有界控制導彈攻擊防御性飛機的制導律

花文華，孟慶齡，張金鵬,2，張擁軍

（1.中國空空導彈研究院，洛陽 471009；2.航空制導武器航空科技重點實驗室，洛陽 471009）

有界控制導彈攻擊防御性飛機的制導律

花文華1，孟慶齡1，張金鵬1,2，張擁軍1

（1.中國空空導彈研究院，洛陽 471009；2.航空制導武器航空科技重點實驗室，洛陽 471009）

為提高攻擊導彈同時面對目標飛機及其防御導彈情況下的命中概率，基于微分對策理論，對攻擊導彈的制導律進行了設計。應對獨立控制的多對象博弈問題，微分對策理論具有天然的優(yōu)勢，且相比于最優(yōu)制導律，微分對策制導律對于目標機動估計誤差和機動策略具有更強的魯棒性。所推導的微分對策制導律進一步考慮了攻擊導彈的控制有界性，且適用于攻擊導彈、目標飛機和防御導彈具有高階線性控制系統(tǒng)動態(tài)的情形。為驗證制導律性能，進行了非線性系統(tǒng)仿真，結果表明該制導律在成功歸避防御導彈的同時可實現(xiàn)趨于零脫靶量的目標攔截。攻擊導彈為實現(xiàn)規(guī)避和攻擊的雙重任務，僅需要保持相比于防御導彈兩倍左右的機動優(yōu)勢。

制導律；微分對策制導；有界控制導彈；目標攔截

近年來出現(xiàn)了一類對飛機發(fā)射防御導彈協(xié)同防御來襲的攻擊導彈問題的研究，并取得了一些成果[1-6]。如果這些思路在導彈工業(yè)中得以實現(xiàn)，將對攻擊導彈的殺傷性能產生重要影響。

本文同樣針對攻擊導彈、飛機和防御導彈三方博弈問題進行研究，但著重于對攻擊導彈同時面對防御導彈和飛機的情況進行制導律的設計。該制導律的推導從一般意義上展開，不受限于三方控制系統(tǒng)動態(tài)的約束，且考慮到攻擊導彈的控制有界性。

1 問題描述及建模

制導末端的相對運動關系如圖1所示，X軸沿初始視線方向，下標m、d和t分別對應攻擊導彈、防御導彈和飛機的相關狀態(tài)，且下標的組合形式表示相對狀態(tài)，如mty 和dmy 分別表示攻擊導彈和飛機間、防御導彈和攻擊導彈間相對于X方向的位移。

圖1 平面相對運動關系Fig.1 Relative in-plane motion relationship

基于下述對攻擊導彈、防御導彈和飛機的假設進行問題的分析：

1）三方相對運動關系可沿X方向進行線性化，速度大小保持不變，控制有界；

2）三方具有線性控制系統(tǒng)動態(tài)，且滿足最小相位特性。

基于圖1和上述假設，攻擊導彈、防御導彈和飛機間的相對運動關系可近似表示為

參考上述建模方式，防御導彈和飛機的控制系統(tǒng)模型表示為

在式(6)和式(7)中，防御導彈和飛機的控制系統(tǒng)階數(shù)分別為和為相應的控制命令。選取狀態(tài)變量：

則整個系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

式中：

攻擊導彈、飛機和防御導彈在實際情況下必然是控制有界的，定義三方的控制界值分別為

基于線性二次型性能指標所設計的制導律可以實現(xiàn)全彈道控制能量的最小化，但并未考慮到實際情況下導彈的有界控制性，從而制導末端較強的機動性能要求往往會帶來較大的脫靶量，而在制導律的設計過程中就考慮到控制有界，因此可以獲得較好的制導性能，文獻[7-9]在該方面的研究較為深入。

基于假設(1)，攻擊導彈與防御導彈的飛行時間為

2 制導律推導

2.1 微分對策制導律推導

定義性能指標：

式中：mt>0α ，dm0α ＜ ，mtz 和dmz 分別表示攻擊導彈和防御導彈的零控脫靶量[6,10]?；谖⒎謱Σ呃碚?，該性能指標以防御導彈脫靶量最大化和攻擊導彈脫靶量最小化為設計目的，屬于一類極大極小化設計問題。

針對性能指標(13)，直接進行制導律的推導會涉及到終端條件已知的 Riccati 微分方程組的求解，由于系統(tǒng)階數(shù)較高，很難獲得解析解。參考文獻[11]采用零控脫靶量作為新的狀態(tài)變量，首先降低系統(tǒng)維度，再進行制導律的推導。求解式(9)所對應的齊次方程，可以得到：

式(14)和式(15)中：

?-1表示拉氏反變換。

對式(14)和式(15)兩邊求導，并經進一步整理，可以得到：

由式(18)和式(19)，構造哈密頓函數(shù)Η，并經進一步整理：

式中：dmλ 和mtλ 表示待定的拉格朗日乘子。進一步結合協(xié)態(tài)方程和橫截條件可以求得：

由于假設攔截導彈和目標的控制系統(tǒng)具有最小相位特性，其斜坡響應是單調增加的[12]，滿足：

因此，基于上述推導和假設，攻擊導彈、飛機和防御導彈具有一般形式的最優(yōu)制導策略，可以表示為

基于微分對策理論，推導了這一三方博弈問題的極大極小值解。式(25)即為攻擊導彈攻擊防御性飛行器的一般形式微分對策制導律，可適用于攻擊導彈、飛機和防御導彈具有高階控制系統(tǒng)動態(tài)的情形；而式(26)和式(27)也分別構成了飛機和防御導彈的最優(yōu)規(guī)避策略和攔截策略。由設計過程可以發(fā)現(xiàn)，攻擊導彈需要具備同時跟蹤飛機和攻擊導彈的能力，這一點對于日益成熟的導引頭設計技術是逐步可以實現(xiàn)的，如將相控陣雷達設計技術應用到導引頭的設計當中。

2.2 典型制導律

上文是從一般意義上進行攻擊導彈制導律的推導，對攻擊導彈、防御導彈和飛機的控制系統(tǒng)階數(shù)并不加以約束。參考文獻[10][13]，假設攻擊導彈、防御導彈和飛機都近似具有一階控制系統(tǒng)動態(tài)，且時間常數(shù)分別為mτ 、dτ和tτ，則系統(tǒng)狀態(tài)轉化為

由此狀態(tài)向量并參考式(9)建立系統(tǒng)狀態(tài)方程。經進一步代入計算，與制導律相關的參量可表示為

式(25)~(27)所示的攻擊導彈、飛機和防御導彈的制導律可以表示為

若取可以得到：

式(35)所示的制導律與文獻[5]的推導結果是類似的，但相比較而言，本文的推導過程更為簡單，且結果更具有一般性。防御導彈雖然可以通過濾波方式對攻擊導彈的制導律和制導參數(shù)進行估計[14]，從而優(yōu)化自身的制導策略，但與攻擊導彈制導律的式(32)恰好吻合的概率很小，甚至接近于零。

3 仿真結果及分析

針對平面非線性相對運動情形所推導的攻擊導彈微分對策制導律進行了驗證，仿真參數(shù)如表1所示，圖2~5為仿真結果。仿真中假設防御導彈采用比例導引進行攻擊導彈的攔截，而飛機做具有一次時間切換的“bang-bang”類型的機動[10]。的情況下，在攻擊目標飛機的同時規(guī)避防御導彈的飛行彈道和剩余飛行時間。從圖2中可以看出，防御導彈的脫靶量較大，主要原因是攻擊導彈利用防御導彈的相關

圖 2為攻擊導彈最大機動性能信息主動規(guī)避機動，打破了防御導彈企圖構建的攔截三角形（由預測攔截點、防御導彈和攻擊導彈三點構建），從而擺脫其攔截，并隨后切換到對飛機的攻擊當中。攻擊導彈的最終飛行時間為 6.305 s，脫靶量為0.074 9 m。圖3和圖4為分別取和情況下的飛行彈道和剩余飛行時間。隨著攻擊導彈最大機動性能的增加，攻擊導彈飛行彈道更趨于平直，在規(guī)避防御導彈后的計算剩余飛行時間也更接近線性。兩種情況的飛行時間分別為5.762 s和5.650 s，相應的脫靶量為 0.0657 m 和 0.0586 m。圖 5為取10g = 情況下的飛行彈道，攻擊導彈與防御導彈的最大機動性能基本相當。從圖5中可以看出，攻擊導彈雖然較飛機機動優(yōu)勢明顯，但在規(guī)避防御導彈的攔截后，則要飛行更長的時間完成彈道的進一步調整才能命中飛機，因此對于存在防御導彈的情形，攻擊導彈仍需要保持足夠的機動性能優(yōu)勢。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

圖2 飛行彈道與攻擊導彈計算剩余飛行時間， m 18u g=Fig.2 Flight trajectory and the calculated time-to-go of attacking missile,m 18u g=

圖3 飛行彈道與攻擊導彈計算剩余飛行時間，m 25u g=Fig.3 Flight trajectory and the calculated time-to-go of attacking missile,m 25u g=

圖4 飛行彈道與攻擊導彈計算剩余飛行時間，m 30u g=Fig.4 Flight trajectory and the calculated time-to-go of attacking missile,m 30u g=

圖5 飛行彈道， m 10u g=Fig.5 Flight trajectory,m 10u g=

4 結 論

針對攻擊導彈在攔截目標飛機的同時還規(guī)避防御導彈的情形進行了研究?；谖⒎謱Σ呃碚撉铱紤]有界控制的情形，推導了攻擊導彈的微分對策制導律、目標的逃逸策略和防御導彈的攔截策略。非線性系統(tǒng)仿真表明，攻擊導彈在擺脫防御導彈的同時可實現(xiàn)對目標的有效攔截。該制導律要求同時獲取目標飛機和防御導彈的信息，適用于末制導攻擊情形，且要求導引頭具有多目標跟蹤能力。

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Guidance law of bounded-control missile for attacking an aircraft with defending missile

HUA Wen-hua1, MENG Qing-ling1, ZHANG Jin-peng1,2, ZHANG Yong-jun1
(1. China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China; 2. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Airborne Guided Weapons, China)

To improve the kill probability of attacking missile for target aircraft interception while avoiding a defending missile, a guidance law for attacking missile is presented based on differential game theory. The differential game theory has natural advantages for game of multi-body with independent control. As compared to optimal guidance law, the differential game guidance law further takes into account of the bounded control of attacking missile and is adapted to the attacking missile, target aircraft and defending missile with high-order control dynamics. Nonlinear simulations are carried out to verify performance of the guidance law, and the results show that the attacking missile can intercept the target with near zero miss distance while avoiding the defending missile successfully. To fulfill the avoiding and intercepting mission, the attacking missile only needs two times maneuvering performance against the defending missile.

guidance law; differential game guidance; bounded-control missile; target interception

V448.133

A

1005-6734(2016)01-0103-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.019

2015-09-05；

2015-11-29

航空科學基金資助項目（2015ZC12006）

花文華（1983—），男，高級工程師，博士，主要研究方向為飛行器制導與控制。E-mail: huawh6611@163.com