一階非周期減弱超二次哈密頓系統(tǒng)同宿軌的存在性和多解性*

楊　賽, 陳文雄

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021)

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一階非周期減弱超二次哈密頓系統(tǒng)同宿軌的存在性和多解性*

楊賽, 陳文雄**

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021)

摘要：利用變分方法中強不定泛函的臨界點理論得到了非周期一階哈密頓系統(tǒng)(t)=JHu(t,u)在減弱的超二次條件下同宿軌的存在性和多解性結(jié)論.

關(guān)鍵詞：一階哈密頓系統(tǒng);臨界點理論;減弱超二次

1基礎(chǔ)知識

主要研究以下非周期超二次的一階哈密頓系統(tǒng)同宿軌的存在性和多解性：

(1)

作為動力系統(tǒng)的一個特殊情況,哈密頓系統(tǒng)在研究氣體動力學(xué)、流體力學(xué)、相對論力學(xué)和核物理中扮演著重要的角色.在過去的幾十年間,一階哈密頓系統(tǒng)同宿軌的存在性和多解性已經(jīng)被廣泛研究.COTI-ZELATI和EKELAND在文獻[1]中首次通過現(xiàn)代變分方法中的臨界點理論證明了在滿足B是常數(shù)矩陣且0?σ(A),W(t,u)滿足凸性條件和Ambrosettti-Rabinowitz超二次條件下，系統(tǒng)(1)同宿軌的存在性.在此之后許多學(xué)者通過改進B和W的假設(shè)條件得到相似結(jié)論.SéRé在文獻[2]研究了更一般化的W的假設(shè)條件;HOFER和WYSOCKI在文獻[3]中利用Fredholm算子和環(huán)繞理論研究了W不含凸性條件的情況;文獻[4-10]則研究了B和W關(guān)于t周期的情況.

當(dāng)沒有周期性假設(shè)條件時,最困難的問題是系統(tǒng)(1)在R上的Sobolev嵌入缺乏緊性.DING和JEANJEAN在文獻[11]中通過控制W的大小在t無窮遠處恢復(fù)緊性的方式得到了系統(tǒng)在非周期漸進二次情況下的同宿軌;DING和LEE在文獻[12]中通過自治極限方程的方法研究了非周期超二次的情況；ZHANG等在文獻[13]中減弱了W的假設(shè)條件.

當(dāng)B是常數(shù)矩陣且0是σ(A)的譜隙上的一個邊界點時,ZHANG等在文獻[14]中通過極限方程的方法研究了當(dāng)W滿足非周期和Ambrosettti-Rabinowitz超二次條件情況下系統(tǒng)(1)同宿軌的存在性和多解性;SUN等在文獻[15]中研究了W非周期漸進二次的情況.但是文獻[14]中W的條件太強,許多函數(shù)無法滿足這個條件,所以此處在此條件下通過減弱W的非周期條件來研究系統(tǒng)(1),假設(shè)條件如下:

(L1) B是一個2N×2N階常數(shù)矩陣,0∈σ(A)，且存在β>0使得(0,β]∩σ(A)=?;

下面是研究的主要結(jié)果:

定理1若假設(shè)條件(L1)(H1)—(H3)成立,則系統(tǒng)(1)有至少一個同宿軌.

標(biāo)注1例1的函數(shù)滿足條件(H1)—(H3).

定理2若(L1)(H1)—(H3)成立,且W(t,u)關(guān)于u是偶的,則系統(tǒng)(1)有無窮多個同宿軌.

2變分框架的設(shè)定

引理1如果(L1)成立,那么σ(A)=σc(A).

證明證明類似參考文獻[4]中的Proposition 2.2.

(2)

證明證明類似參考文獻[4]中的Lemma 2.3.

(3)

證明證明類似參考文獻[15]中的Lemma 2.2.

其中ψ(u)=∫RW(t,u),根據(jù)假設(shè)條件和引理2可知,φ∈C1(E,R),則φ的臨界點即為系統(tǒng)(1)的同宿軌.因此，求系統(tǒng)的同宿軌即轉(zhuǎn)化為求泛函φ(u)的臨界點.

3臨界點理論

假設(shè)X可分自反,S是X*的可數(shù)稠密子集,對任意s∈S,定義E上的一個半范數(shù)為

定義τS為其誘導(dǎo)拓撲,w*為E*上的弱拓撲.假設(shè):

(N0) 對于任意的c∈R,φc是τS閉集,且φ′:(φc,τS)→(E*,w*)是連續(xù)的;

下面的定理分別是T.BARTSCH和DING在文獻[16]中Theorem 4.4 和Theorem 4的特殊情況.

4環(huán)繞結(jié)構(gòu)和(Cc)序列

(4)

(5)

證明根據(jù)引理3和式(5)可知,對所有u∈E+和任意ε>0,有

令ε足夠小,則?ρ>0,κ>0,使得φ(u)|?Bρ∩E+≥0且φ(u)|?Bρ∩E+≥κ.

(6)

(7)

(8)

2) 當(dāng)w+≠0,由式(6)(7)可得

因此存在r>0,使得

(9)

所以：

由式(8)和(9)可知：

結(jié)論得證.

引理7若(H1)—(H3)成立,則任意(Cc)序列有界.

證明令{un}?E2,則有

(10)

則存在常數(shù)c0>0，使得

(11)

(12)

(13)

對?s∈[2,∞),利用H?lder不等式和引理3可知，對?ρ>0,有

(14)

因此:

(15)

(16)

根據(jù)H?lder不等式,式(10)(11)(14)(16)知當(dāng)n→∞時,有

與式(15)矛盾,結(jié)論得證.

引理8在引理7的假設(shè)條件下,φ滿足(Cc)條件.

證明令{un}?E2是(Cc)序列,則只需證明存在收斂子列.由式(4),引理3和引理7，可得

5主要定理的證明

引理9(H1)—(H3)滿足時,φ滿足(N0).

(17)

引理10(H1)—(H3)滿足時,φ滿足(N1).

(18)

(19)

定理1的證明引理9和引理10得到(N0)和(N1),引理4得條件(N2),引理6說明了φ關(guān)于定理3的環(huán)繞結(jié)構(gòu),引理7和引理8說明φ滿足(Cc)條件.所以由定理3可知φ至少有一個臨界點u,使得φ(u)≥κ>0.

參考文獻(References)：

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[16] BARTSCH T,DING Y H.Deformation Theorems on Non-metrizable Vector Spaces and Applications to Critical Point Theory[J].Math Nachr,2006(279):1-22

責(zé)任編輯：李翠薇

Existence and Multiplicity Results for Homoclinic Orbits in First-orderNonperiodic Hamiltonian Systems with Weakened Superquadratic Terms

YANG Sai， CHEN Wen-xiong

(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Fujian Quanzhou 362021,China)

Abstract：Using the critical points theory for strongly indefinite functionals of variational methods,we can get the existence and multiplicity results of homoclinic orbits for the following first-order nonperiodic Hamiltonian systems (t)=JHu(t,u)with weakened superquadratic condition.

Key words：the first-order Hamiltonian system;critical points theory;weakened superquadratic

中圖分類號：O177

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-058X(2016)02-0014-07

作者簡介：楊賽(1992-),男,江西新余人,碩士研究生,從事非線性泛函分析研究.**通訊作者：陳文雄(1982-),男,福建泉州人,講師,從事非線性泛函分析研究.

*基金項目：國家自然科學(xué)基金(11226115).

收稿日期：2015-06-22；修回日期：2015-07-17.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0002.004