重視發(fā)展學(xué)生思維能力的典型素材

【摘 要】本文從概念教學(xué)、思想教學(xué)和解題教學(xué)三個方面闡述了“排列與組合”這一內(nèi)容幾個教學(xué)方面的要點，并分別舉例加以分析。從概念教學(xué)和思想教學(xué)的過程中總結(jié)出一些解題策略，從而將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體問題來進(jìn)行解決。

【關(guān)鍵詞】排列；組合；概念；思想滲透；教學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）18-0042-02

【作者簡介】葛海燕，江蘇省泗陽致遠(yuǎn)中學(xué)（江蘇泗陽，223700）教師，中學(xué)一級教師。

“排列與組合”是高中數(shù)學(xué)中內(nèi)容抽象、概念和原理不多，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系較少的一個相對獨(dú)立的教學(xué)單元，在教學(xué)中是一個難點。但正因為它的概念比較抽象，思想方法比較獨(dú)特，且多以實際問題為模型，所以筆者認(rèn)為，它是發(fā)展學(xué)生抽象思維能力和邏輯思維能力的好素材。抓好本節(jié)教學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者以為，對本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，重點需把握三個方面：一是對基本知識的掌握；二是在教學(xué)中滲透教學(xué)思想；三是促使學(xué)生形成解題策略。

一、理清概念，打好知識基礎(chǔ)

1.正確區(qū)分排列與組合。

“排列”“組合”是兩個比較抽象的概念，要分清一個具體問題是排列問題還是組合問題，主要是看從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素是否與順序有關(guān)——排列與順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)。

在學(xué)生了解排列組合以后，為了能夠較好地提高他們的識別能力，強(qiáng)化“排列既取又排，組合只取不排”的意識，可以把內(nèi)容相似但一個用“排列”來解而另一個用“組合”來解的兩道題目放在一起，進(jìn)行對比分析。例如：從10人里選出一個班長，一個學(xué)習(xí)委員，一個干事，一共有多少種不同的選法？從10人里選三個代表，一共有多少種不同的選法？

2.正確區(qū)分兩個原理。

分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是排列組合這一節(jié)的兩個基本原理，是解決排列和組合問題的主要依據(jù)。分清使用的關(guān)鍵在于明確事件需要“分類”還是“分步”完成。兩個原理的共同點都是將一個原事件分解成若干個事件來進(jìn)行計算。不同點是：在使用加法原理時，每一個分事件完成了，原事件也就完成，即各分事件之間是相互獨(dú)立的；在使用乘法原理時，如果分事件完成了，并不是原事件的全部完成，只是完成了其中的某一步，各分事件之間不是相互獨(dú)立的，而是相互制約的。通過這兩個概念的比較，讓學(xué)生在解決問題時正確地運(yùn)用這兩個原理，將問題分類和分步解決。

二、精選例題，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，任何數(shù)學(xué)問題的解決無不是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的，同時，數(shù)學(xué)思想又是對數(shù)學(xué)知識融會貫通的理解和升華，是更深層次的內(nèi)容。教學(xué)中只有從某些具體教學(xué)內(nèi)容中去挖掘更深層次的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識才真正有了核心，學(xué)生頭腦中才會形成完整的知識體系，而排列組合這一節(jié)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想極其豐富，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)訓(xùn)練的好題材，教學(xué)中要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

1.分類討論思想。

分類討論是指按一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對象分成若干部分后逐一解決的方法策略。當(dāng)研究的對象在不同情況下有不同的結(jié)論時，一般要采用分類討論。對于復(fù)雜的排列組合問題，靈活地運(yùn)用分類思想，將問題轉(zhuǎn)化為若干簡單的排列組合問題，非常有利于問題的解決。

例1：將一個四棱錐P-ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，現(xiàn)有五種顏色，那么不同的染色方式有多少種？

分析：可以先給P點染色有C 種方法，再分別給A，B，C，D四點染色，根據(jù)A，C點顏色的異同來進(jìn)行分類。若A，C兩點同色，那么染色方法共有：C ×C ×C 種；若A，C兩點異色，那么染色方法共有：A ×C ×C 種；所以，滿足題意的染色方法共有：C （C ×C ×C +A ×C ×C ）種。

本題是只有在區(qū)分不同情況后才能確定計算方法的一個實例，可以促使學(xué)生理解分類討論的必要性。

2.化歸思想

化歸思想是將研究的問題通過數(shù)學(xué)的內(nèi)部聯(lián)系和矛盾運(yùn)動轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題的思想方法。其實質(zhì)是化繁為簡，化難為易，化陌生為熟悉，化未知為已知的一種思想方法。在排列和組合中，需要進(jìn)行化歸的問題比比皆是，化歸的手法也是多種多樣，某些問題的解決過程就是應(yīng)用化歸思想的過程。

例2：有5個小電燈排成一排，每一個電燈都有亮或不亮兩種狀態(tài)，那么一共可以表示多少種不同的信號？

分析：假設(shè)有排好位置的5個空位置，把5個電燈分別以亮和不亮兩種狀態(tài)依次填入5個空位，那么每一種填法就唯一對應(yīng)著一種信號，反過來，任一信號總可以由一種填法得到，這樣，信號問題就轉(zhuǎn)化為更具體的“填空問題”。完成“填空問題”這件事可以分為5個步驟，每一個步驟都有兩種填法，由乘法原理共有：2×2×2×2×2=32種，故可以表示32種信號。

運(yùn)用化歸思想可以溝通不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生更清楚地認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

3.整體思維。

整體思維就是把需要解決的問題看作是一個整體，通過研究問題的整體結(jié)構(gòu)、整體形式來使問題得以解決。在排列組合的問題中常常會遇到這樣的情況，所以，有時要有意識地放大看問題的視角，從而尋找更適合的方法。

例3：有5個男生和6個女生排成一排，男女分別排在一起，問共有多少種不同的排法？

分析：5個男生排在一起可以看作一個整體元素A，6個女生排在一起可以看作一個整體元素B。元素A，B的全排列共有A 種，而整體A中男生再排共有A 種排法，整體B中女生再排共有A 種排法，所以，一共有A ×A ×A 種排法。

4.逆向思維。

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的、似乎已經(jīng)成為定論的事物或觀點反過來進(jìn)行思考的一種思維方式。它要求學(xué)生敢于“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問題的相反面深入地進(jìn)行探索。

例4：袋中裝有4個白球，6個黑球，現(xiàn)從中取出4個，如果取到一個白球記2分，取到一個黑球記1分，問總分不低于5分的取法有多少種？

分析：總分不低于5分的取法有很多種，一一列舉很繁瑣，這時，可以考慮總分低于5分的取法，只有當(dāng)取出的都為黑球這一種取法?？?cè)》ㄓ蠧 種，而總分低于5分的取法有C 種，所以總分不低于5分的取法一共有：C -C =195種。

三、歸納總結(jié)，形成解題策略

解題雖然不是教學(xué)的最終目的，但它卻是達(dá)到教學(xué)目的的一種手段。解決排列組合問題，首先要清楚是屬于哪一種題型，然后再進(jìn)一步分析。常用的排列組合的解題策略有兩條：①特殊元素，位置優(yōu)先考慮，然后再考慮其他的元素和位置；②“捆綁法”和“插空法”，對于要求幾個元素相鄰的排列問題，可以把這幾個元素看作一個整體捆綁起來與其他元素一起進(jìn)行排列，然后再對這幾個元素內(nèi)部進(jìn)行排列，而對于要求幾個元素不相鄰排列的問題，可以先將其他元素排好，然后將這幾個元素插入排好的元素之間（包括首位和末位兩個位置）。當(dāng)然，中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及排列組合教學(xué)的注意點還有很多，其教學(xué)方法亦多種多樣，這就要求我們進(jìn)一步積極思考，不斷地探索研究和總結(jié)歸納。

【參考文獻(xiàn)】

[1]高小榮.關(guān)于排列組合問題教學(xué)的思考和實踐[J].延安教育學(xué)院學(xué)報，2004（02）：51-52.

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