花鍵連接轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性研究

高　騰，荊建平，梅　慶，陳全勇（.上海交通大學機械與動力工程學院振動、沖擊、噪聲研究所，上海0040；.中國航空動力機械研究所，湖南株洲400）

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花鍵連接轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性研究

高騰1，荊建平1，梅慶2，陳全勇2
（1.上海交通大學機械與動力工程學院振動、沖擊、噪聲研究所，上海200240；2.中國航空動力機械研究所，湖南株洲412002）

摘要：花鍵聯(lián)軸器被廣泛應用于飛機上，在渦輪端和輸出組件、發(fā)電機以及發(fā)動機其他配件間傳遞動力。為獲得花鍵聯(lián)軸器引起的花鍵連接轉子失穩(wěn)原理，將花鍵力模擬成等效的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，采用有限元方法建立花鍵連接轉子模型，采用特征值方法得到花鍵力對花鍵連接轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性影響，此外，討論摩擦系數(shù)、負載扭矩和外阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。研究結果表明，摩擦系數(shù)和負載扭矩增加會降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，相反，外阻尼會增加花鍵連接轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性。

關鍵詞：振動與波；轉子動力學；花鍵聯(lián)軸器；特征值法；穩(wěn)定性

花鍵是連接壓氣機和渦輪轉子的重要組件，渦輪發(fā)出的功通過主軸和花鍵傳遞給壓氣機轉子及風扇轉子，在發(fā)動機轉子中最普遍采用漸開線花鍵，它具有受力均勻，結構簡單輕巧，設計方法成熟，加工方便等優(yōu)點。目前，國內對花鍵的設計工作主要涉及強度和花鍵齒面相對滑動速度方面的內容，在對轉子進行動力特性分析時，常用等效的軸段來代替花鍵聯(lián)軸器，對花鍵影響轉子系統(tǒng)失穩(wěn)的機理尚不清楚。

國外很早就對花鍵連接轉子展開研究。早在1970年，Williams和Tren t[1]將花鍵摩擦力表示成庫倫摩擦力。Marmol[2]建立引起轉子非同步振動的花鍵力預測數(shù)學模型，該模型用橫向剛度、轉角剛度、橫向阻尼和轉角阻尼來描述花鍵力。但很多參數(shù)都是估計得到。Nataraj[3]建立與速度有關的非線性花鍵力模型，但適用范圍小。Walton[4]建立只考慮花鍵軸向摩擦的花鍵力模型。對于花鍵聯(lián)軸器動力系數(shù)的實驗測定，Park[5]和Ku[6]采用實驗方法來計算花鍵動力系數(shù)。Bachschmid[7]將齒輪聯(lián)軸器等效成一個摩擦力和摩擦力矩，通過數(shù)值仿真研究齒輪聯(lián)軸器連接轉子系統(tǒng)的振動行為。Brommundt[8]采用數(shù)值方法研究齒輪聯(lián)軸器連接單盤轉子系統(tǒng)在臨界轉速處產生的失穩(wěn)和自激振蕩。

國內對轉子軸承系統(tǒng)研究[9–11]較多，但對齒式聯(lián)軸器連接轉子的研究相對較少，李明[12]用六個動力系數(shù)來模擬齒輪聯(lián)軸器，建立了軸承-轉子-齒輪聯(lián)軸器的彎扭振動力學模型。李明[13]計算滑動軸承-轉子-齒輪聯(lián)軸器的失穩(wěn)轉速，結果表明轉角剛度對系統(tǒng)失穩(wěn)轉速影響較大，聯(lián)軸器內阻尼對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速影響很小，可以忽略不計。梅慶[14]用實驗方法研究花鍵松動連接對系統(tǒng)臨界轉速的影響。趙廣[15]建立松配合矩形花鍵聯(lián)軸器的力學模型，用數(shù)值積分法研究花鍵力對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響?？蝶愊糩16]計算花鍵連接超臨界軸的穩(wěn)定性。洪杰[17]等用非線性有限元方法研究定位面的過盈量、預載荷、定位面占空比和定位面面積對花鍵連接彎曲剛度和轉角剛度的影響。

采用線性化動力系數(shù)來模擬花鍵力，該動力參數(shù)適合漸開線花鍵聯(lián)軸器的動力學計算，得到了花鍵力以及摩擦系數(shù)、負載扭矩和外阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，為工程實際提供指導。

1　花鍵聯(lián)軸器力學模型

假設內外花鍵均無齒形誤差且為全齒面面接觸，所有內齒和外齒分別相同，用等效剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)來?；ㄦI聯(lián)軸器產生的花鍵力，其中，剛度系數(shù)[4]與齒對的剛度有關，阻尼系數(shù)[2]采用能量等效的方法用等效黏性阻尼系數(shù)來表示?；ㄦI聯(lián)軸器的等效力學模型在旋轉坐標系中如圖1所示，其中，oxy為旋轉坐標系，OXY為固定坐標系。

圖1　花鍵聯(lián)軸器的力學模型

1.1花鍵聯(lián)軸器橫向剛度

以花鍵聯(lián)軸器的中心為原點，在聯(lián)軸器花鍵的中心橫截面上建立ξ-η-ζ坐標系，如圖2所示，假設所有的齒對都一樣，齒對剛度為k，齒數(shù)為n，第j個齒繞ξ軸的旋轉角為γj，作用力的嚙合角為φ，在轉動坐標系中聯(lián)軸器內外花鍵軸心線的相對橫向位移分別為Δξ和Δ?，對n個齒對編號，那么第j個齒對在作用力Fj方向上的位移δj為

第j個齒對間嚙合力Fj為

將式（1）代入式（2），并將嚙合力沿坐標軸方向分解

其中n為齒數(shù)，當n≥3時，有下列關系成立[4]

將式（5）、式（6）代入式（3）、式（4），得到

設聯(lián)軸器的橫向剛度為KL，整理得到

所以

圖2　聯(lián)軸器橫向剛度分析圖

1.2花鍵聯(lián)軸器轉角剛度

假設齒寬為b，單位寬度上齒對的剛度為k/b，以聯(lián)軸器的中心橫截面圓心為原點，建立圖3所示的坐標系，假設外花鍵相對內花鍵軸心線繞ξ軸和η軸的相對轉角分別為Δα和Δβ，那么離中心平面ζ處第j個齒對沿作用力Fj的位移為

在有限寬度dζ上的作用力dFj為

在齒的整個寬度上積分，得到聯(lián)軸器上的彎矩為

所有的齒對情況一樣，n個齒上力矩的總和沿坐標軸方向的分量為

設Ka為聯(lián)軸器的轉角剛度，那么有

所以

圖3　聯(lián)軸器轉角剛度分析圖

1.3花鍵聯(lián)軸器阻尼系數(shù)

假設花鍵聯(lián)軸器阻尼系數(shù)主要是由于齒對之間的庫倫摩擦所產生的，通過每個周期內庫倫阻尼所耗散的能量與等效黏性阻尼消耗的能量相等得到等效的黏粘性阻尼系數(shù)[18]。假設各個齒對在一周運行的情況相同。內外花鍵軸線有相對橫向位移δ0，等效集中力的嚙合角為φ，那么第i對齒面的相對摩擦位移近似為δ0/cosφ，等效集中力作用處的半徑為r，聯(lián)軸器所受的扭矩為T，齒數(shù)為n，摩擦系數(shù)為μ，第i對齒面間的摩擦力Ffi為

一個周期內，第i個齒對消耗的能量Eli[18]為

n個齒對消耗的總能量El為

假設等效黏性橫向阻尼系數(shù)為Cl，等效黏性阻尼在一個周期內在ξ和η兩個方向消耗總能量Ecl[18]為

式中ω為轉速與1階固有頻率之差的絕對值[2]。

由

得到

假設花鍵聯(lián)軸器的內外軸線間有轉角位移α0，嚙合角為φ，如圖4所示，則距聯(lián)軸器中心平面ζ處齒面的徑向摩擦位移為α0ζ/cosφ，齒寬為b，摩擦力沿齒寬方向均勻分布，第i個齒對沿ζ方向dζ長度上摩擦力dFfi為

圖4　轉角阻尼分析圖

在1/4周期內沿齒寬方向摩擦力消耗的能量為

一個周期內n個齒所消耗的總的能量Ea為

ω為1階固有頻率與轉速之差的絕對值，等效黏性轉角阻尼系數(shù)為Ca，黏性阻尼在一個周期內在ξ 和η兩個方向消耗能量Eca[18]為

由

得到

設轉動坐標系ξ-η-ζ繞固定坐標系x-y-z的z軸以角速度Ω旋轉，時間為t，如圖5所示，將花鍵力從轉動坐標系轉化到固定坐標系，可以得到聯(lián)軸器的剛度和阻尼矩陣

其中ΩKl和-ΩKl為橫向交叉剛度系數(shù)，ΩKa和-ΩKa為轉角交叉剛度系數(shù)。

圖5　轉動坐標系與固定坐標系的轉化圖

2　花鍵聯(lián)軸器對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

花鍵聯(lián)軸器的內外花鍵之間用等效動力系數(shù)來連接，通過計算花鍵連接轉子系統(tǒng)的特征值來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征值實部的正負代表系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若實部為正，那么系統(tǒng)失穩(wěn)，若實部為負，那么系統(tǒng)穩(wěn)定，若實部為0，系統(tǒng)臨界失穩(wěn)，這時的速度稱為失穩(wěn)轉速。

2.1花鍵動力系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

花鍵連接轉子系統(tǒng)的模型如圖6所示，該轉子模型模擬航空發(fā)動機的渦輪軸和輸出軸，帶輪盤的軸模擬渦輪軸，編號1—5，虛線框內分別為渦輪端和輸出端的花鍵聯(lián)軸器，編號6—7，編號8為輸出軸。A、B處為擠壓油膜阻尼器，C、D兩處為滾動軸承，花鍵參數(shù)的選取參照標準ANSIB92.1-1996，無齒形誤差的花鍵聯(lián)軸器的動力參數(shù)由第1節(jié)中的公式求得，花鍵處摩擦系數(shù)為0.15，負載扭矩為20 N?m，經計算，系統(tǒng)的1階臨界轉速為3227r/min。

圖6　花鍵連接轉子系統(tǒng)模型

采用有限元計算花鍵連接轉子系統(tǒng)的特征值，選取一維梁單元模型，建立花鍵連接轉子的有限元模型，圖7—圖12分別是在不同的花鍵聯(lián)軸器動力參數(shù)下系統(tǒng)的特征值實部隨轉速的變化關系。

從圖7和圖8可以看出，在無外阻尼情況下，改變花鍵聯(lián)軸器的橫向剛度或轉角剛度，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速在3 360 r/min左右，超過該轉速后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著剛度的減小而變差。從系統(tǒng)特征值的數(shù)量級上看，轉角剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響要遠大于橫向剛度。

圖7　不同橫向剛度下系統(tǒng)特征值實部隨轉速的變化

圖8　不同轉角剛度下系統(tǒng)特征值實部隨轉速的變化

圖9和圖10反映了橫向阻尼和轉角阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性有相似的規(guī)律，系統(tǒng)的穩(wěn)定性都隨著阻尼系數(shù)的增加而變好，失穩(wěn)轉速升高。這說明單純增加花鍵聯(lián)軸器的等效阻尼系數(shù)并不能降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖9　不同橫向阻尼下系統(tǒng)特征值實部隨轉速的變化

圖10　不同轉角阻尼下系統(tǒng)特征值實部隨轉速的變化

圖11和圖12反映了橫向交叉剛度和轉角交叉剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性有相似的規(guī)律，系統(tǒng)穩(wěn)定性都隨著交叉剛度系數(shù)的增加而變差，失穩(wěn)轉速降低。從系統(tǒng)1階正進動特征值實部的數(shù)量級來看，剛度系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響要大于阻尼系數(shù)和交叉剛度系數(shù)。

圖11　不同橫向交叉剛度下系統(tǒng)特征值實部隨轉速的變化

圖12　不同轉角交叉剛度下系統(tǒng)特征值實部隨轉速的變化

2.2摩擦系數(shù)、負載和外阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

摩擦系數(shù)、負載扭矩和外阻尼對聯(lián)軸器的動特性系數(shù)產生影響，進而影響轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計算在不同外界影響因素下系統(tǒng)的特征值實部隨轉速的變化，如圖13—圖15所示。

圖13和圖14可以看出隨著摩擦系數(shù)和負載扭矩的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性逐漸變差，在無外阻尼情況下，失穩(wěn)轉速不變。從花鍵力公式也看出，摩擦系數(shù)和負載扭矩影響聯(lián)軸器阻尼系數(shù)，同時也影響交叉剛度系數(shù)，但對交叉剛度的影響占主導。圖15反映了隨著外阻尼的增加，系統(tǒng)逐漸從失穩(wěn)狀態(tài)過渡到不失穩(wěn)狀態(tài)，當阻尼值在30 N?s/m附近時，系統(tǒng)處在失穩(wěn)與不失穩(wěn)的過渡地帶，系統(tǒng)存在失穩(wěn)區(qū)間（3 360，7 920）r/min，這說明在一定條件下通過增加外阻尼可以顯著改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖13　不同摩擦系數(shù)下系統(tǒng)特征值實部隨轉速變化

圖14　不同負載扭矩下系統(tǒng)特征值實部隨轉速變化

圖15　不同外阻尼下系統(tǒng)特征值實部隨轉速變化

3　結語

（1）花鍵聯(lián)軸器對轉子系統(tǒng)的作用力可用等效的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)來描述；

（2）花鍵連接轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性受剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的影響，轉角剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響最大，橫向剛度和轉角剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響要大于阻尼系數(shù)和交叉剛度系數(shù)，在無外阻尼情況下，減小橫向剛度、轉角剛度和阻尼項，增加交叉剛度項，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。

（3）摩擦系數(shù)和負載扭矩增加會降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，增加外阻尼會使系統(tǒng)穩(wěn)定性變好，在實際中，給花鍵聯(lián)軸器潤滑，增加系統(tǒng)的外阻尼會有效提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

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Stability Analysis of Spline Connected Rotor System

GAO Teng1, JING Jian-ping1, MEI Qing2, CHEN Quan-yong2
( 1. Instituteof Vibration Shock & Noise, School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 2. ChinaAviation Powerplant Research Institute, Zhuzhou 412002, Hunan China)

Abstract:Involute spline couplings are widely used in aircrafts to transmit power from turbine end to the output components, generatorsor other engineaccessories. Thisstudy isto obtain theinstability principleof splineconnected rotor systems. The spline force was described as equivalent stiffness coefficients and damping coefficients. The model of spline connected rotor system wasestablished with finiteelement method. Theeffect of thesplineforceon thestability of therotor system was obtained with eigenvalue method. In addition, the impact of the friction coefficient, torque load and external damping on thesystem stability werediscussed. Theresultsshow that theincreaseof friction coefficient and torqueload can decrease the stability of the rotor system. In the contrary, the external damping can increase the stability of the spline connectedrotor system.

Key words:vibrationandwave; rotor dynamics; splinecoupling; eigenvaluemethod; stability

通訊作者：荊建平，男，博士生導師。E-mail:jianpj@163.com

作者簡介：高騰（1988-）山東濱州人，碩士生，主要研究方向為轉子動力學。

收稿日期：2015-09-29

文章編號：1006-1355(2016)02-0040-06

中圖分類號：O422.6

文獻標識碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.009