帶有彈性聯(lián)軸器的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨機(jī)非線(xiàn)性分析

付宗濤溫建明

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

帶有彈性聯(lián)軸器的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨機(jī)非線(xiàn)性分析

付宗濤?溫建明

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

帶有彈性聯(lián)軸器的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，彈性聯(lián)軸器的非線(xiàn)性恢復(fù)力函數(shù)和阻尼力函數(shù)均是頻率和振幅的函數(shù)，在受到隨機(jī)激勵(lì)作用下形成了一類(lèi)非線(xiàn)性隨機(jī)系統(tǒng).文中應(yīng)用基于高斯勒讓德積分的路徑積分法計(jì)算此傳動(dòng)系統(tǒng)的位移-速度概率密度，并給出一些特定時(shí)刻的概率密度分布.最后，分析邊界外概率丟失的問(wèn)題，提出相應(yīng)的解決方案.

路徑積分法， 高斯勒讓德積分， 高斯激勵(lì)， 跡法， 概率丟失

引言

在研究隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)，常借助FPK方程.受高斯白噪聲激勵(lì)的線(xiàn)性或非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的響應(yīng)可用Markov過(guò)程描述，而響應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度則由FPK方程所確定［1］.實(shí)際上，只有少數(shù)特殊的FPK方程才能得到其精確平穩(wěn)解［2］.常用的近似方法主要有隨機(jī)平均法、正交函數(shù)展開(kāi)法等，但是它們不能完全適用于本質(zhì)非線(xiàn)性，因此如何構(gòu)造高效地求解適用于本質(zhì)非線(xiàn)性的FPK方程的數(shù)值方法備受關(guān)注.目前，求解FPK方程的數(shù)值方法包括有限元法、路徑積分法、變分法等［3-4］.

路徑積分法是最早由Feynman提出的用于解決量子力學(xué)問(wèn)題的一種新的泛函積分表述.路徑積分的基本思想是在空間和時(shí)間上分別離散化，以路徑和代替積分，即通過(guò)連接短時(shí)轉(zhuǎn)移概率密度形成全局轉(zhuǎn)移概率密度，得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).Wehner和Wolfer［5］最早提出基于路徑積分的數(shù)值方法來(lái)求解具有自然邊界條件的FPK方程.Yu等［6］提出了基于高斯勒讓德公式的路徑積分法，提高了概率密度計(jì)算精度.路徑積分法在非線(xiàn)性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究中得到大量應(yīng)用.Yim和Lin［7］計(jì)算了甲板上浪作用下的船舶傾覆模型的概率密度，并借助概率密度分析了混沌運(yùn)動(dòng).王迎光和譚家華［8］利用基于隱式高斯勒讓德插值的路徑積分法計(jì)算了一強(qiáng)非線(xiàn)性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì).

本文基于已有的實(shí)驗(yàn)研究成果［9］，對(duì)帶有彈性聯(lián)軸器的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)研究.在確定性系統(tǒng)中，聯(lián)軸器的恢復(fù)力是基于跡法模型擬合而得，是位移的三次函數(shù)，一次項(xiàng)和三次項(xiàng)的系數(shù)均是振幅和頻率的函數(shù)；阻尼力是基于能量損耗相等的線(xiàn)性阻尼而得，是速度的一次函數(shù)，其系數(shù)也是振幅和頻率的函數(shù).在研究隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)，仍然采用這種模型，只在外激勵(lì)項(xiàng)中添加隨機(jī)成分.由于隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)雜性，在研究過(guò)程中采用了一些簡(jiǎn)化措施，將隨機(jī)非線(xiàn)性模型中位移和速度的系數(shù)根據(jù)確定性系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)變?yōu)槌?shù).本文得到此傳動(dòng)系統(tǒng)的位移-速度概率密度，并給出了一些特定時(shí)刻的概率密度分布.最后，分析邊界外概率丟失的問(wèn)題，提出相應(yīng)的解決方案.

1 兩轉(zhuǎn)子軸系傳動(dòng)系統(tǒng)

1.1 確定性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

針對(duì)兩轉(zhuǎn)子軸系來(lái)建立動(dòng)力方程，設(shè)主動(dòng)端（功率輸入端）的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1，在穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)下以角位移x1＝ω1t+a0cos（ωt），經(jīng)聯(lián)軸器帶動(dòng)從動(dòng)端（J2），橡膠彈性元件的壓縮量為x，則從動(dòng)端轉(zhuǎn)角為x2＝x1-x，從動(dòng)端受阻力為M2.對(duì)轉(zhuǎn)子J2有動(dòng)力學(xué)方程

其中，A是振幅，ω是外激勵(lì)頻率，

整理得

考慮上式右端為單頻激勵(lì)的情況，即假設(shè)M2為ω角頻率的周期激勵(lì).不妨設(shè)上式右端為M′0cos（ωt），得到

上式即為聯(lián)軸器兩轉(zhuǎn)子軸系確定性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

圖1 彈性聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)的兩轉(zhuǎn)子軸系示意圖Fig.1 Diagram of double rotor shafting system with flexible couplings

1.2 隨機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

針對(duì)式（3），假設(shè)右端附加強(qiáng)度為σ的高斯白噪聲激勵(lì)

其中ξt是單位功率高斯白噪聲.上式即為聯(lián)軸器兩轉(zhuǎn)子軸系受隨機(jī)激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)方程.需要注意的是，式（4）中的K1，K3，C均是式（3）確定性系統(tǒng)中的值.

2 隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量求解

式（4）是一個(gè)諧和激勵(lì)與高斯白噪聲激勵(lì)作用下的非線(xiàn)性Duffing-Rayleigh振子，它的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量可以利用路徑積分法進(jìn)行求解，求解過(guò)程計(jì)算量較小，結(jié)果的精度較高［10］.

2.1 Duffing-Rayleigh振子的路徑積分解

考慮如下諧和激勵(lì)與高斯白噪聲激勵(lì)作用下的非線(xiàn)性Duffing-Rayleigh振子

其中ω1是固有頻率，γ是線(xiàn)性阻尼系數(shù)，β和ε是非線(xiàn)性參數(shù)，σ1和ω分別表示正弦激勵(lì)的強(qiáng)度和頻率，白噪聲ξt的強(qiáng)度為σ2.相應(yīng)地導(dǎo)出響應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度Q的FPK方程

其中mij＝E［xi˙xj］（i，j＝0，1，2）.對(duì)于二維情形，隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的短時(shí)轉(zhuǎn)移概率密度表達(dá)式為

其中，

對(duì)于概率密度的二維二點(diǎn)高斯積分，在已知第（i-1）時(shí)刻的每個(gè)高斯積分點(diǎn)處的概率密度及相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度時(shí)，借助離散化的概率密度表達(dá)式可得第i時(shí)刻任意點(diǎn)處的概率密度：

其中，m＝1，2，…，K，n＝1，2，…，Lk，K是子區(qū)間數(shù)，Lk是第k子區(qū)間的高斯積分點(diǎn)數(shù)，此處為4，Ak是第k子區(qū)間的面積，xkl是高斯積分點(diǎn)，ckl是相應(yīng)的權(quán)重.

圖2 瞬態(tài)概率分布Fig.2 Distribution of transient probability

2.2 傳動(dòng)系統(tǒng)速度-位移概率密度的路徑積分解

根據(jù)已有的確定性系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［9］，對(duì)于式（4），取J2＝0.25N·m·s2，M′0＝80N·m，ω＝94.25，A＝1.778×10-2，σ＝13.將剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)處理為對(duì)應(yīng)的確定性系統(tǒng)的數(shù)值，那么K1＝4.66×103，K3＝3.16×107，C＝145.11.考察位移的范圍為-0.075～0.075（rad），速度的范圍為-10～10（rad/s），并分割為50×50個(gè)子區(qū)間，子區(qū)間內(nèi)為二維二點(diǎn)高斯積分，時(shí)間步長(zhǎng)Δt＝T/4.初始分布為

其中，μ1＝-0.03，μ2＝-4，s1＝0.0004，s2＝6.

圖3 穩(wěn)態(tài)概率分布（第26個(gè)周期）Fig.3 Distribution of stationary probability（the 26thcycle）

通過(guò)利用式（7）（8）（9），可以得到時(shí)間步長(zhǎng)為T(mén)/4的所有時(shí)刻的概率密度.圖2、圖3表明本系統(tǒng)是單峰穩(wěn)定的，不具有多穩(wěn)定周期解情況下的響應(yīng)跳躍現(xiàn)象.

2.3 概率丟失問(wèn)題及修正方法

對(duì)于式（9），由于并不是［-∞，∞］×［-∞，∞］的全范圍積分，而是［-0.075，0.075］×［-10，10］區(qū)域范圍內(nèi)的高斯勒讓德積分，區(qū)域外的概率丟失，故每迭代求解一次概率密度，區(qū)間內(nèi)總體概率都會(huì)減小.對(duì)于圖2（a），區(qū)域內(nèi)概率為0.9808；對(duì)于圖3（d），區(qū)域內(nèi)概率為0.8135.可見(jiàn)，概率損失比較嚴(yán)重.如果選擇更大的區(qū)間，為了保持精度，需要?jiǎng)澐指嗑W(wǎng)格，計(jì)算量大.考慮到本系統(tǒng)是穩(wěn)定的，區(qū)域外的概率會(huì)回歸到區(qū)域內(nèi)，將子區(qū)間高斯積分點(diǎn)及中心的概率密度作如下簡(jiǎn)單修正處理：

其中，腳標(biāo)c表示區(qū)間內(nèi)高斯積分點(diǎn)或者中心，以區(qū)別式（9）中的腳標(biāo)l.修正后的穩(wěn)態(tài)概率分布見(jiàn)于圖4（a），對(duì)應(yīng)圖3（d）時(shí)刻.為了考察修正前后概率分布形狀的變化，采用指標(biāo)diff作為參考標(biāo)準(zhǔn).

圖4 修正處理對(duì)概率分布的影響Fig.4 The influence of improvement on the probability distribution

其中，腳標(biāo)prov表示修正后，腳標(biāo)C表示子區(qū)間中心.diff計(jì)算的結(jié)果為1.3533×10-11，具體到每個(gè)子區(qū)間的相差分布見(jiàn)于圖4（b）.可見(jiàn)，修正措施對(duì)概率分布的形狀影響極小，是一種可行的方案.需要強(qiáng)調(diào)的是，這種修正適合所選區(qū)域范圍包含全部穩(wěn)定點(diǎn)的情況，否則將得到錯(cuò)誤的概率分布.

3 結(jié)論

本文根據(jù)已有彈性聯(lián)軸器扭振實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和基于跡法的聯(lián)軸器動(dòng)力學(xué)模型，建立了由彈性聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)的兩轉(zhuǎn)子軸系齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型.針對(duì)該模型，采用基于高斯勒讓德積分的路徑積分法計(jì)算速度和位移的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)，給出了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)的部分時(shí)刻的位移-速度概率分布.最后，本文分析了邊界外概率丟失的問(wèn)題，提出相應(yīng)的修正方案，并對(duì)比修正前后穩(wěn)態(tài)概率分布形狀，發(fā)現(xiàn)修正對(duì)概率分布形狀影響極小，說(shuō)明了修正方案的合理性.

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RESEARCH ON STOCHASTIC NONLINEAR BEHAVIOR OF A GEAR SYSTEM W ITH FLEXIBLE COUPLINGS

Fu Zongtao?Wen Jianming
（School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，No.1239 Siping Road，Shanghai 200092，China）

For the gear system with flexible couplings，the nonlinear elastic force and damping force are both the functions of displacement and velocity.A nonlinear stochastic system is generated under the excitation of stochastic force.The path integralmethod based on Gauss-Legendre integral is applied to calculate the joint probability density of displacement and velocity responses.Moreover，the distributions of probability density at some special time points are given.In the end，the problem of probability loss is analyzed，and a feasiblemeasure to dealwith it is also put forward.

path integralmethod， Gauss-Legendre integral， Gauss white noise excitation， polynomial approximation， probability loss

10.6052/1672-6553-2016-005

2015-08-24收到第1稿，2015-12-16收到修改稿.

?通訊作者E-mail：1334014＠#edu.cn

Received 24 August2015，revised 16 December 2015.

?Corresponding author E-mail：1334014＠#edu.cn