空間光學(xué)遙感器次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

韓春楊，徐振邦，吳清文，秦 超，夏明一(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所空間機(jī)器人系統(tǒng)創(chuàng)新研究室，長春130033)

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空間光學(xué)遙感器次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

韓春楊，徐振邦，吳清文，秦 超，夏明一
(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所空間機(jī)器人系統(tǒng)創(chuàng)新研究室，長春130033)

摘要:次鏡在軌精密調(diào)姿技術(shù)是空間光學(xué)遙感器關(guān)鍵技術(shù)之一。針對用于空間光學(xué)遙感器次鏡在軌調(diào)姿的Hexapod精密調(diào)姿平臺機(jī)構(gòu)的設(shè)計需求，以定位精度和靜剛度為準(zhǔn)則對其構(gòu)型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。建立了Hexapod平臺機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型，采用快速坐標(biāo)搜索法分析了Hexapod平臺的工作空間；按照次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)性能要求，提出了定位精度指標(biāo)和抗變形指標(biāo)，并據(jù)此建立了以構(gòu)型參數(shù)為變量的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法對兩個單目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化；利用加權(quán)分配法構(gòu)造了統(tǒng)一約束目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法對其進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。優(yōu)化后動平臺定位精度提高8. 3%，抗變形能力提高62. 5%。

關(guān)鍵詞:定位精度；靜剛度；遺傳算法；多目標(biāo)優(yōu)化；快速坐標(biāo)搜索法

1　引言

大型空間光學(xué)載荷中同軸TMA系統(tǒng)和離軸TMA系統(tǒng)包含多項關(guān)鍵技術(shù)，其中精密調(diào)姿技術(shù)是高分辨率同軸或離軸三反空間相機(jī)必不可少的關(guān)鍵技術(shù)之一[1-2]。由于空間相機(jī)在發(fā)射過程中運(yùn)載條件(如沖擊、振動、過載等)和在軌運(yùn)行時環(huán)境條件(如壓力、溫度、微重力等)改變都將導(dǎo)致空間相機(jī)的位姿發(fā)生不同程度變化，導(dǎo)致成像質(zhì)量下降。因此，為了保證成像質(zhì)量，需要對空間相機(jī)的位姿變化量進(jìn)行修正，設(shè)計高精度、高穩(wěn)定性的調(diào)姿機(jī)構(gòu)十分必要[3-4]。

Hexapod型六維精密調(diào)姿平臺因其高精度、無積累誤差、高剛度和高承載能力等特點，在光學(xué)載荷尤其是大型光學(xué)望遠(yuǎn)鏡次鏡調(diào)姿過程中發(fā)揮著重要的作用[5-8]。大型光學(xué)望遠(yuǎn)鏡次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)通常有自由度、行程、精度和遮光面積等性能要求[9]，而對于調(diào)姿平臺而言，將其應(yīng)用于大型光學(xué)望遠(yuǎn)鏡次鏡調(diào)姿過程中面臨的主要技術(shù)困難就是在修正姿態(tài)變化量時，次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)定位精度能力，以及在外力作用下，次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)對抗變形能力[10-11]。

近幾年，國內(nèi)外學(xué)者針對如何提高Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺定位精度和靜剛度做了大量的研究。文獻(xiàn)[12]基于遺傳算法對Stewart平臺的運(yùn)動學(xué)特性進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計，但未提及如何提高Hexapod型調(diào)姿平臺的抗變形能力。文獻(xiàn)[13]基于大射電望遠(yuǎn)鏡精調(diào)Stewart平臺的設(shè)計準(zhǔn)則，建立了綜合衡量Stewart平臺運(yùn)動精度和質(zhì)量的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，以其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和固有頻率為約束條件，采用自適應(yīng)遺傳算法對該優(yōu)化問題求解，但沒有提及Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺在靜載荷作用下的抗變形能力。

本文根據(jù)上面論述的不足，做了如下方面的研究。首先，建立次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)運(yùn)動模型，采用快速坐標(biāo)搜索法分析Hexapod平臺的工作空間。其次，按照次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)性能要求，提出次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)定位精度指標(biāo)和抗變形指標(biāo)，根據(jù)上述指標(biāo)建立以構(gòu)型參數(shù)為變量的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法對兩個單目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。最后，構(gòu)造多目標(biāo)約束函數(shù)，利用遺傳算法對上述多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。從而提高次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)定位精度能力和靜載抗變形能力，以縮短設(shè)計、加工周期，節(jié)約設(shè)計、加工成本。

2　次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型

次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)具有動平臺、定平臺和6根支腿組成，如圖1所示。建立定坐標(biāo)系B-OXYZ與動坐標(biāo)系P-OXYZ，其中動、定坐標(biāo)系分別固定在上、下平臺的中心處。動坐標(biāo)系隨上平臺一起運(yùn)動，動坐標(biāo)系在定坐標(biāo)系的位姿用向量q = [t，qP]T表示，t = [x、y、z]T為動坐標(biāo)系原點OP在定坐標(biāo)系中的位置，qP= [γ、β、α]T為動坐標(biāo)在定坐標(biāo)系中的姿態(tài)角。上平臺各鉸點用Pi(i = 1～6)表示，下平臺各鉸點用Bi(i = 1～6)表示。Pi在P-OXYZ系的坐標(biāo)為，在B-OXYZ系的坐標(biāo)為。Bi在B-OXYZ系的坐標(biāo)為。上鉸圓半徑為RP(P表示上平臺動坐標(biāo)系原點)，下鉸圓半徑為RB(B表示下平臺定坐標(biāo)系原點)，鉸點P6與P1的圓心角為φ(簡稱上圓心角φ)，鉸點B6與B1的圓心角為θ(簡稱下圓心角θ)。

第i個支腿BiPi在定系中的向量用表示如公式(1):

為坐標(biāo)變換矩陣，其中s(˙) =sin(˙)，c(˙) =cos(˙)。

公式(1)左右兩邊對時間求導(dǎo)，可得次鏡調(diào)姿平臺的雅克比矩陣J，它描述了關(guān)節(jié)空間支腿的運(yùn)動速度與動平臺運(yùn)動速度之間的線性關(guān)系，如公式(2):

3　次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)工作空間分析

3. 1 工作空間的影響因素

Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺的工作空間是操作器上某一給定參考點(大多數(shù)為動平臺的中心點)可以到達(dá)的點的集合[14-15]。工作空間是位姿的函數(shù)，通常需要在六維空間內(nèi)進(jìn)行描述。影響該機(jī)構(gòu)的工作空間的主要因素有各支撐桿伸長量限制、上下平臺運(yùn)動副轉(zhuǎn)角限制以及支撐桿干涉限制。

3. 1. 1 支撐桿桿長限制

設(shè)Lmin、Lmax分別為支撐桿伸長量的最小值和最大值，則約束條件如公式(3):

3. 1. 2 支撐桿鉸鏈的限制

由于次鏡調(diào)姿平臺自身結(jié)構(gòu)的限制，設(shè)支撐桿上下鉸鏈的轉(zhuǎn)角極限為θPmax、θPmin、θBmax和θBmin，θPi與θBi為支撐桿與動靜平臺法向向量nP和nB的夾角，如圖2所示。

圖2　鉸鏈轉(zhuǎn)角約束示意Fig. 2 Schematic diagram of the hinge angle constraint

針對圖2所示的鉸鏈轉(zhuǎn)角的約束關(guān)系，可得鉸鏈轉(zhuǎn)角的約束條件公式(4)～(5):

3. 1. 3 支撐桿的運(yùn)動干涉

假設(shè)各支撐桿均是圓柱形，其直徑為D，若Di，i +1(i，i +1 =1，2，…，6)為相鄰的第i條支撐桿與第i +1條支撐桿之間的最短距離，則兩支撐桿不發(fā)生干涉的條件如式(6):

3. 2 利用快速坐標(biāo)搜索法計算工作空間

由于六維空間很難建立，通常是通過描述工作空間的子空間來間接地反映工作空間。本文參考文獻(xiàn)[16]做法，忽略連桿之間的干涉影響，采用快速坐標(biāo)搜索法來確定Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺的工作空間。

首先，將工作空間內(nèi)的坐標(biāo)點用極坐標(biāo)表示，如圖3所示。在起始角γ0時，極徑A0從零遞增直至機(jī)構(gòu)的各支撐桿桿長或關(guān)節(jié)的最大轉(zhuǎn)角約束條件之一，極坐標(biāo)A1就是工作空間的邊界點，其極徑為ρ0，計算流程如圖4所示。其次，給極角γ一個增量Δγ，所以得到極坐標(biāo)為(ρ0，γ+Δγ)點T(如圖3所示的點T1)，如果點在工作空間內(nèi)，則遞增極徑直至滿足上述約束條件之一，即可得到工作空間的邊界點A2；如果點T在工作空間的外邊(如圖3所示的點T2)，則遞減極徑直至滿足約束條件之一，即可得到工作空間的邊界點A3。最后，重復(fù)上述步驟，直到計算Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺的所有工作空間。

圖3　快速極坐標(biāo)搜索法示意圖Fig. 3 Schematic diagram of the fast polar coordinate searching method

圖4　工作空間計算流程圖Fig. 4 Schematic diagram of the workspace calculation

Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)為:下平臺半徑RB=0. 2 m，上平臺半徑RP=0. 15 m，上鉸點投影點圓心角φ=20°，下鉸點投影點圓心角θ=104°，上平臺零位高度H = 0. 123 m。當(dāng)下平臺相對上平臺的位姿[0，0，0. 123，0，0，0]時，求得Hexapod平臺工作空間如圖5～圖7所示。

圖5　工作空間三維圖Fig. 5 3-D diagram of the workspace

圖6　工作空間x-y平面圖Fig. 6 x-y workspace diagram

圖7　工作空間y-z平面圖Fig. 7 y-z workspace diagram

從圖5～圖7可以看出，由于鉸鏈?zhǔn)菍ΨQ分布在兩個圓周上，但都不是均勻分布。因此，工作空間的輪廓線呈對稱性，但不是圓周線。

4　次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化

4. 1 次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計性能指標(biāo)

4. 1. 1 定位精度指標(biāo)

文獻(xiàn)[17]提出了一些用于Hexapod型平臺優(yōu)化設(shè)計的靈巧度性能指標(biāo)，即Jacobian矩陣。如果Jacobian矩陣為非奇異矩陣，假設(shè)驅(qū)動桿伸長變化量為6×1的矩陣L，驅(qū)動桿的輸入速度有一定偏差，那么，動平臺的運(yùn)動速度也會有一定的偏差，可得公式(7):

對于公式(7)兩邊取范數(shù)可得公式(8):

由公式(8)得出，C( J )相當(dāng)于關(guān)節(jié)空間驅(qū)動桿運(yùn)動速度相對偏差的放大因子。因此，在對Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時，為了提高運(yùn)動的精確性，應(yīng)使機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣的條件數(shù)C( J )在其操作范圍內(nèi)盡可能取最小值。

4. 1. 2 抗變形指標(biāo)

假設(shè)基于次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)的廣義剛度矩陣為K，則6×1的外力矩陣為F與6×1的位姿變形量矩δq之間的關(guān)系為:

由公式(9)可以得出，變形的大小與機(jī)構(gòu)本身的剛度和作用力有關(guān)[18]。原則上，變形極值越小，次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)平臺機(jī)構(gòu)的剛度越大。假設(shè)C為柔度矩陣，則C = K-1，式(9)可表示為式(10):

對于式(10)取2-范數(shù)，可得公式(11):

由公式(11)可以看出，在給定力F的作用下，‖C‖2相當(dāng)于位姿變形量δq的放大因子。因此，我們選擇柔度矩陣C的2-范數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)之一，在進(jìn)行Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時，為了提高次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)的靜剛度，應(yīng)使其柔度矩陣C的2-范數(shù)在其操作范圍內(nèi)取得盡可能小的值。

4. 2 基于遺傳算法的次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

為了同時考慮到次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)定位精度指標(biāo)和抗變形指標(biāo)，在Hexapod型次鏡調(diào)姿平臺工作空間內(nèi)選取10組位姿，采用分配權(quán)重因子法[19]將上述兩指標(biāo)統(tǒng)一，目標(biāo)函數(shù)如公式(12):

式中，wi為權(quán)重因子，且w1+ w2= 1，cond(Ji)和‖Ci‖2分別代表第i個位姿的雅克比矩陣條件數(shù)和柔度矩陣2-范數(shù)。

公式(12)目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計變量、設(shè)計變量初值和設(shè)計變量邊界條件如表1所示:

表1　次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計相關(guān)參數(shù)Table 1 The related design parameters of TSMAM

本文采用MATLAB優(yōu)化工具箱遺傳算法，對定位精度指標(biāo)和抗變形兩單目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時，對上述多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2　次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Table 2 The structure optimization of TSMAM

從表2可以看出，優(yōu)化前后構(gòu)型設(shè)計參數(shù)在數(shù)值上有較大的差別。

針對表2優(yōu)化結(jié)果，分別計算初始設(shè)計參數(shù)、定位精度優(yōu)化以及多目標(biāo)優(yōu)化下的雅克比矩陣的條件數(shù)，如圖8所示。從圖8可以看出，在10組位姿下的雅克比矩陣條件數(shù)優(yōu)化之后與優(yōu)化之前相比減低36. 8%，而定位精度優(yōu)化及多目標(biāo)優(yōu)化下的雅克比矩陣的條件數(shù)在數(shù)值上差別不明顯，多目標(biāo)優(yōu)化下的結(jié)果最優(yōu)。

圖8　優(yōu)化前后的雅克比條件數(shù)Fig. 8 Cond(J) before and after optimization

設(shè)各支腿6×1的伸長誤差矩陣ΔL為[5 μm，5 μm，5 μm，5 μm，5 μm，5 μm]T，可以求出在10組位姿下動平臺6×1的位姿誤差Δq 的2-范數(shù)，如圖9所示。從圖9可以看出，在10組位姿下6×1的位姿誤差矩陣Δq的2-范數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化之后與優(yōu)化之前相比減少8. 3%，而多目標(biāo)優(yōu)化下的Δq的2-范數(shù)相對于定位精度優(yōu)化下的，也降低了3. 5%，該數(shù)據(jù)表明多目標(biāo)優(yōu)化下對降低位姿誤差起到很好的作用

圖9　優(yōu)化前后的位姿誤差Fig. 9 Position error before and after optimization

針對表2的優(yōu)化結(jié)果，分別計算出初始設(shè)計參數(shù)、抗變形優(yōu)化以及多目標(biāo)優(yōu)化下的柔度矩陣的2-范數(shù)，如圖10所示。從圖10可以看出，在10組位姿下的柔度矩陣的2-范數(shù)優(yōu)化之后與優(yōu)化之前相比減低63%，而抗變形優(yōu)化及多目標(biāo)優(yōu)化下的柔度矩陣的2-范數(shù)在數(shù)值上差別不明顯，多目標(biāo)優(yōu)化下的結(jié)果最優(yōu)。

設(shè)各支腿的軸向剛度為k = 3×106N/ m，對上平臺施加單位外力以及力矩，可以求出在10組位姿下動平臺6×1的位姿變形量δq的2-范數(shù)，如圖11所示。從圖11可以看出，在10組位姿下

6×1的位姿變形量δq的2-范數(shù)優(yōu)化之后與優(yōu)化之前相比減低62. 5%，而抗變形優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化下6×1的位姿變形量δq的2-范數(shù)在數(shù)值上沒有明顯的變化，但多目標(biāo)優(yōu)化下的結(jié)果略優(yōu)。

圖10　優(yōu)化前后的靜柔度數(shù)Fig. 10 ‖C‖2before and after optimization

圖11　優(yōu)化前后的位姿變形量Fig. 11 Position deformation before and after optimization

5　結(jié)束語

本文對某大型空間光學(xué)遙感器次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。采用快速坐標(biāo)搜索法分析了次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)的工作空間，得到次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)動平臺的工作范圍?；趦?yōu)化設(shè)計性能指標(biāo)，即定位精度指標(biāo)和抗變形指標(biāo)，對次鏡調(diào)姿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化前后動平臺定位精度提高8. 3%，抗變形能力提高62. 5%。

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Multi-objective Optimization Design for Secondary Mirror Adjusting Mechanism in Space Optical Payload

HAN Chunyang，XU Zhenbang，WU Qingwen，QIN Chao，XIA Mingyi
(Innovation Lab of Space Robot System，Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Science，Changchun 130033，China)

Abstract:The precise positioning of the second mirror in space is a key technology for space optical payload. To adjust the second mirror of the large optical payload，a Hexapod precision positioning mechanism called the secondary mirror adjustment mechanism(TSMAM) was designed and the configuration was optimized based on the positioning accuracy and anti-deformation. First，the kinematic model of the hexapod platform was established and the workspace of the Stewart platform was determined with the fast polar coordinate searching method. Secondly，the positioning accuracy and anti-deformation index were put forward. Then the optimization function was established and two single objective functions were optimized by genetic algorithm. At the same time，a unified constraint function of weight factor was constructed and the multi-objective function was also optimized by genetic algorithm. The results showed that the positioning accuracy was improved by 8. 3% and the anti-deformation capacity was improved by 62. 5% after optimization.

Key words:positioning accuracy；static stiffness；genetic algorithm；multi-objective optimization；fast polar coordinate searching method

作者簡介:韓春楊(1987 - )，男，碩士，研究實習(xí)員，研究方向為光學(xué)望遠(yuǎn)鏡次鏡微調(diào)機(jī)構(gòu)、空間載荷力學(xué)分析。E-mail:hanchunyang. 312 @163. com

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11302222)；中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所所創(chuàng)新基金(Y4CX1SS141)

收稿日期:2015-09-15；修回日期:2015-12-22

中圖分類號:TH703；TH743

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1674-5825(2016)01-0081-07