具時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)和非線性發(fā)生率的SIS模型*

童姍姍， 仝云旭

(南陽理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 南陽 473000)

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具時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)和非線性發(fā)生率的SIS模型*

童姍姍， 仝云旭

(南陽理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 南陽 473000)

摘要：研究了一類具有時(shí)滯、階段結(jié)構(gòu)和非線性發(fā)生率的SIS傳染病模型；討論了平衡點(diǎn)的存在性，并利用Routh-Hurwits判據(jù)和超越函數(shù)零點(diǎn)判別法探究了平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性,給出了此類傳染病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性的判定定理，結(jié)論為衛(wèi)生部門的疾病防控工作提供了一定的理論支持.

關(guān)鍵詞：時(shí)滯；階段結(jié)構(gòu)；非線性發(fā)生率；局部漸近穩(wěn)定性

種群的增長(zhǎng)都有成長(zhǎng)發(fā)育的過程，不同年齡階段的種群表現(xiàn)不同的特征，因此考慮具有年齡階段的傳染病模型更具有實(shí)際意義[1].近些年來，已有許多學(xué)者研究了具有年齡階段的傳染病模型，文獻(xiàn)[2-4]討論了具有階段結(jié)構(gòu)和分布時(shí)滯的傳染病模型,文獻(xiàn)[5-7]研究了具有階段結(jié)構(gòu)和非線性發(fā)生率的傳染病模型.

研究一類種群具有恢復(fù)期時(shí)滯、兩個(gè)階段結(jié)構(gòu)和非線性發(fā)生率的SIS傳染病模型.

假設(shè)傳染病僅在成年階段傳播，幼年階段不會(huì)感染此類傳染病，把成年階段分為易感染者和染病者兩類，考慮非線性傳染率，建立如下SIS傳染病數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中X(t),S(t),I(t)分別表示t時(shí)刻幼年個(gè)體的數(shù)目、成年易感者的數(shù)目、成年感染者的數(shù)目，a表示種群的出生率，r表示種群幼年個(gè)體的自然死亡率，b表示幼年個(gè)體的成熟率，δ表示成年個(gè)體的自然死亡率，βI(t)S2(t)表示疾病的發(fā)生率，d表示感染者的死亡率，d=δ+ε，ε表示感染者的因病死亡率，α表示感染者的恢復(fù)率，τ≥0為恢復(fù)期時(shí)滯，根據(jù)生態(tài)學(xué)意義，a、r、b、δ、A、β、d、ε、α都為正常數(shù).

1平衡點(diǎn)的存在性

令方程組右端為零，可得

解得系統(tǒng)(1)在G內(nèi)有平凡平衡點(diǎn)E0(0,0,0).當(dāng)ab-δ(b+r)>0時(shí)式(1)在G內(nèi)有唯一疾病平衡點(diǎn)E*(X*,S*,I*).

其中

為討論方便記

2平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[8-9]

定理1當(dāng)m>0時(shí)，平衡點(diǎn)E0(0,0,0)不穩(wěn)定;當(dāng)m<0時(shí)，E0(0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的.

證：系統(tǒng)在E0(0,0,0)處的雅可比行列式為

特征方程為

(2)

對(duì)于超越方程

假設(shè)其至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)部的根u+iv(u>0)，代入得

分離實(shí)部虛部得

這與假設(shè)矛盾.故超越方程的根都具有負(fù)實(shí)部.

對(duì)于方程

(3)

令

則有

當(dāng)m>0時(shí)p>0,q<0,Δ>0，方程(3)有一負(fù)實(shí)部特征根和一正實(shí)部特征根，即特征方程(2)有一正實(shí)部特征根，E0(0,0,0)不穩(wěn)定;

當(dāng)m<0時(shí)p>0,q>0,Δ>0，方程(3)有兩負(fù)實(shí)部特征根，此時(shí)特征方程(2)的特征根均具有負(fù)實(shí)部，E0(0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

定理2當(dāng)m>0時(shí)，即E*(X*,S*,I*)存在時(shí)，若滿足

則對(duì)任意的滯后時(shí)間λ≥0，系統(tǒng)(1)的疾病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

證：為求E*(X*,S*,I*)的近似線性，作x=X-X*,s=S-S*,i=I-I*,為敘述方便，仍用X,S,I記x,s,i，得系統(tǒng)(1)在E*(X*,S*,I*)處的近似線性系統(tǒng)為

特征矩陣為

特征方程為

(4)

其中：

當(dāng)τ=0時(shí)，特征方程式(4)變?yōu)?/p>

(5)

由于

由Routh-Hurwits判據(jù)知方程(5)的根均具有負(fù)實(shí)部，即當(dāng)τ=0時(shí)，疾病平衡點(diǎn)E*(X*,S*,I*)局部漸近穩(wěn)定.

假設(shè)存在τ>0使特征方程(4)有純虛根λ=±iω(ω>0),代入特征方程(4)中可以得到

分離實(shí)部和虛部得到

(6)

(7)

式(6)和式(7)兩邊同時(shí)平方得到

令ω2=μ，則得到

令

(2βS*I*+b+r+δ-α)2-2[2βS*I*(b+d+r)+δ(b+r)-ab-α(b+r+δ)]-α2=

(2βS*I*+b+r+δ)2-2α(2βS*I*+b+r+δ)+α2-4βS*I*(b+r+d)+2[ab-δ(b+r)]+2α(b+r+δ)-α2=

2[ab-δ(b+r)]+(b+r+δ)2+4β2S*2I*2+4βS*I*(δ-α-d)=

2[ab-δ(b+r)]+(2βS*I*+δ-α-d)2+(b+r+d+α)(b+r+2δ-α-d)=

2[ab-δ(b+r)]+(2βS*I*+δ-α-d)2+(b+r+d+α)(l-ε-α) > 0

[2βS*I*(b+d+r)+δ(b+r)-ab-α(b+r+δ)]2+2α[αδ(b+r)-αab]+2(2βS*I*+b+r+δ-α)

[(b+r)(2dβS*I*-αδ)+αab]-[α(b+r+δ)]2=

4β2S*2I*2(b+r+d)2+[ab-δ(b+r)]2-4βS*I*α(b+r+d)(b+r+δ)+2α[ab-δ(b+r)](b+r+δ-α)-4βS*I*α[ab-δ(b+r)]+2[ab-δ(b+r)](2d+3α)(2βS*I*+b+r+δ-α) > 4βS*I*(b+r+d)2(βS*I*-α)+[ab-δ(b+r)][ab-δ(b+r)-4βS*I*α-2(2d+3α)(2βS*I*+b+r+δ-α)]=

4βS*I*(b+r+d)2(n-α)+m[m-4nα-2(2d+3α)(2n+l-α)] > 0

(p0+q0)[(b+r)(2βS*I*d-αδ)+αab-αδ(b+r)+αab]=

2(p0+q0)[αab+(b+r)(βS*I*d-αδ)]=

2(p0+q0){αab-αδ(b+r)+(d+α)[ab-αδ(b+r)]}=

2(p0+q0)(d+2α)[ab-δ(b+r)]=2m(p0+q0)(d+2α)>0

綜上有g(shù)(μ)>0,與g(μ)=0矛盾.故此時(shí)，特征方程(4)沒有純虛根，方程(4)的根皆具有負(fù)實(shí)部.故當(dāng)滿足條件H1,H2時(shí),對(duì)任意的滯后時(shí)間τ>0系統(tǒng)的疾病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

3結(jié)論

利用Routh-Hurwits判據(jù)和超越函數(shù)零點(diǎn)判別法分別討論了平凡平衡點(diǎn)與疾病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性的充分條件,從而給出了此類傳染病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性的判定定理，為人類研究疾病的傳播提供了一定的理論依據(jù).

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責(zé)任編輯：田靜

SIS Epidemic Model with Time Delay，Stage-structrue and Nonlinear Incidence

TONG Shan-shan, TONG Yun-xu

(College of Mathematics and Physics,Nanyang Institute of Technology,Henan Nanyang 473004,China)

Abstract：A class of an SIS epidemic model with delay，stage-structure and nonlinear incidence is established and analyzed. The existence of equilibrium points is discussed and its local asymptotic stability of equilibrium is discussed by the Routh-Hurwits and transcendental function zero distinction. Furthermore,the determinating theorem for the local asymptotic stability of this class of the epidemic is given, the conclusion provides some theoretical support for the disease control and prevention in the health sector.

Key words：delay; stage-structure; nonlinear incidence; local asymptotic stability

中圖分類號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-058X(2016)02-0001-04

作者簡(jiǎn)介：童姍姍(1986-)，女，河南南陽人，助教，碩士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)模型與微分方程研究.

*基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014JM1019)；陜西省教育廳科研基金項(xiàng)目(14JK1225).

收稿日期：2015-09-26；修回日期：2015-11-28.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0002.001