反思通性通法，打造高效課堂 反思通性通法，打造高效課堂

閔小梅

[摘要]對通性通法的教學進行反思，在指出某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用數(shù)學思想方法的同時反思其本質，以便學生理解并能靈活運用，從而打造高效課堂。

[關鍵詞]通性通法；裂項相消；求和；高效課堂

通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學思想方法。這種具有普遍意義的解題方法，是數(shù)學方法的主流，也是高考中的重要考查點。而想要打造高效課堂，我們也必須從通性通法抓起。作為教師，我們當然會注重通性通法的教學，在見到某種常規(guī)題型時一定會給出常規(guī)思路、方法，學生見多了、聽多了、做多了，也就條件反射式的接受了這些通性通法，只要符合形式就會套、搬，但一旦形式稍作修改，學生就會無所適從，明知是符合某種規(guī)律，卻怎么也套不出。這時，我們的“高效”課堂就變成了“無效”課堂。

例 （江門市2015屆普通高中高三調研測試理科數(shù)學第17題）

已知{an}是等差數(shù)列，a2=3，a3=5。

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）對一切正整數(shù)n，設bn=（-1）nnan·an+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。

解 （1）數(shù)列{an}的通項公式an=a1+（n-1）d=2n-1（過程略）。

（2）由（1）得an+1=2n+1，bn=（-1）nnan·an+1=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

n>1時，Sn=b1+b2+…+bn=14-1-13+13+15+…+（-1）n2n-1+（-1）n2n+1

=14[-1+（-1）n2n+1]=（-1）n-2n-14（2n+1）。

n=1時，S1=b1=-13也符合上式，∴n∈N*，Sn=（-1）n-2n-14（2n+1）。

在本題第（2）問中，主要考查數(shù)列求和之裂項相消法，很多學生能觀察到數(shù)列{bn}的通項bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）與我們平常做過的bn=1（2n-1）（2n+1）類型相似，所以首先想到的也是裂項相消求和，但大部分學生卻怎么都裂不出。為何如此呢？我們不妨先回顧一下數(shù)列中裂項相消求和的幾種常見類型：

（1）1[]n n+k=1[]k1[]n-1[]n+k；

（2）1[]n+k+n=1[]k（n+k-n）；

（3）1[]2n-1 2n+1=1[]21[]2n-1-1[]2n+1。

在這些裂項中，其特點都是裂成兩項相減的形式，而在上例中，數(shù)列{bn}的通項最終要裂成兩項相加的形式，盡管學生對裂項相消求和的常見類型很熟悉，但沒遇到過上例形式，大部分學生對此題就只能觀之而無從下手了。

原因只是學生學得不夠靈活，不能做到舉一反三嗎？其實不然，反思我們的教學，數(shù)列中“裂項相消求和”是通性通法，我們在教學時想必大多數(shù)老師在經過簡單的舉例求證后相應的就給出了一般規(guī)律，而且這個規(guī)律對學生來說也很容易求證得到。反觀上例，也是典型的裂項相消法，為何我們的學生做不出來呢？再反思“裂項相消求和”這種通性通法，對上面幾種常見的類型人人都知道可以裂項，都知道可以裂成這樣，那為什么可以裂成這樣？我們在教學時有沒有反思過這種通性通法的本質是什么呢？

經過反思總結，我們不難發(fā)現(xiàn)，“裂項” 這種通性通法的本質其實也就是一個“待定系數(shù)法”。如在bn=1（2n-1）（2n+1）裂項時，不妨令bn=A2n-1-B2n+1，通過通分還原可以得到bn=A2n-1-B2n+1=2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系數(shù)法可得A-B=0A+B=1，解得A=B=12，于是就得到bn=1（2n-1）（2n+1）=1212n-1-12n+1。其他裂項亦是如此。

再回到上例bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）中，不妨令bn=（-1）nA2n-1-B2n+1，通過通分還原可以得到bn=（-1）nA2n-1-B2n+1=（-1）n·2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系數(shù)法可得2（A-B）=1A+B=0，解得A=14B=-14，于是就得到bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

美國著名數(shù)學教育家波利亞認為中學數(shù)學教育的宗旨是教會年輕人思考，他說掌握數(shù)學就意味著要善于解題，他把“解題”作為培養(yǎng)學生數(shù)學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。事實上，學生解題能力的好壞從某種角度上來說也體現(xiàn)了我們的課堂教學是否高效，所以我們要培養(yǎng)學生的解題能力，打造高效課堂，也不妨試試多反思一下通性通法的教學。