“萬(wàn)法歸宗”

曾敏

[摘要] 正弦定理和余弦定理是三角形中的兩個(gè)重要定理，它們將三角形的邊和角有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，深刻地揭示了三角形中的邊角關(guān)系。在解三角形時(shí)，我們應(yīng)充分關(guān)注問(wèn)題的幾何背景，利用好正余弦定理和向量等工具實(shí)現(xiàn)三角形的邊角互化， 從而優(yōu)化解題方法。

[關(guān)鍵詞]解三角形；邊角；正弦定理；余弦定理

解三角形是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容，而考察的重點(diǎn)又放在了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用。如何利用好正、余弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式或?qū)⒔堑娜呛瘮?shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式呢？學(xué)生在遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，不知何時(shí)用哪個(gè)定理，基于此，現(xiàn)舉例說(shuō)明，給出幾種招數(shù)供大家參考。

例 在△ABC中，2sin2A2=3sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，則ACAB=。

法寶一：（“化角”策略）

分析 利用二倍角公式求A， 將所求邊的比值化成角的關(guān)系上，運(yùn)用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)將邊化為角，突出三角恒等變形思想。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinCsinBcosC=3cosBsinCtanB=3tanC。

∴tanπ3-C=3tanC33tan2C+4tanC-3=0tanC=-2+1333（tanC>0）。

∴ACAB=sinBsinC=sin（π3-C）sinC=3cosC-sinC2sinC=32cotC-12=323313-2-12=1+132。

點(diǎn)評(píng) 利用正弦定理把已知條件的邊轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變形，求出內(nèi)角的關(guān)系。

法寶二：（“化邊”策略）

分析 利用余弦定理可以實(shí)現(xiàn)將三角內(nèi)角的余弦值轉(zhuǎn)化為邊，利用正弦定理將角的正弦值轉(zhuǎn)化為邊，突出代數(shù)方程思想。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinCsinBcosC=3cosBsinC。

b·a2+b2-c22ab=3·a2+c2-b22ac·ca2+b2-c2=3（a2+c2-b2）a2=2b2-2c2。

由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos23π=b2+c2+bc。

∴2b2-2c2=b2+c2+bc3c2-b2+bc=0bc2-bc-3=0。

∵bc>0，∴bc=1+132。

點(diǎn)評(píng) 利用正、余弦定理把已知條件的角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系。

法寶三：（“數(shù)形結(jié)合”策略）

分析 作出三角形的高，主要運(yùn)用直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義和勾股定理也可解答。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

取AB=AD=c，過(guò)A作AH⊥BD。如右圖：

sin（B-C）=2cosBsinCsin∠CAD=2cosBsinC。

∵sin∠CADsinC=CDc，∴CD=2c·cosB=2BH=BD。

∴AD=12（AB+AC）c2=14c2+b2+2bccos23π=14（c2+b2-bc）。

∴3c2-b2+bc=0bc2-bc-3=0?！遙c>0，∴bc=1+132。

點(diǎn)評(píng) 把平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來(lái)，能夠發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件。

這個(gè)例子充分顯示了三角形邊角關(guān)系互化的特點(diǎn)，處理此類(lèi)問(wèn)題的方法策略很多，歸結(jié)到底，利用好正、余弦定理，通過(guò)“化角”，“化邊”，“數(shù)形結(jié)合”三大法寶可以實(shí)現(xiàn)完美的轉(zhuǎn)化。