淺談矩陣

劉明月 劉彥明

摘要：文章主要闡述了線性代數(shù)中矩陣的數(shù)學(xué)含義：矩陣就是n維向量空間中的線性變換的一個(gè)描述，矩陣的本質(zhì)是“運(yùn)動(dòng)”的描述。在一個(gè)n維向量空間中，只要選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線性變換，都可以用一個(gè)確定的矩陣來描述，即線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。希望本文對(duì)于初學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生會(huì)有所幫助。

關(guān)鍵詞：線性變換;向量;矩陣

中圖分類號(hào)：G642.3 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2016）41-0217-02

線性代數(shù)這門大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，主要研究n維向量空間、線性變換、矩陣、行列式等，這些知識(shí)在工程與應(yīng)用數(shù)學(xué)上應(yīng)用廣泛，以至于瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics（《數(shù)學(xué)概觀》）中說：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多。”[1]但很多教科書將教學(xué)重點(diǎn)放在了矩陣的運(yùn)算、性質(zhì)和變形方式方法上，而忽略了矩陣的概念與本質(zhì)的解釋和理解?！毒€性代數(shù)》課本上對(duì)矩陣的定義僅是一句：矩陣是由m×n個(gè)數(shù)構(gòu)成的m行n列的數(shù)表。致使眾多學(xué)子對(duì)于這個(gè)數(shù)表的妙處無從了解，很多進(jìn)入大學(xué)階段的大學(xué)生，都是到了大二、大三學(xué)習(xí)了一些和線性代數(shù)相關(guān)的后續(xù)課程之后，對(duì)矩陣才能夠逐步理解和應(yīng)用的。本文將就線性代數(shù)中一些常規(guī)應(yīng)用簡單闡述一下矩陣的實(shí)質(zhì)。

首先，簡介一下n維向量空間和其中的向量，它們和矩陣的關(guān)系是密不可分的。n維向量空間是一個(gè)線性空間，對(duì)加法和數(shù)乘是封閉的，之中的所有元素，通過選定相應(yīng)的基和坐標(biāo)，都可以表示為向量的和與數(shù)乘的形式。如n維單位坐標(biāo)向量ε=（1，0，…，0），ε=（0，1，…，0），…，ε=（0，0，…，1）是n維向量空間R的一組基，向量空間R中的任一向量α=（a，a，…，a）=aε+aε+…+aε。其中，基的選取有很多種方法，只要所選取的那組基中各向量之間線性無關(guān)即可。也就是說，任何n個(gè)線性無關(guān)的n維向量都可以構(gòu)成n維向量空間R的一組基，而任何一組基又都可以構(gòu)成一個(gè)n維度的坐標(biāo)體系（其中每一個(gè)向量都躺在一根坐標(biāo)軸上，并且成為那根坐標(biāo)軸上的基本度量單位[2]）。向量是很靈活的，一旦找到相應(yīng)的一組基，就可以用它來表示n維向量空間里的任一元素。向量表面上只是一列數(shù)，但由于它的有序性，除了這些數(shù)本身攜帶的信息之外，還可以在每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的位置上攜帶信息。[1]在程序編輯過程中數(shù)組比較簡單但卻變幻無窮，根源就在于此。

線性空間像諸多別的空間一樣，可以容納“運(yùn)動(dòng)”，維向量空間中的“運(yùn)動(dòng)”被稱為線性變換。[2]從n維向量空間中的一個(gè)對(duì)象運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)對(duì)象，都能夠通過一個(gè)線性變換來實(shí)現(xiàn)。那么，線性變換是如何實(shí)現(xiàn)這些運(yùn)動(dòng)的呢？在n維向量空間中，確定一組基后，向量表示該空間中任一元素，通過矩陣可以實(shí)現(xiàn)該空間中的所有運(yùn)動(dòng)。使某個(gè)對(duì)象發(fā)生相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量。[2]例如A=（α，α，α）= 1 ? ?2 3-1 1 ? ? ? 1 0 ? ?2 3，其中α，α，α是向量空間R中的一組基;B=（β，β）=5 ?-90 ?-87 -13，β，β在這組基中的坐標(biāo)分別是（2，3，-1），（3，-3，-2），則（β，β）=（α，α，α） 2 ? ? ?3 3 ? ?-3-1 -2。簡單地說，在n維向量空間中選定一組基之后，向量描述對(duì)象，而矩陣描述對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，用矩陣與向量的乘法來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

線性代數(shù)中“運(yùn)動(dòng)”的形式，有異于微積分運(yùn)算推理中連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)，是瞬間發(fā)生的變化，就如物理學(xué)中的量子在不同的能量級(jí)軌道上的跳躍一般，是瞬間發(fā)生的，是一種躍遷行為。[3]這種“躍遷運(yùn)動(dòng)”會(huì)和實(shí)際應(yīng)用之間奇妙地結(jié)合起來。例如A=5 8 107 5 ?6，其中第一行元素順次（從左到右）表示甲超市中的某三種商品在某日的銷售量，第二行元素順次（從左到右）表示乙超市中的同樣的三種商品在某日的銷售量;B=15 312 220 4，其中第一列元素順次（從上到下）分別表示以上三種商品的出售單價(jià)，第二列元素順次（從上到下）分別表示以上三種商品的單件利潤。則有AB=371 71285 55，其中第一列元素順次（從上到下）分別表示甲、乙兩超市在某日出售以上三種商品的總收入，第二列元素順次（從上到下）分別表示甲、乙兩超市在某日出售以上三種商品的總利潤。

綜上所述，矩陣就是n維向量空間中的線性變換的一個(gè)描述，矩陣的本質(zhì)是“運(yùn)動(dòng)”的描述。在一個(gè)n維向量空間中，只要選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線性變換，都可以用一個(gè)確定的矩陣來描述，[4]即線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，我們經(jīng)常解的n元線性方程組，系數(shù)矩陣A=（a）就是從自變量x，x，…，x到因變量y，y，…，y的線性變換矩陣，此n元線性方程組可以表示為Y=AX，其中X=（x，x，…，x），Y=（y，y，…，y）。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是對(duì)這同一個(gè)線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。[5]所謂相似矩陣，就是這同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣。

最后，說一下矩陣和行列式。兩者在定義和運(yùn)算法則上都沒有直接的關(guān)系，但行列式在很多方面都決定著矩陣的性質(zhì)，如倘若某個(gè)方陣所對(duì)應(yīng)的行列式不等于零，則此方陣為非奇異矩陣，可逆;一個(gè)n元線性方程組的系數(shù)行列式（倘若有的話）不等于零，則其系數(shù)矩陣的秩等于其增廣矩陣的秩等于其自變量的個(gè)數(shù)n，此方程組有唯一解，等等。這些關(guān)系不是純屬巧合，矩陣的很多基本性質(zhì)都是在行列式的發(fā)展中建立起來的，矩陣這個(gè)概念在產(chǎn)生之前就已經(jīng)發(fā)展得很好了，在行列式的大量工作中可以明顯地表現(xiàn)出來，不管行列式的值是否與問題相關(guān)，方陣本身都是可以研究和使用的。[5]矩陣這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，為的是將數(shù)字的矩形陣和行列式區(qū)別開來。矩陣并不像行列式的存在形式那般死板，必須要求行數(shù)等于列數(shù)，所以，從數(shù)學(xué)邏輯上來考慮，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，行列式的產(chǎn)生次序是早于矩陣的。

參考文獻(xiàn)：

[1]加黑蒂.數(shù)學(xué)拾遺[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：08.

[2]龔升.線性代數(shù)五講[M].北京：科學(xué)出版社，2005：02.

[3]俄羅斯]A.D.亞歷山大洛夫，等.數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方法和意義（第一版）[M].北京：科學(xué)出版社，2012：02.

[4]金慧萍.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012：07.

[5]吳博峰，樊葡萄.線性代數(shù)[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2016L01.

Talk about Matrix

LIU Ming-yue，LIU Yan-ming

（XingZhi College of ?Xian University of Finance and Economics，Shaanxi，Xian，710038;

Xian Shiyou University，Xian，Shaanxi ?710065，China）

Abstract：This paper expounds the mathematical meaning of the matrix in linear algebra：Matrix is a description of linear transformation of n dimensional space，the nature of the matrix is to describe the "movement". In a linear space，as long as a set of selected base，any linear transformation can be used to describe by a definite matrix，between linear transformation and matrix exist the only corresponding relation. I hope this article will be helpful for beginners to study linear algebra.

Key words：linear transformation;vector;matrix