激勵(lì)對(duì)柔性結(jié)構(gòu)上設(shè)備振動(dòng)傳遞率的影響

黃　瑞，戴世群，鄭繼周，2( .山東農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)械與電子工程學(xué)院，山東泰安27000；2.山東省園藝機(jī)械與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東泰安27000)

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激勵(lì)對(duì)柔性結(jié)構(gòu)上設(shè)備振動(dòng)傳遞率的影響

黃瑞1，戴世群1，鄭繼周1，2
( 1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)械與電子工程學(xué)院，山東泰安271000；2.山東省園藝機(jī)械與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東泰安271000)

摘要：對(duì)機(jī)載儀器設(shè)備進(jìn)行振動(dòng)控制是提高其精度和壽命的重要手段。發(fā)動(dòng)機(jī)、其它設(shè)備或者外部環(huán)境振動(dòng)通過機(jī)體結(jié)構(gòu)傳遞到機(jī)載設(shè)備。從這一實(shí)際出發(fā)，將機(jī)體結(jié)構(gòu)建模為彈性梁，認(rèn)為外部激勵(lì)直接作用于梁結(jié)構(gòu)，并通過隔振器傳遞到機(jī)載設(shè)備。運(yùn)用子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法建立基礎(chǔ)-隔振器-剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)出由基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)通過隔振器傳遞到機(jī)器設(shè)備的速度傳遞率表達(dá)式，分析速度傳遞率隨激勵(lì)頻率和激勵(lì)施加位置變化規(guī)律，并通過試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，基礎(chǔ)梁的橫向共振是導(dǎo)致傳遞率增大的主要原因；相對(duì)于基礎(chǔ)梁非對(duì)稱激勵(lì)能激發(fā)更多基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)彎曲共振模態(tài)；高頻激勵(lì)會(huì)引起隔振器縱向與彎曲共振產(chǎn)生駐波效應(yīng)；推導(dǎo)出公式在100 Hz～1 000 Hz之間能夠比較準(zhǔn)確地反映傳遞率的變化。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；傳遞率；被動(dòng)隔振；柔性結(jié)構(gòu)

在各種機(jī)械中，內(nèi)燃機(jī)、電動(dòng)機(jī)等動(dòng)力機(jī)械的振動(dòng)是機(jī)體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的重要來源。因此，一般將這些設(shè)備作為振源，同時(shí)考慮基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行研究[1–3]。然而，隨著技術(shù)（特別是信息技術(shù)）的不斷發(fā)展，結(jié)構(gòu)上往往安裝了大量傳感器、控制器等電子設(shè)備。這些機(jī)載設(shè)備的精度和壽命等均嚴(yán)重依賴于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。因此，從基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)向這些設(shè)備傳遞的振動(dòng)已經(jīng)越來越引起重視[4–7]。

考慮到機(jī)載設(shè)備一般連接到彈性梁或者板上，結(jié)構(gòu)具有較大柔度，因此基礎(chǔ)用彈性梁近似。不同的機(jī)載設(shè)備，其動(dòng)態(tài)特性差別很大。此處不予區(qū)分，用剛體表示。這樣，整個(gè)系統(tǒng)可劃分為基礎(chǔ)（彈性結(jié)構(gòu)）、隔振器和設(shè)備（剛體）三個(gè)部分。利用導(dǎo)納的概念，并結(jié)合子結(jié)構(gòu)法，建立柔性基礎(chǔ)-隔振器-剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)出由基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)通過隔振器傳遞到機(jī)器設(shè)備的傳遞率表達(dá)式。通過改變激勵(lì)頻率和施加位置等參數(shù)，獲得不同條件下傳遞率模擬曲線，并用試驗(yàn)的方式進(jìn)行驗(yàn)證。

1　系統(tǒng)模型

將基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)等效為固支梁A，由2個(gè)橡膠隔振器組成的彈性支撐等效為B，安裝在彈性支撐上需要減振的設(shè)備等效為C，建立圖1所示的隔振系統(tǒng)模型。圖中，F(xiàn)I、VI分別為施加于固支梁子系統(tǒng)的激勵(lì)力和相應(yīng)的速度響應(yīng)矢量；Fo、Vo分別為設(shè)備的響應(yīng)力和速度響應(yīng)矢量。

圖1　隔振系統(tǒng)示意圖

2　理論分析

為便于分析，將基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)、隔振器和機(jī)器設(shè)備沿接觸面處進(jìn)行分離，對(duì)各子系統(tǒng)進(jìn)行導(dǎo)納/阻抗分析，從而確定整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。圖3所示為固支梁、隔振器和機(jī)器設(shè)備的激勵(lì)和響應(yīng)示意圖。以固支梁的左端面為原點(diǎn)，向右為x軸正方向，建立一維坐標(biāo)系。固支梁的長度為l，兩個(gè)隔振器到剛體質(zhì)心的距離分別為b1、b2。為改變激勵(lì)施加位置，設(shè)參數(shù)μ∈(0,1)，則激勵(lì)的位置可表示為μl，隔振器的位置分別為

2.1基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)

基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的受力示意圖見圖3(a)，其中，F(xiàn)I，VI分別為輸入基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的廣義激振力矢量和廣義速度響應(yīng)矢量分別為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)在2個(gè)耦合接點(diǎn)處的廣義力矢量和廣義速度響應(yīng)矢量。對(duì)于基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，上述各物理量之間的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式為

基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納矩陣A可由模態(tài)分析法確定，其導(dǎo)納矩陣元素Aij（i,j=1,2）可表示為

此處，導(dǎo)納矩陣Aij的各元素為

圖3　各子結(jié)構(gòu)激勵(lì)和響應(yīng)示意圖

2.2隔振器子系統(tǒng)

為簡化分析，將隔振器視為無質(zhì)量的一維振動(dòng)系統(tǒng)，建立以隔振器傳遞矩陣表示的關(guān)系式

當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)低于隔振器的最低波動(dòng)頻率時(shí)，可以將隔振器簡化為復(fù)剛度表示的簡單彈簧，由此可得傳遞矩陣的各元素Bij為

2.3設(shè)備子系統(tǒng)

一般而言，被減振設(shè)備的固有頻率遠(yuǎn)大于激勵(lì)頻率，因而可以將其視為剛性。根據(jù)動(dòng)力學(xué)定理以及結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系，建立描述剛體子結(jié)構(gòu)在隔振器耦合力作用下的平移與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程，并以導(dǎo)納矩陣形式表示為

其中Fc、Vc為隔振器子系統(tǒng)通過2個(gè)耦合接點(diǎn)向剛體輸入的廣義力矢量和廣義速度響應(yīng)矢量；Fo、Vo為剛體質(zhì)心位置輸出的廣義激振力矢量和廣義速度響應(yīng)矢量。由于剛體對(duì)外的作用力為0，所以Fo=0。導(dǎo)納矩陣各元素Cij可由剛體運(yùn)動(dòng)微分方程求得

其中m、J分別為剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.4系統(tǒng)速度傳遞率

當(dāng)不考慮隔振器的質(zhì)量時(shí)，隔振器兩端的力相等，即Fa=Fb=Fc=Ft。以作用于彈性梁的速度作為激勵(lì)，以剛體質(zhì)心速度作為輸出，綜合以上各式，可得速度傳遞率

其中，上標(biāo)- 1表示矩陣的逆。

3　仿真與試驗(yàn)

3.1系統(tǒng)及參數(shù)

傳遞率表達(dá)式及各矩陣元素中包含基礎(chǔ)梁、隔振器和設(shè)備的幾何尺寸、物理屬性（彈性模量、密度、損耗因子）等參數(shù)。通過改變這些參數(shù)，可以對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)傳遞情況進(jìn)行詳盡研究，從而為隔振設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和技術(shù)支持。篇幅所限，同時(shí)也便于試驗(yàn)驗(yàn)證，僅給出激勵(lì)頻率和激勵(lì)位置改變時(shí)傳遞率的變化情況。

試驗(yàn)系統(tǒng)如圖4所示。厚度為30 mm的兩塊鋼板固定于厚重的底座上作為立柱。彈性梁兩端用螺釘固定于立柱上以模擬固支邊界條件。沿縱向?qū)ΨQ線，在梁上不同位置加工出9個(gè)孔（三組，每組三個(gè)），以改變激振器和隔振器安裝位置。用電動(dòng)式激振器對(duì)梁施加激勵(lì)。使用兩個(gè)相同的橡膠隔振器進(jìn)行隔振，其上下兩端分別與質(zhì)量塊和彈性梁用螺釘連接。在質(zhì)量塊靠近質(zhì)心位置及梁上對(duì)應(yīng)位置各放置一個(gè)加速度傳感器，以拾取激勵(lì)和響應(yīng)加速度信號(hào)。利用測得的加速度信號(hào)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理獲取傳遞率。激振器的輸入信號(hào)選用掃頻激勵(lì)，頻率范圍為10 Hz～4 000 Hz。激勵(lì)施加位置分別選擇0.3 l、0.4 l和0.5 l（即μ=0.3、μ=0.4、μ=0.5），以考察激勵(lì)位置對(duì)傳遞率的影響。

圖4　試驗(yàn)系統(tǒng)

試驗(yàn)系統(tǒng)各部分的幾何、物理屬性如表1所示。根據(jù)文獻(xiàn)[8]給出的公式，可以計(jì)算出固支梁的前8階橫向振動(dòng)固有頻率和橡膠隔振器的前4階縱向振動(dòng)固有頻率，如表2所示。

3.2仿真分析

根據(jù)前面推導(dǎo)出的各表達(dá)式以及系統(tǒng)各部分的幾何物理屬性，可以得出傳遞率隨激勵(lì)頻率的變化曲線。另外，分別取μ=0.3、μ=0.4、μ=0.5，以模擬不同激勵(lì)位置對(duì)傳遞率的影響，結(jié)果如圖5(a)所示。

可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率接近基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)固有頻率時(shí)，會(huì)激發(fā)結(jié)構(gòu)較強(qiáng)的彎曲共振，此時(shí)速度傳遞率曲線會(huì)出現(xiàn)比較明顯的峰值，使系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率提高，成為誘發(fā)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的重要因素。然而，隨著階次的提高，系統(tǒng)模態(tài)對(duì)共振效果的影響越來越弱。因此，在整個(gè)激勵(lì)頻率范圍內(nèi)傳遞率曲線整體呈下降趨勢。不過，當(dāng)激勵(lì)頻率接近固支梁的高階固有頻率時(shí)，仍然會(huì)出現(xiàn)傳遞率曲線的峰值擾動(dòng)現(xiàn)象，從而減緩了傳遞率下降的速率。因此，設(shè)計(jì)隔振器時(shí)應(yīng)針對(duì)擾動(dòng)頻譜規(guī)律采取相應(yīng)控制措施。

表1　隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性參數(shù)

表2　固支梁和隔振器的固有頻率/Hz

當(dāng)激勵(lì)位置位于固支梁中間（即μ=0.5）時(shí)，出現(xiàn)3個(gè)比較明顯的波峰，但激勵(lì)位置向固支梁邊緣靠近（即μ=0.4、μ=0.3）時(shí)，傳遞率波峰的數(shù)量增多，且越接近邊緣波峰越多。這是因?yàn)橛邢藿Y(jié)構(gòu)中的振動(dòng)波會(huì)受到邊界的限制，在邊界處發(fā)生反射而產(chǎn)生駐波。這樣，當(dāng)在邊界附近施加激勵(lì)時(shí)，將激發(fā)出更多的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)彎曲共振模態(tài)，從而導(dǎo)致傳遞率出現(xiàn)密集的諧振峰值。因此，工程實(shí)際中應(yīng)盡量采取隔振系統(tǒng)對(duì)稱布置形式。

3.3試驗(yàn)分析

分別取μ=0.5、μ=0.4、μ=0.3，仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分別如圖5(b)、圖5(c)、圖5(d)所示。由圖可見，在100 Hz～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)，除個(gè)別峰值存在差異外，試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合。比較而言，試驗(yàn)條件下的傳遞率略大，且多了1-2個(gè)峰值。究其原因，盡管在試驗(yàn)系統(tǒng)中采用了兩塊剛性較大的鋼板作為支撐，但與理想的固支條件仍有差別。在某些激勵(lì)頻率下，有可能激起鋼板的共振，從而出現(xiàn)峰值。

圖5　不同激勵(lì)位置的速度傳遞率

在1000 Hz～4000 Hz頻率范圍內(nèi)，從仿真結(jié)果來看，可以實(shí)現(xiàn)較小的傳遞率，但試驗(yàn)結(jié)果顯示，傳遞率隨頻率增加幾乎沒有衰減。這是因?yàn)?，在公式中并沒有考慮彈性支承的質(zhì)量，從而可以視為理想的彈簧。而在試驗(yàn)過程中，實(shí)際采用的隔振器是具有質(zhì)量的連續(xù)體，隔振器的結(jié)構(gòu)特性為固有頻率及相關(guān)振型的存在提供了條件。當(dāng)激勵(lì)頻率接近隔振器縱向及彎曲固有頻率時(shí)引起高頻共振形成駐波，從而導(dǎo)致高頻段（1 000 Hz以上）傳遞率曲線出現(xiàn)較多的峰值擾動(dòng)。

值得注意的是低頻段（100 Hz以下）。從計(jì)算結(jié)果看，在10 Hz附近傳遞率接近于1，然后隨著頻率增加傳遞率不斷減小，即頻率越高隔振效果越好。然而，試驗(yàn)結(jié)果卻是在20 Hz～120 Hz范圍內(nèi)傳遞率均大于1，在80 Hz左右甚至出現(xiàn)一個(gè)較大的峰值。這意味著在該頻率范圍內(nèi)，質(zhì)量塊的振動(dòng)大于梁的振動(dòng)。此時(shí)，隔振器不但沒有起到減小振動(dòng)的作用，而且使質(zhì)量塊振動(dòng)更加劇烈。推測其原因，激振器的激勵(lì)頻率接近固支梁的一階彎曲固有頻率，使梁發(fā)生強(qiáng)烈的共振。一部分振動(dòng)能量通過隔振器傳遞到質(zhì)量塊，使質(zhì)量塊產(chǎn)生大幅振動(dòng)，而梁的振動(dòng)略有減小。此時(shí)，質(zhì)量塊起著動(dòng)力吸振器的作用。仿真計(jì)算未能正確預(yù)測這一現(xiàn)象，原因可能在于此處使用的質(zhì)量塊較小，而基礎(chǔ)梁和隔振器相對(duì)較大，在低頻段使用時(shí)不能滿足剛體這一假設(shè)條件，公式因此失效。

4　結(jié)語

從機(jī)載設(shè)備隔振設(shè)計(jì)需求出發(fā)，運(yùn)用子結(jié)構(gòu)法和導(dǎo)納的概念，建立了彈性基礎(chǔ)-隔振器-剛性設(shè)備模型，以作用于彈性梁的速度激勵(lì)模擬來自于外界的振動(dòng)，推導(dǎo)出由基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)通過隔振器傳遞到機(jī)器設(shè)備的速度傳遞率表達(dá)式，分析了速度傳遞率隨激勵(lì)頻率和激勵(lì)位置的變化規(guī)律，并通過試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。通過分析可得如下結(jié)論：

（1）基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的橫向共振是導(dǎo)致傳遞率增大的主要原因。

（2）隔振裝置相對(duì)于基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)非對(duì)稱安裝能激發(fā)更多的彎曲模態(tài)。因此，在實(shí)際中應(yīng)盡量采用對(duì)稱布置方式。

（3）所建立的傳遞率表達(dá)式在中頻率段（即100 Hz～1 000 Hz）能夠比較準(zhǔn)確地反映傳遞率的變化趨勢。

（4）高頻激勵(lì)時(shí)，隔振器的縱向與彎曲共振產(chǎn)生駐波效應(yīng)，會(huì)影響實(shí)際隔振效果。

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Effect of Excitation on Vibration Transmission Characteristics of Mechanical Equipment on Flexible Structures

HUANG Rui1, DAI Shi-qun1, ZHENG Ji-zhou1, 2
（1. Collegeof Mechanical and Electronic Engineering, ShandongAgricultural University, Tai’an 271000, Shandong China; 2. Shandong Provincial Key Laboratory of Horticultural Machinery and Equipment, Tai’an 271000, Shandong China）

Abstract:It is important for devices and equipment on board to isolate the vibration from base structures because of the dependency of accuracy and lifespan of the equipment on the vibration. The excitation comes from the base structure directly to thedevices, so adynamic system that consistsof aflexiblebase, vibration isolatorsand arigid body needsto be considered. In thispaper, themodel of thedynamic system including devicesand equipment on aflexiblebasestructurewas constructed based on sub-structuremethod and theconcept of admittance. Theexpression of vibration transmission ratefrom the base to the equipment was deduced. The effects of frequency and allocation on the vibration transmission rate were analyzed by simulation and tests. Theresult showsthat thetransverseresonanceof thebeam in thebasestructureisthemain reason of the high vibration transmission rate; the non-symmetrical excitation can arouse more bending resonant modes of theinfrastructure; thehigher frequency excitation can causetheresonanceof thelongitudinal and bending vibrationswhich can result in stationary wave effect; the given expressions can reflect the vibration transmissibility accurately in the frequency rangeof 100 Hz-1000 Hz.

Key words:vibrationandwave; transmissionratio; passivevibrationisolation; flexiblestructure

通訊作者：鄭繼周，男，碩士生導(dǎo)師。E-mail:zjzcorlor@163.com

作者簡介：黃瑞（1990-），男，山東省東阿縣人，碩士生，主要研究方向?yàn)樾螤钣洃浐辖鸾饘傧鹉z的工藝流程和性能試驗(yàn)研究。

基金項(xiàng)目：山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金資助項(xiàng)目（BS2010ZZ010）

收稿日期：2015-07-07

文章編號(hào)：1006-1355(2016)02-0139-05

中圖分類號(hào)：TB535+.1；TB535+.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.031