷的相關性對配電網重構的影響。因此，如何在配電網重構中計及風速與負荷相關性的影響，用聯(lián)合分布描述二者的相關性，建立更精確的數(shù)學模型具有重要研究意義。

綜上，本文通過建立基于Copula理論的風速與負荷相關性模型，提出了一種計及二者相關性的配電網重構優(yōu)化方法。

1 基于Copula理論的風速與負荷相關性模型

1.1 Copula理論

傳統(tǒng)相關性模型在應用中存在一定不足：各隨機變量邊緣分布必須相同；只能解決一些特殊的多元分布；基于線性相關系數(shù)進行變換會改變原始樣本的相關結構等［9，12-13］。 而 Copula 函數(shù)理論因其具有很多優(yōu)良的特性，可以解決這一難題。Copula函數(shù)是一類將多元聯(lián)合分布函數(shù)與變量各自的邊緣分布連接在一起的函數(shù)，也稱作連接函數(shù)，它描述了變量間的相關性［14］。

Sklar 定理［15］：令 F（x1，x2，…，xN）為具有邊緣分布 F1（x1）、F2（x2）、…、FN（xN）的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個 Copula函數(shù) C（·，…，·），滿足式（1）：

其中，u1=F1（x1），u2=F2（x2），…，uN=FN（xN）。 若邊緣分布 F1（x1）、F2（x2）、…、FN（xN）連續(xù)，則 Copula 函數(shù) C唯一確定。

Sklar定理是Copula理論的應用基礎。Copula函數(shù)構造相關性模型的優(yōu)點在于不必要求各變量具有相同的邊緣分布，任意邊緣分布經過Copula函數(shù)都可以構造成聯(lián)合分布，而且?guī)缀醪粫淖冊紭颖镜南嚓P結構，這與傳統(tǒng)矩陣變換法和正態(tài)變換法構造相關性模型相比更為精確。

1.2 Copula函數(shù)的選取

常用的 Copula函數(shù)有正態(tài) Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)以及阿基米德Copula函數(shù)等，由于阿基米德Copula函數(shù)具有構造簡單、計算方便等特點，因此本文采用阿基米德Copula函數(shù)來構造風速與負荷的相關性模型。

N元阿基米德Copula函數(shù)的表達式如下［16］：

其中，φ（·）為阿基米德 Copula函數(shù)的生成元（generator），φ-1（·）為生成元的逆函數(shù)。

阿基米德Copula函數(shù)形式由其生成元決定，常用的阿基米德Copula函數(shù)及生成元見表1，表中θ為相應參數(shù)。θ可采用極大似然估計法［17］進行估計。

表1 阿基米德Copula函數(shù)生成元Table1 Generator for three Archimedean Copula functions

要從給定的Copula函數(shù)中選擇出最優(yōu)的一個，需要根據一定的準則進行最優(yōu)選取，也即擬合優(yōu)度評價。有多種方法可以選擇最優(yōu)Copula函數(shù)，應用較多的是采用基于經驗Copula函數(shù)的最短距離法［14］。經驗Copula函數(shù)可表示為：

其中，I（·）為指示函數(shù)，若括號內條件滿足，則I=1，反之 I=0；xki為順序統(tǒng)計量且 1≤i1≤M、1≤i2≤M，M為樣本容量。

經驗與理論Copula函數(shù)之間的歐氏距離為：

依據上述公式的距離大小，選擇具有最短距離的Copula函數(shù)作為最優(yōu)Copula，用于描述風速與負荷隨機變量間的相關結構。

1.3 風速與負荷的相關性建模

1.3.1 風速與負荷邊緣分布

在以往的研究中，風速與負荷的邊緣分布模型主要采用參數(shù)分布，如威布爾分布、瑞利分布和正態(tài)分布等［18］。但是，這些參數(shù)分布模型很難與實際樣本分布精確擬合，因此本文采用經驗分布［19］對樣本數(shù)據進行概率變換，較之參數(shù)分布模型更加精確。

經驗分布函數(shù)的表達式為：

其中，M 為樣本容量；Xi為樣本點；I（Xi≤x0）表示樣本中小于或者等于x0的樣本點個數(shù)。

1.3.2 風力發(fā)電系統(tǒng)隨機模型

風力發(fā)電機的輸出有功功率隨風速的變化而變化，其輸出功率方程為：

1.3.3 風速與負荷相關性模型的仿真

（1）基于Copula函數(shù)的樣本產生。

對于N維相關隨機變量，隨機數(shù)的產生應該由多維隨機變量的聯(lián)合概率分布產生?；贑opula函數(shù)的樣本產生算法有多種［14，20］，本文采用一種基本的抽樣方法，步驟如下。

a.產生N個服從（0，1）均勻分布的獨立隨機數(shù)，即 Z=（z1，z2，z3，…，zN）。

b.根據以下公式生成服從N維Copula函數(shù)的隨機向量U=（u1，u2，u3，…，uN），即uk=C-1（u1，u2，…，uk-1）（zk）（k=1，2，…，N），其中：

其中，vci、vr和vco分別為風力發(fā)電機的切入風速、額定風速和切出風速；Pr為額定功率和k2=-k1vci為系數(shù)。

本文假設風力發(fā)電機能夠按恒定功率因數(shù)運行，因此其無功出力為：

其中，δ為功率因數(shù)角，一般對于并網風力發(fā)電機而言功率因數(shù)角δ位于第四象限，即tan δ為負值，因此并網風力發(fā)電機吸收配電網的無功功率。

c.將生成的隨機數(shù)向量U，根據各個隨機變量各自的邊緣分布Fk（xk）進行逆變換后，可得到滿足式（1）的模擬樣本數(shù)據。

（2）風速與負荷相關性模型的建立步驟如下：

a.由風速x1、負荷x2的歷史統(tǒng)計數(shù)據，得到風速、負荷的邊緣分布 F（x1）、F（x2），其中 ui=Fi（xi）（i=1，2）為各自對應的累積分布函數(shù)值；

b.選擇合適的Copula函數(shù)，本文選取正態(tài)Copula以及3種阿基米德Copula函數(shù)作為風速與負荷相關性模型的備選函數(shù)；

c.利用極大似然估計法，估計各備選Copula函數(shù)中的參數(shù)θ；

d.計算各備選Copula函數(shù)經驗與理論分布的歐氏距離，由最短距離法，從備選Copula中選擇距離最小的Copula函數(shù)作為描述風速與負荷相關性的最優(yōu)函數(shù)；

e.由Copula函數(shù)的抽樣方法，對已經確定的最優(yōu)Copula函數(shù)進行模擬抽樣，生成一定規(guī)模的隨機數(shù)向量 U=（u1，u2）；

f.將生成的隨機數(shù)向量U，根據風速與負荷各自的邊緣分布Fk（xk）進行逆變換后，可得到計及相關性的風速與負荷的模擬樣本數(shù)據。

2 計及風速與負荷相關性的配電網重構

2.1 配電網重構數(shù)學模型

配電網重構通常以降低網絡損耗，提高供電可靠性、電壓質量和平衡負荷等為目標，或是綜合考慮上述多個指標為目標。本文以配電網的有功損耗期望值最小為目標函數(shù)，即：

其中，l為網絡支路數(shù)；ki表示支路i開合狀態(tài)，0表示打開，1表示閉合；ri為支路i電阻；Pi和Qi分別為流過支路i的有功和無功功率；Ui為支路i末端電壓。

另外，配電網重構模型還需滿足一定的約束條件，如潮流約束、輻射狀運行約束、節(jié)點電壓約束和支路容量約束等。

2.2 計及風速與負荷相關性的配電網隨機潮流算法

風力發(fā)電機的輸出功率主要由該時刻的風速決定，由于風速的不確定性，風力發(fā)電機的輸出功率具有隨機性，同時負荷大小在一定時間內也具有波動性。為研究風速、負荷隨機性以及風速與負荷相關性對配電網潮流的影響，基于建立的風速與負荷相關性模型，在蒙特卡洛模擬［21］計算前隨機潮流的基礎上，提出了一種計及風速與負荷相關性的配電網隨機潮流算法，具體算法步驟如下。

a.由最優(yōu)的Copula函數(shù)，產生KN組具有相關性的模擬風速與負荷序列對，由風力發(fā)電出力隨機模型得到風機有功和無功功率。

b.輸入相關數(shù)據，根據蒙特卡洛模擬法計算K次確定性配電網潮流，K

c.判斷隨機潮流計算結果的方差系數(shù)η是否滿足蒙特卡洛模擬收斂條件。若滿足，則停止增加潮流計算樣本數(shù)，繼續(xù)步驟d；若不滿足，置K=K+1，返回步驟b。

d.由計及風速與負荷相關性的配電網潮流計算結果，得到有功損耗、節(jié)點電壓等概率分布情況。

2.3 計及風速與負荷相關性的配電網重構算法

由于配電網具有閉環(huán)設計、開環(huán)運行的特點，傳統(tǒng)的遺傳算法在配電網重構的遺傳操作過程中會產生大量非輻射狀的不可行解。本文采用基于基本回路的遺傳操作方案［22］對配電網進行重構。將配電網中的所有支路閉合，記為圖G，并找出圖G中的所有基本回路。配電網中的支路按圖G中的基本回路按基因塊編碼，不在基本回路內的支路不用編碼。這種編碼方式既能縮短染色體長度，又可以在遺傳操作中避免不可行解的產生。具體算法步驟如下：

a.將配電網各基本回路按基因塊編碼，產生初始種群，使其滿足各基因塊內有且僅有一個0，即各基因塊只有一條打開支路，置進化代數(shù)g=1；

b.由計及風速與負荷相關性的蒙特卡洛配電網隨機潮流算法，計算每個染色體所代表配電網的有功損耗期望值大小，并取其倒數(shù)為適應值函數(shù)，計算每個染色體的適應值；

c.通過輪盤賭選擇函數(shù)，對染色體進行選擇操作；

d.對染色體進行交叉操作，每次交叉操作只將對應基因塊進行交換；

e.對染色體進行變異操作，將某一基因塊中為0的基因位取反變成1，同時將基因塊中為1的某一基因位取反變成0；

f.判斷g是否達到最大進化代數(shù)gmax，若未達到，則置g=g+1，返回步驟b繼續(xù)迭代，直到達到最大進化代數(shù)為止。

具體流程圖如圖1所示。

圖1 計及風速與負荷相關性的配電網重構流程圖Fig.1 Flowchart of DNR considering correlation between wind-speed and load

3 算例分析

3.1 風速與負荷相關性模擬

風速數(shù)據采用加拿大薩斯喀徹溫地區(qū)一年統(tǒng)計風速［23］，負荷數(shù)據采用IEEE-RTS系統(tǒng)時序負荷曲線，分別如圖2和圖3所示（圖3中負荷為標幺值，后同）。設x、y分別表示風速與負荷樣本，則其線性相關系數(shù)ρ計算公式如下：

其中，cov（x，y）為風速與負荷樣本的協(xié)方差；D（x）與D（y）為其方差。

圖2 加拿大薩斯喀徹溫地區(qū)1997年時序風速曲線Fig.2 1997’s sequential wind-speed curve of Saskatchewan，Canada

圖3 IEEE-RTS系統(tǒng)時序負荷曲線Fig.3 Sequential load curve of IEEE-RTS system

經計算風速與負荷樣本的線性相關系數(shù)ρ=0.2007，說明樣本風速與負荷存在弱的正相關性，為了定量刻畫樣本風速與負荷的相關變化情況，需要選擇恰當?shù)腃opula函數(shù)，本文采用以上介紹的3種阿基米德Copula函數(shù)作為備選。

用極大似然估計法對3種阿基米德Copula函數(shù)進行參數(shù)估計，并采用最短距離法進行最優(yōu)Copula函數(shù)的選取。理論分布和經驗分布的歐氏距離見表2。由于Frank Copula的距離最小，因此Frank Copula是最優(yōu)的Copula函數(shù)，本文選擇Frank Copula來描述樣本風速與負荷的相關結構。

表2 參數(shù)估計和歐氏距離Table 2 Parameter estimation and Euclidean distance

3.2 模擬的驗證與對比

為定量和定性地評估采用Copula理論的風速與負荷相關性模型的準確性，分別采用Frank Copula函數(shù)理論與正態(tài)變換法［9］對該系統(tǒng)的風速和負荷進行數(shù)據模擬，模型對比結果如表3所示?？梢姡疚哪Ｐ偷南嚓P系數(shù)為0.2006，其與原始樣本的相關系數(shù)非常接近；風速、負荷均值和標準差比正態(tài)變換法更好，說明采用本文模型進行模擬采樣后的數(shù)據分布特性與樣本數(shù)據的分布特性保持一致。

表3 模型驗證與對比Table 3 Model verification and comparison

圖4和圖5分別為Frank Copula函數(shù)方法和正態(tài)變換法的P-P圖，可以看出Frank Copula函數(shù)所建立的風速-負荷相關性模型與樣本風速-負荷具有相近的聯(lián)合概率分布特性，擬合曲線更加接近直線。由上述結果說明，采用Copula理論進行風速與負荷的相關性建模具有很高的精度。

圖4 Frank Copula函數(shù)理論的P-P圖Fig.4 P-P plot of Frank Copula function theory

圖5 正態(tài)變換理論的P-P圖Fig.5 P-P plot of normal transformation

3.3 計及相關性的配電網隨機潮流和重構結果

采用本文介紹的風速與負荷相關性模型，對美國PG&E69［22］配電網進行測試分析。 PG&E69節(jié)點配電網系統(tǒng)額定電壓為12.66 kV，總的負荷大小為3802.19 kW+2694.60 kvar，共有73條支路，其中有5個聯(lián)絡開關。取平衡節(jié)點電壓為1.05 p.u.，gmax=50，種群數(shù)為100，初始交叉率和變異率分別為0.9和0.1。假設在節(jié)點38和49處各并入額定功率為0.5 MW的風電機組，其切入風速、額定風速和切出風速分別為 3 m/s、13 m/s和 25 m/s，功率因數(shù)為 0.98。

表4所示為7種不同情形下的配電網結構和有功損耗期望值，其中，情形1為無風力發(fā)電，情形2為含風力發(fā)電、忽略風速-負荷相關性，情形3為含風力發(fā)電、風速-負荷部分相關（相關系數(shù)為0.2），情形4為含風力發(fā)電、風速-負荷完全相關（相關系數(shù)為1），情形5為含風力發(fā)電、忽略風速-負荷相關性的網絡重構后，情形6為含風力發(fā)電、風速-負荷部分相關的網絡重構后，情形7為含風力發(fā)電、風速-負荷完全相關的網絡重構后。表5為重構前后的有功損耗期望值對比結果。首先，對比情形1知，風力發(fā)電接入配電網后會降低配電網的有功損耗，有效改善潮流分布，使系統(tǒng)能更經濟地運行；其次，對比情形2—4知，隨著風速與負荷相關性的增強，配電網的有功損耗期望值逐漸降低；情形3與情形2相比，有功損耗期望值降低了1.18 kW（1.11%）；情形4與情形2相比，有功損耗期望值降低了5.60 kW（5.29%）?？梢婏L速與負荷相關性的強弱對配電網有功損耗影響較大，特別是二者相關性較強時，對配電網隨機潮流的影響不能忽略。圖6為情形2—4的配電網有功損耗概率密度曲線，可見風速與負荷相關性的強弱對配電網有功損耗概率分布也有較大影響，當二者相關性增強時，概率分布波動范圍變窄，更加密集。

表4 配電網結構和網絡損耗Table 4 Distribution network structure and power loss

表5 重構前后有功損耗期望值對比Table 5 Comparison between expectation of active power loss before reconfiguration and that after reconfiguration

圖6 情形2—4配電網有功損耗概率密度曲線Fig.6 Probability density curve of active power loss of distribution network in case 2-4

對比重構前的情形2—4與重構后的情形5—7，結果表明配電網重構后其有功損耗期望值較重構前初始網絡有了明顯的降低；由情形5—7可知，風速與負荷的相關性強弱不僅對配電網有功損耗期望值大小有影響，而且當二者相關性較強時也會使配電網重構方案發(fā)生一定變化，情形5、6的聯(lián)絡開關集合為｛10-65，12-19，13-14，44-45，49-50｝，而當風速與負荷完全相關的情形7的聯(lián)絡開關集合為｛10-65，12-19，11-12，44-45，49-50｝。 因此，在對含風力發(fā)電的配電網進行配電網重構時，不能忽略風速-負荷相關性所帶來的結果影響。

圖7、8為風力發(fā)電機接入節(jié)點38的電壓（幅值和相角）概率密度曲線（圖中電壓幅值和相角均為標幺值），表6為其電壓均值和標準差（均為標幺值）?？梢?，風速與負荷相關性的強弱也會對配電網電壓概率分布產生較大影響。情形3與情形2相比，節(jié)點38電壓幅值與相角的均值相同而電壓幅值與相角的標準差分別相差了7.14%與9.52%；情形4與情形2相比，節(jié)點38電壓幅值與相角的均值分別相差了0.01%與33.33%，而其電壓幅值與相角的標準差分別相差了35.71%與38.10%。因此，當風速與負荷相關性較強時，不能忽略對配電網隨機潮流計算所帶來的誤差。

圖7 情形2—4節(jié)點38電壓幅值概率密度曲線Fig.7 Voltage amplitude probability density curve of node 38 in case 2-4

圖8 情形2—4節(jié)點38電壓相角概率密度曲線Fig.8 Voltage phase probability density curve of node 38 in case 2-4

4 結論

Copula函數(shù)描述了隨機變量間的相關結構，是構造多元相關隨機變量聯(lián)合分布的有力工具。本文通過建立基于Copula理論的風速與負荷相關性模型，并選擇最優(yōu)的Frank Copula來描述樣本風速與負荷的相關結構，實驗證明該函數(shù)能夠較好地解決風速與負荷相關性問題。

采用基于基本回路的遺傳操作方案對算例配電網進行重構優(yōu)化，結果表明風速與負荷相關性強弱對配電網隨機潮流和重構方案都有一定的影響。忽略二者相關性的影響，會對配電網隨機潮流計算和重構優(yōu)化方案帶來一定誤差，從而降低對配電網優(yōu)化運行與規(guī)劃的參考價值。

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