具有非線(xiàn)性發(fā)生率的森林火災(zāi)模型閾值分析*

尹禮壽, 張晉珠

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,太原 030008)

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具有非線(xiàn)性發(fā)生率的森林火災(zāi)模型閾值分析*

尹禮壽, 張晉珠

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,太原 030008)

摘要：在具有出生和死亡的一類(lèi)SIS傳染病模型中，考慮了非線(xiàn)性發(fā)生率對(duì)閾值的影響，對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)；主要分析了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中考慮出生及死亡的情形下非線(xiàn)性率對(duì)傳染病閾值的影響；結(jié)果表明：非線(xiàn)性感染力對(duì)傳染閾值有著嚴(yán)重影響，傳染病閾值λc與因病死亡率β有著非常密切的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：死亡率；非線(xiàn)性發(fā)生率；閾值；穩(wěn)定性

利用數(shù)學(xué)模型來(lái)研究傳染病的傳播已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要領(lǐng)域，已經(jīng)取得了許多實(shí)用價(jià)值很高的研究成果[1-3].大部分傳染病模型都假設(shè)種群個(gè)體數(shù)量是常數(shù)N，實(shí)際上有些疾病，出生和死亡(自然死亡、因病死亡等)對(duì)種群個(gè)體數(shù)量的影響是極大的.因此，文獻(xiàn)[1]中提出了具有出生和死亡的傳染病模型，這對(duì)有些疾病的實(shí)際傳播機(jī)制更加貼近，更有實(shí)用價(jià)值.

即使是考慮了出生和死亡的傳染病模型[1]，在對(duì)傳染病閾值的分析計(jì)算中，一般都假設(shè)節(jié)點(diǎn)的發(fā)生率符合“馬太效應(yīng)”，即節(jié)點(diǎn)的度越大，感染其他節(jié)點(diǎn)的概率就越大，但有些疾病的傳播機(jī)制與這種假設(shè)不符合，一個(gè)染病的個(gè)體在單位時(shí)間內(nèi)不可能與其所有的鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行接觸(比如性疾病).因此，提出了非線(xiàn)性發(fā)生率.

1模型介紹

主要在具有出生與死亡的傳染病模型中采用非線(xiàn)性發(fā)生率研究傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài).

所采用的模型中，考慮個(gè)體出生率δ，感染率λ，以及個(gè)體的死亡率.假定個(gè)體因感染疾病死亡的概率為β.假定ρk(t)為度為k的節(jié)點(diǎn)中染病者所占密度、Sk(t)為度為k的節(jié)點(diǎn)中易感者所占密度.

基于上述假設(shè)，具有出生和死亡的傳染病模型(森林模型)為

(1)

其中θ(ρk(t))是指網(wǎng)絡(luò)中任意一個(gè)連接指向一個(gè)感染者個(gè)體的概率.對(duì)于無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)，其具體表達(dá)式為

(2)

式(1)中第一個(gè)方程的首項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)易感者出生的概率，第二項(xiàng)代表感染者個(gè)體傳染易感者個(gè)體的概率，第二個(gè)方程第二項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)感染者個(gè)體因病死亡的概率.

2閾值分析

假設(shè)模型(1)中兩方程式等于零,得模型(1)的線(xiàn)性近似系統(tǒng)為

兩式相加求解得

(3)

(4)

在式(3)(4)的計(jì)算中，不是一般性，假設(shè)δ=1.為得到關(guān)于θ的自適應(yīng)方程，把式(4)代入式(2)中，求解得

(5)

(6)

從式(6)求解得閾值

(7)

從而

(8)

3具有非線(xiàn)性發(fā)生率下的閾值分析

a) 當(dāng)c=1,b=0時(shí)，φ(k)=ak.在此情形下：

c) 當(dāng)0

無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)的度分布又具有冪率分布p(k)～k-γ(2<γ<3)的特征，利用積分連續(xù)逼近∑kp(k)k1+c來(lái)計(jì)算λc，得

4結(jié)論分析

參考文獻(xiàn)(References)：

[1]LIU J Z,TANG Y F,YANG Z R.The Spread of Disease-with Birth and Death on Networks[J].Elsevier Science,2008(9):38-49

[2] 徐芳.具有非線(xiàn)性發(fā)生率的傳染病模型的研究[D].甘肅：蘭州交通大學(xué)，2009

XU F.Research of Epidemic Model with Nonlinear Incidence[D].Gansu Province Lanzhou Jiaotong University,2009

[3] ZHANG H F,FU X C.Spreading of Epidemics on Scalefree Networks with Nonlinear Infectivity[J].Nonlinear Analysis，2008(2):353-367

[4] 張旭.含有非線(xiàn)性發(fā)生率和治療項(xiàng)的傳染病模型[D].重慶：西南大學(xué)，2008

ZHANG X.Epidemic Model with Nonlinear Incidence and Treatment of Items[D].Chongqing:Southwest University,2008

[5] 艾霜.含有時(shí)滯的不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非線(xiàn)性干擾下的指數(shù)同步[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015(9)：24-29

AI S.Exponential Synchronization of Delayed Neural Networks with Discontinuous Activations and Nolinear Perturbation[J]. Chongqing Technology and Business University (Natural Science), 2015(9)：24-29

責(zé)任編輯：田靜

Analysis of Threshold Value of Forest Fire Disaster Modelwith Nonlinear Incidence Rate

YIN Li-shou, ZHANG Jin-zhu

(Department of Science, Taiyuan College of Technology, Shanxi Taiyuan 030008, China)

Abstract：In a class of SIS epidemic model with birth and death, this paper considers the impact of nonlinear incidence rate on threshold value, improves the model, and mainly analyzes the influence of nonlinear rate on the epidemic threshold value based on considering the situation of the birth and death in complex network. Results show that nonlinear infectivity has severe effect on epidemic threshold value and that there is very close relation between epidemic threshold value λc and the death rate β with disease.

Key words：death rate; nonlinear incidence rate; threshold value; stability

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-058X(2016)02-0005-03

作者簡(jiǎn)介：尹禮壽(1982-)，男，山西盂縣人，講師，碩士研究生，從事傳染病的數(shù)學(xué)建模與動(dòng)力學(xué)分析理論研究.

*基金項(xiàng)目：山西省教育廳科技研發(fā)基金項(xiàng)目(20091041)；太原工業(yè)學(xué)院理科重點(diǎn)基金項(xiàng)目(2009LZ02).

收稿日期：2015-10-01；修回日期：2015-11-04.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0002.002