不規(guī)則結(jié)構(gòu)導(dǎo)納參數(shù)建模方法研究

張武林，盛美萍（.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安70072；2中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院飛機(jī)所，西安70089）

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不規(guī)則結(jié)構(gòu)導(dǎo)納參數(shù)建模方法研究

張武林1, 2，盛美萍1
（1.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安710072；2中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院飛機(jī)所，西安710089）

摘要：復(fù)雜結(jié)構(gòu)都是由各種不規(guī)則子結(jié)構(gòu)組成，一般采用動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)或者仿真分析方法獲得其振動(dòng)特性。而為了快速獲取復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律，指導(dǎo)結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計(jì)，常需開(kāi)展子結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模。導(dǎo)納反映了結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)特性。以導(dǎo)納作為等效建?；緟?shù)，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)中泵結(jié)構(gòu)建立矩形空心梁等效模型，通過(guò)改變激勵(lì)位置及材料參數(shù)，并結(jié)合試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，證明所建立模型的正確性及建模方法的適用性。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；導(dǎo)納；參數(shù)化建模；子結(jié)構(gòu)

組合結(jié)構(gòu)都是由各子結(jié)構(gòu)通過(guò)一定的耦合方式連接而成。分析各子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性以及子結(jié)構(gòu)之間的耦合特性，將有助于研究子結(jié)構(gòu)間的振動(dòng)傳遞特性，在此基礎(chǔ)上獲取振動(dòng)傳遞規(guī)律，還將對(duì)結(jié)構(gòu)的聲學(xué)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

開(kāi)展結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)建模，可以有效地預(yù)估結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，并且基于參數(shù)化模型可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞的最優(yōu)化設(shè)計(jì)。目前，參數(shù)化建模已在典型結(jié)構(gòu)如梁、板、殼及其耦合結(jié)構(gòu)上得到了廣泛應(yīng)用[1–3]，而復(fù)雜結(jié)構(gòu)如何建立合理有效的等效參數(shù)化模型，及不同激勵(lì)條件下各結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)耦合模型振動(dòng)傳遞特性有何影響，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題的研究相對(duì)較少。對(duì)于實(shí)際中的子結(jié)構(gòu)，多數(shù)已不再是傳統(tǒng)意義上的典型結(jié)構(gòu)，同時(shí)還存在著與其相連子結(jié)構(gòu)之間的復(fù)雜耦合作用，能否對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的參數(shù)建模將會(huì)對(duì)獲取結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞特性產(chǎn)生非常重要的影響。以發(fā)動(dòng)機(jī)中的泵結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，討論不規(guī)則結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)模型的建模方法，以期能夠?qū)⒃摻７椒☉?yīng)用于解決工程實(shí)際問(wèn)題。

在提出建模方法之前，首先對(duì)文中所用到的相關(guān)理論知識(shí)做一簡(jiǎn)單介紹。

1　相關(guān)理論

對(duì)于端點(diǎn)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的彎曲振動(dòng)梁，可以將激勵(lì)載荷作為邊界條件推導(dǎo)梁的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)，當(dāng)激勵(lì)載荷作用于梁上任意一點(diǎn)時(shí)，可以將梁在激勵(lì)位置處一分為二，如圖1所示，在激勵(lì)位置處聯(lián)立位移、轉(zhuǎn)角、剪力、彎矩等連續(xù)條件，計(jì)算獲得其振動(dòng)特性。

設(shè)彎曲振動(dòng)梁的空間分布形式為[4, 5]

其中i=1，2，分別對(duì)應(yīng)于梁1與梁2。

圖1　一端彈性、一端約束附有集中質(zhì)量的中間受激彈性梁

梁1左端邊界條件與梁2右端邊界條件分別為

在梁1與梁2連接位置處，位移相等，轉(zhuǎn)角相等，彎矩相等，剪力之差等于外載荷，即

當(dāng)梁中間受到彎矩激勵(lì)時(shí)，可以得到類(lèi)似于式（3）的關(guān)系式。聯(lián)立上述的邊界條件，就可以得到梁上任意一點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)。

分段梁模型的處理方法，將激勵(lì)載荷作為分界點(diǎn)處的連續(xù)條件，很好地將梁彎曲振型的推導(dǎo)方法應(yīng)用于任意位置點(diǎn)激勵(lì)下彎曲振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算，為梁的受迫振動(dòng)分析提供了一個(gè)簡(jiǎn)單直接的計(jì)算方法。

2　泵結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析

泵結(jié)構(gòu)為發(fā)動(dòng)機(jī)的主要?jiǎng)恿υ唇Y(jié)構(gòu)，由螺栓連接于發(fā)動(dòng)機(jī)上，主要用于汲取外部燃料以滿(mǎn)足發(fā)動(dòng)機(jī)工作需要。泵頂端及底端安裝法蘭為近似矩形，中間部分外輪廓為不規(guī)則多邊形，而其內(nèi)部則為沿泵軸向的活塞空腔，泵橫截面示意圖如圖2所示，圖中虛線表示頂端與安裝法蘭截面，泵高度h=20.0 cm。分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以看出，該泵為不規(guī)則結(jié)構(gòu)。

圖2　泵結(jié)構(gòu)截面示意圖

對(duì)于非規(guī)則結(jié)構(gòu)，無(wú)法直接從理論上獲取其振動(dòng)特性。泵結(jié)構(gòu)尺寸相對(duì)較小，結(jié)構(gòu)剛度較大，在研究頻率范圍內(nèi)（200 Hz～3000 Hz），自由邊界條件下無(wú)振動(dòng)模態(tài)，不易激起結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，不利于開(kāi)展結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)建模；而在發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作情況下，泵通過(guò)四角處的螺栓將其固定于發(fā)動(dòng)機(jī)的前隔板上，為保證工作時(shí)的穩(wěn)定性及安全性，此安裝剛度較大，故這里首先借助有限元對(duì)固支邊界條件下的泵結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)特性分析，計(jì)算得到泵的前兩階振型如圖3所示，各階固有頻率及對(duì)應(yīng)振型描述見(jiàn)表1。

圖3　固支邊界下泵的前兩階振型

表1　固有頻率與對(duì)應(yīng)振型描述

泵受到的主要激勵(lì)載荷是入口處作用于殼體的徑向激勵(lì)力[6]，圖3中結(jié)構(gòu)左側(cè)圓形缺口即為泵的入口。仿真計(jì)算得到入口處點(diǎn)力激勵(lì)下的輸入導(dǎo)納如圖4所示。

由圖4可以看出，在研究的頻率范圍內(nèi)，泵共有兩階模態(tài)峰值，第1階峰值較大，其對(duì)應(yīng)振型平行于激勵(lì)方向；第2階振型與第1階近似正交，在所研究激勵(lì)下，對(duì)輸入導(dǎo)納的貢獻(xiàn)較??；所以在對(duì)泵等效參數(shù)建模時(shí)，應(yīng)主要考慮第1階振型。

圖4　入口點(diǎn)力激勵(lì)下的輸入導(dǎo)納

3　泵導(dǎo)納參數(shù)模型的建立與驗(yàn)證

由上述分析結(jié)果可知，第1階峰值對(duì)泵及泵與發(fā)動(dòng)機(jī)的耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性起主要作用，而第1階峰值所在頻段內(nèi)輸入導(dǎo)納的變化特性與梁的彎曲振動(dòng)相似，故可以考慮采用梁模型對(duì)泵進(jìn)行導(dǎo)納參數(shù)建模。

泵為非規(guī)則結(jié)構(gòu)，等效為梁模型時(shí)，其部分參數(shù)的確定是一個(gè)復(fù)雜過(guò)程。觀察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，寬度（垂直激勵(lì)方向）與厚度（平行激勵(lì)方向）的比值接近2:1，且為中空結(jié)構(gòu)，聯(lián)系其振型特點(diǎn)，可以考慮將泵等效為矩形空心梁模型，取空心梁截面的外尺寸與泵的外尺寸近似相等，其余等效參數(shù)的獲取流程如圖5所示。

圖5　矩形空心梁等效參數(shù)的獲取流程

基于上述方法第一次得到的空心梁內(nèi)尺寸計(jì)算泵的輸入導(dǎo)納時(shí)，所得結(jié)果會(huì)有一定誤差，可對(duì)內(nèi)尺寸多次修正，得到最佳等效模型，在對(duì)內(nèi)尺寸修正時(shí)，需保證泵的質(zhì)量不變，即密度除以體積變化倍數(shù)，基于所得參數(shù)計(jì)算獲取等效梁模型的輸入導(dǎo)納如圖6所示。

圖6　等效模型與泵結(jié)構(gòu)輸入導(dǎo)納對(duì)比

由圖6可以看出，等效模型在研究頻段內(nèi)具有較好的近似效果；同時(shí)，對(duì)于該等效模型，其正交方向上彎曲振動(dòng)的第1階固有頻率為2736 Hz，與有限元仿真結(jié)果2684 Hz的誤差不足2%，等效模型近似程度較高，所以當(dāng)泵所受的激勵(lì)載荷方向發(fā)生偏移時(shí)，只需將激勵(lì)載荷正交分解，直接采用矩形空心梁進(jìn)行導(dǎo)納計(jì)算，無(wú)需再次等效。

子結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)化建模是指當(dāng)原結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，只需改變等效模型對(duì)應(yīng)參數(shù)，即可近似獲取原結(jié)構(gòu)導(dǎo)納特性的一種建模方法。

依次改變等效模型的載荷激勵(lì)位置（距離安裝底面14.2m→7.5cm）、彈性模量（70 GPa→97 GPa）、材料密度（2700kg/m3→4000kg/m3），計(jì)算獲取導(dǎo)納參數(shù)模型的輸入導(dǎo)納，并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖7至圖9所示。

圖7　改變載荷激勵(lì)位置后輸入導(dǎo)納對(duì)比

圖8　改變彈性模量后輸入導(dǎo)納對(duì)比

兩個(gè)激勵(lì)位置位于入口周邊，距離安裝底面最遠(yuǎn)與最近處，而變化后的材料參數(shù)則取自發(fā)動(dòng)機(jī)其他子結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)。分析各圖可以看出，激勵(lì)位置變化只影響峰值大小，彈性模量變大，固有頻率上移，材料密度變大，固有頻率下移；當(dāng)在小范圍內(nèi)改變上述參數(shù)時(shí)，所建立的導(dǎo)納參數(shù)模型在所研究頻段內(nèi)仍具有較好的等效效果。

圖9　改變材料密度后輸入導(dǎo)納對(duì)比

4　耦合模型建立與驗(yàn)證

發(fā)動(dòng)機(jī)圓隔板在(r1,θ1)與泵結(jié)構(gòu)耦合，泵受到F0的作用，其垂直于泵的軸向且沿隔板徑向，隔板受到軸向力F2作用，子結(jié)構(gòu)與圓隔板耦合模型示意圖如圖10所示。

圖10　子結(jié)構(gòu)與隔板耦合示意圖

在以梁的彎曲振動(dòng)為主要考慮對(duì)象的梁板耦合系統(tǒng)中，耦合彎矩為主要耦合作用力（已由有限元模型驗(yàn)證），下面基于此討論子結(jié)構(gòu)與隔板耦合系統(tǒng)的導(dǎo)納計(jì)算方法。由子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法，可以得到梁與圓板在耦合點(diǎn)處的角速度

式中角標(biāo)b對(duì)應(yīng)于梁，角標(biāo)p對(duì)應(yīng)于隔板，角標(biāo)0對(duì)應(yīng)于梁上激勵(lì)點(diǎn)，角標(biāo)2對(duì)應(yīng)于圓板上激勵(lì)點(diǎn)，角標(biāo)1對(duì)應(yīng)于梁與圓板的耦合點(diǎn)，M對(duì)應(yīng)于耦合彎矩，Y對(duì)應(yīng)于梁與隔板的傳遞導(dǎo)納。

在連接位置處，子結(jié)構(gòu)邊界保持連續(xù)[7]，對(duì)于梁與圓板耦合連接，在耦合位置處角速度相等，即，由式（4）進(jìn)一步可以得到耦合彎矩

求解出耦合彎矩后，就可以得到梁上任一點(diǎn)處的速度響應(yīng)

圓板上任一點(diǎn)處的速度響應(yīng)

對(duì)于由多個(gè)子結(jié)構(gòu)連接形成的耦合模型，采用上述計(jì)算方法，可以得到耦合矩陣方程

其中Y表示各子結(jié)構(gòu)傳遞導(dǎo)納形成的導(dǎo)納矩陣，F(xiàn)表示耦合載荷矩陣，V表示外載荷引起的對(duì)應(yīng)子結(jié)構(gòu)的響應(yīng)矩陣。

將矩形空心梁與發(fā)動(dòng)機(jī)的導(dǎo)納參數(shù)模型耦合連接，計(jì)算得到耦合模型的輸入導(dǎo)納，并與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果對(duì)比，如圖11所示。

圖11　耦合結(jié)構(gòu)輸入導(dǎo)納對(duì)比

由圖11可以看出，理論計(jì)算值與試驗(yàn)測(cè)試值變化趨勢(shì)保持一致，除部分頻點(diǎn)外，二者差值較小。

經(jīng)過(guò)上述對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模型以及耦合模型的驗(yàn)證可知，在研究頻率范圍內(nèi)，導(dǎo)納參數(shù)模型具有較高的等效精度，進(jìn)一步證實(shí)了該建模方法的有效性與正確性。當(dāng)改變耦合模型中任一子結(jié)構(gòu)的參數(shù)時(shí)，基于耦合模型的導(dǎo)納參數(shù)化模型，可以快速計(jì)算得到模型的振動(dòng)傳遞規(guī)律以及子結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)耦合模型上目標(biāo)位置處振動(dòng)響應(yīng)的影響特性，所以，建立組合結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)模型為耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的獲取及結(jié)構(gòu)的聲學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

5　結(jié)語(yǔ)

(1)以發(fā)動(dòng)機(jī)中的泵結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，探索了非規(guī)則結(jié)構(gòu)導(dǎo)納參數(shù)模型的建模方法，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)的激勵(lì)位置及材料參數(shù)，并對(duì)比有限元計(jì)算結(jié)果，證明了該建模方法的可行性及所建立導(dǎo)納參數(shù)模型的正確性。

(2)該方法已成功地運(yùn)用于獲取發(fā)動(dòng)機(jī)其他子結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)模型；導(dǎo)納參數(shù)模型的建立，將慢而復(fù)雜的有限元計(jì)算轉(zhuǎn)化為耦合結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)計(jì)算，大大簡(jiǎn)化了振動(dòng)傳遞的計(jì)算過(guò)程。

傳輸高效區(qū)和低效區(qū)。該劃分方式對(duì)行波解和非行波解均有效，可以全面地刻畫(huà)有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的能量傳輸特性。

(3)在某些情況下，非行波解的能量傳輸效率可以高于行波解，換句話說(shuō)，在有限周期結(jié)構(gòu)中，傳輸效率最高的模式未必是行波模式，因此在應(yīng)用周期結(jié)構(gòu)原理設(shè)計(jì)隔振器時(shí)，需要考慮非行波模式對(duì)能量傳輸?shù)呢暙I(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] Brillouin L. Wave propagation in periodic structures:electric filters and crystal lattices. secord edition[M]. New York:Dover Publications, 1953.

[2]吳代鳴.固體物理基礎(chǔ)第2版[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3] Mead D J. Wave propagation in continuous periodic structures:Research contributions from Southampton, 1964-1995［J］. Journal of Sound and Vibration, 1996, 190(3):495-524.

[4]陳斌，黃修長(zhǎng).周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制研究現(xiàn)狀[J].噪聲與振動(dòng)控制，2011，31(5)：37-41.

[5] Hussein, M I, Leamy M J, Ruzzene M. Dynamics of phononic materials and structures:historical origins, recent progress, and future outlook[J]. Applied Mechanics Reviews, 2014, 66(4):040802.

[6] Bondaryk J E. Vibration of truss structures[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1997,102(4):2167-2175.

[7]黃修長(zhǎng)，徐時(shí)吟，華宏星，等.梁周期結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性和隔振性能[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，47(2)：173-179.

[8] Xiao Y, Wen J, Yu D, et al. Flexural wave propagation in beams with periodically attached vibration absorbers:Band- gap behavior and band formation mechanisms[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(4):867-893.

[9]尹劍飛，溫激鴻，肖勇，等.基于高級(jí)統(tǒng)計(jì)能量分析的周期加筋板振動(dòng)特性研究[J].物理學(xué)報(bào)，2015，(13)：182-191.

[10] Mei J, Ma G C, Yang M, et al. Dark acoustic metamaterials as super absorbers for low-frequency sound [J]. Nature Communications, 2012, 3(2):132-136.

[11] Yan Y, Cheng Z, Menq F, et al. Three dimensional periodic foundations for base seismic isolation[J]. Smart Materials & Structures, 2015, 24(7):075006.

[12] Wang P, Casadei F, Shan S C, et al. Harnessing buckling to design tunable locally resonant acoustic metamaterials [J]. Physical Review Letters, 2014, 113(1):014301.

[13]溫激鴻，王剛，郁殿龍，等.聲子晶體振動(dòng)帶隙及減振特性研究[J].中國(guó)科學(xué)：E輯，2007，37(9)：1126-1139.

[14]劉啟能，劉沁.固-固有限周期聲子晶體中SH波全反射隧穿的機(jī)理[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31(1)：61-66.

[15]臧獻(xiàn)國(guó)，于德介，姚凌云.響應(yīng)表面法在結(jié)構(gòu)噪聲優(yōu)化中的應(yīng)用研究[J].噪聲與振動(dòng)控制，2009，29(4)：116-119.

[16] Mead D J. A general theory of harmonic wave propagation in linear periodic systems with multiple coupling[J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 27 (2):235-260.

Study on Mobility Parametric Modeling of Irregular Structures

ZHANG Wu-lin1, 2, SHENG Mei-ping1
( 1. School of MarineScienceand Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China; 2.Aircraft Research Institute, ChinaFlight Test Establishment, Xi’an 710089, China)

Abstract:Complex structuresconsist of variousirregular sub-structures. Their vibration characteristicscan usually be obtained by dynamic test and simulation analysis. In order to quickly obtain thevibration responseof thecomplex structures and guide acoustic design of the structures, parametric modeling of sub-structures is necessary. In this paper, the mobility, which can reflect thestructural vibration responsecharacteristics, wasused asthebasic parameter to build an equivalent boxbeam model of engine pumps. By changing the excitation position and material parameters and combining with the test results, thecorrectnessandapplicability of theparametricmodel wereverified

Key words:vibrationandwave; mobility; parametricmodeling; sub-structure

作者簡(jiǎn)介：張武林（1987-），男，河南省商丘市人，助理工程師，主要研究方向?yàn)樵肼暸c振動(dòng)測(cè)試及其控制。E-mail:595172061@qq.com

收稿日期：2015-09-09

文章編號(hào)：1006-1355(2016)02-0027-04+45

中圖分類(lèi)號(hào)：TB123

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.006