滲透數(shù)學文化，上好第一節(jié)微積分課

馮文俊　王俊新

[摘要]滲透數(shù)學文化，使學生對《微積分》課程有宏觀認識和總體把握，充分認識到《微積分》課程的重要性，了解《微積分》課程的美，從而喜歡這門課程并對學習這門課程充滿信心。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學文化；總體把握；重要性；美

[中圖分類號]G64 [文獻標識碼]A

[資助項目]山西財經(jīng)大學2011年教育教學改革研究項目（項目編號：2011131）

學生從小學到大學學習了多年的數(shù)學，普遍認為數(shù)學課程難且枯燥乏味，對數(shù)學課程的學習沒有總體認識和宏觀把握，沒有足夠的信心，感受不到數(shù)學課程的重要性和美。基于學生在高中階段對《微積分》課程已有初步的了解，在大學上第一節(jié)《微積分》課程時，充分滲透數(shù)學文化，使學生對《微積分》課程有宏觀認識和總體把握，充分認識到《微積分》課程的重要性及《微積分》課程的美，從而喜歡這門課程并對學習這門課程充滿信心。

一、滲透數(shù)學文化，了解《微積分》課程誕生的歷史，使學生對《微積分》課程有宏觀認識和總體把握

1?！段⒎e分》課程第一至四章的來源

在上大學第一節(jié)《微積分》課程時，先講《微積分》課程誕生的歷史。牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。牛頓當時是用如下方法計算自由落體在某一時刻的瞬時速度：

設(shè)自由落體在t0時間內(nèi)下落的位移為S（t0），位移公式為S（t0）=12gt02，其中g(shù)是重力加速度。當時，根據(jù)科學的發(fā)展，需要計算物體在t0時刻的瞬時速度，牛頓的計算方法為，從t0時刻開始再下落Δt時間，欲求物體在t0時刻的瞬時速度，先求物體在Δt時間內(nèi)的平均速度ΔSΔt，ΔSΔt=12g（t0+Δt）2-12gt20Δt=gt0+12g·Δt（ * ）

牛頓認為，物體在t0時刻的瞬時速度即當Δt變成無窮小時Δt時間內(nèi)的平均速度。所以，當Δt變成無窮小時，右端的12g·Δt也變成無窮小，因而上式右端就可以把12g·Δt這一項去掉而只剩下gt0，即物體在t0時刻的瞬時速度為gt0。

當講到這里時，提問學生這個推理過程嚴密嗎？學生指出，如果Δt是0，上式（ * ）左端把Δt作為分母沒有意義。如果Δt不是0，把上式（ * ）右端12g·Δt這一項隨便去掉是不對的。然后我告訴學生，當初可能因為牛頓本身是一位偉人，而且牛頓的這一方法確實很好用，解決了大量的過去無法解決的科技問題，包括像海王星的發(fā)現(xiàn)這樣鼓舞人心的例子，更顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力，所以沒有人提出質(zhì)疑。后來牛頓學派外部英國大主教貝克萊就“牛頓的無窮小作為一個量究竟是不是0”提出質(zhì)疑，產(chǎn)生了歷史上第二次數(shù)學危機。當初牛頓及其擁護者奮起與貝克萊論戰(zhàn)，但是在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責難。而且，隨著時間的推移及研究范圍的不斷擴大，類似的悖論日益增多。包括數(shù)學家在研究無窮級數(shù)的時候，也是在有限與無限之間任意通行，作出過大量錯誤的證明，得出許多錯誤的結(jié)論。

數(shù)學的發(fā)展，要求微積分的基礎(chǔ)“極限理論”誕生。19世紀，經(jīng)過以法國數(shù)學家柯西為代表的一批數(shù)學家艱辛的努力，極限理論終于誕生了，再加之維爾斯特拉斯建立了實數(shù)系，嚴格的極限理論才算真正建立。

嚴格的極限理論建立之后，自由落體在t0時刻的瞬時速度計算方法如下： limΔt→0ΔSΔt=limΔt→012g（t0+Δt）2-12gt02Δt=limΔt→0（gt0+12g·Δt）=limΔt→0gt0+limΔt→012g·Δt=gt0，這實際上就是函數(shù)S（t）=12gt2在t0這一點的導數(shù)，這才徹底解決了貝克萊的責難，從根本上消除了歷史上第二次數(shù)學危機。實際上，嚴格的極限理論建立之后，對無窮小量Δt與0的關(guān)系給出明確的回答。雖然這個結(jié)果與牛頓當初計算的結(jié)果相同，但是每一步推理過程都有嚴格的邏輯基礎(chǔ)。

縱觀微積分誕生的歷史，我們可以看出，微積分基礎(chǔ)建立的歷史順序為：導數(shù)與微分（教材第三章）→極限與連續(xù)（教材第二章）→函數(shù)（教材第一章）（教材第一章在實數(shù)基礎(chǔ)上講解函數(shù)及其一些性質(zhì)），邏輯順序與歷史順序正好相反。

2?！段⒎e分》課程第五至六章的來源

如右圖，為了計算由x軸、直線x=a，x=b及曲線y=f（x）圍成的不規(guī)則圖形的面積，在區(qū)間[a，b]中任意插入n-1個分點，a=x0

為了簡單起見，把這個極限值記為∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，

稱為函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分（教材第六章）。17世紀后期，牛頓和萊布尼茲幾乎是同時發(fā)現(xiàn)著名的微積分基本定理——牛頓-萊布尼茲公式，即如果F′（x）=f（x），則∫baf（x）dx=F（a）-F（b）。所以，要計算∫baf（x）dx的值，需先知道那個函數(shù)的導數(shù)等于f（x），即f（x）的不定積分（教材第五章）。邏輯順序與歷史順序也正好相反。

3。《微積分》課程第七至十一章的來源

第七章多元函數(shù)微分學是第一至四章一元函數(shù)到多元函數(shù)的推廣。第八章二重積分是第五至六章的推廣。第九章無窮級數(shù)是第二章的特殊情形。無窮級數(shù)是數(shù)列的和，第九章主要講解幾種特殊無窮級數(shù)的斂散性（即極限值的存在性）及收斂級數(shù)極限值的計算。第十章微分方程是第六章的推廣。在第五章中，若已知dydx=x，我們可以求出y=12x2+C，其中C為任意常數(shù)。但是如果已知dydx=xy，我們通過第五章的學習就不會求出y的值。形如dydx=xy含有自變量x、未知函數(shù)y以及未知函數(shù)的導數(shù)dydx（或微分）的等式，稱為微分方程。第十一章差分方程是以第十章為工具，以此研究離散數(shù)學模型。

在大學上第一節(jié)《微積分》課程時，通過對《微積分》課程誕生的歷史的學習，使學生對《微積分》課程各章之間的關(guān)系及整本書的內(nèi)容有宏觀的認識和總體把握。

二、滲透數(shù)學文化，了解數(shù)學及《微積分》課程的重要性

（一）滲透數(shù)學文化，了解數(shù)學的重要性

馬克思曾經(jīng)說過，“一門科學只有成功地運用了數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步（見拉法格的回憶錄）；華羅庚先生也說過，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在；”2000年是聯(lián)合國宣布的“世界數(shù)學年”，聯(lián)合國教科文組織指出：“純粹數(shù)學與應用數(shù)學是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙”；現(xiàn)在有人說：“哲學從一門學科中退出，意味著這門學科的建立；而數(shù)學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟?！睌?shù)學與文學、史學、哲學、經(jīng)濟學、社會學、密碼學及工程技術(shù)等都有密不可分的聯(lián)系；諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者中，數(shù)學家或有研究數(shù)學的經(jīng)歷的經(jīng)濟學家占了一半以上；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，他把其最重要的著作命名為《自然哲學的數(shù)學原理》，是因為他發(fā)現(xiàn)新宇宙的思維方式是數(shù)學的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的知識和非常復雜的幾何知識與技巧；愛因斯坦分別于1905年和1915年提出狹義相對論，廣義相對論，這是對物理學的重大變革，其核心內(nèi)容是時空觀的改變。愛因斯坦的時空觀認為時間和空間是相互聯(lián)系的。四維空間的洛侖茲變換是數(shù)學模型的表現(xiàn)形式；英國物理學家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學的方法推導出可能存在著電磁波并且這些電磁波 應該以光速傳播者；最近，兩位美國數(shù)學家解開了一個困擾科學界長達50年的“簡單”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時的數(shù)學規(guī)律。該研究成果將對工程學的泡沫材料設(shè)計、生物學的組織結(jié)構(gòu)研究以及物理學的晶體顆粒排列探測產(chǎn)生深遠的影響，相關(guān)論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。其中，氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅(qū)動力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率；神州六號、七號、八號、九號的升空，宣告了我國具有制造和發(fā)射航天飛機的能力。在神舟六、七、八號、九號的研制過程中，數(shù)學起了不可替代了作用，尤其是在軌道測算，時間測算等方面；1973年，美國芝加哥大學學者F·布萊克與M·肖萊斯提出了布萊克-肖萊斯期權(quán)定價模型（blackscholes option pricing model），對股票期權(quán)的定價作了詳細的討論。此后，不少學者（Merton）又對該模型進行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動了期權(quán)定價理論的研究。該模型中用到很多數(shù)學知識。他們也因此獲得了1997年的Nobel經(jīng)濟學獎；從醫(yī)學上的CT技術(shù)到印刷排版的自動化，從飛行器的模擬設(shè)計到指紋的識別，從石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理到信息安全技術(shù)，還有天王星、海王星的發(fā)現(xiàn)等等，這些形形色色的技術(shù)背后，數(shù)學都扮演著十分重要的角色，常常成為解決問題的關(guān)鍵。以上例子足以說明數(shù)學學科的重要性。

（二）數(shù)學文化在數(shù)學學習中的重要性

2002年，在北京召開的由國際數(shù)學聯(lián)盟主辦的全球數(shù)學界最高水平的學術(shù)會議“國際數(shù)學家大會”會場的大幅標語為“傳播數(shù)學文化，立志報國奉獻”，其中使用了“數(shù)學文化”一詞；2003年，普通高中《數(shù)學課程標準》中指出，數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學是人類社會進步的產(chǎn)物，也是推動社會發(fā)展的動力。要求在高中數(shù)學的教學過程中充分滲透數(shù)學文化，體現(xiàn)人文精神。這也是 “數(shù)學文化”首次進入官方文件；十二五《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》中提到，要把育人為本作為教育工作的根本要求，要培養(yǎng)學生良好的審美情趣和人文素養(yǎng)，加強中華民族優(yōu)秀文化傳統(tǒng)教育。積極推進文化傳播，弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，發(fā)展先進文化。這充分說明數(shù)學及傳播數(shù)學文化的重要性。

（三）學習《微積分》課程對大學后續(xù)課程學習的重要性

1。微積分第一章為函數(shù)。微觀經(jīng)濟學中的常見函數(shù)有需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)、彈性函數(shù)、生產(chǎn)函數(shù)以及邊際函數(shù)等都是微積分中函數(shù)的范疇。

2。邊際分析方法是經(jīng)濟理論中的一個重要分析方法。通過學習微積分中的導數(shù)，可以對微觀經(jīng)濟學中的經(jīng)濟變量進行邊際分析。

3。通過微積分中函數(shù)極值的學習，研究微觀經(jīng)濟學中生產(chǎn)者利潤最大化問題。

4。數(shù)學已經(jīng)廣泛深入到經(jīng)濟學領(lǐng)域。

古希臘的普羅塔戈爾說過：“頭腦不是要被填滿的容器，而是一把需被點燃的火把”。所以，在《微積分》課程的教學過程中，創(chuàng)造性地使用教材，在遵循教學大綱的前提下，充分滲透數(shù)學文化，使學生在學習數(shù)學的過程中真正受到數(shù)學文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學的文化品位，使學生真正感受到學習數(shù)學的重要性以及滲透數(shù)學文化的重要性，并真正感受到數(shù)學的美，并對學習數(shù)學充滿信心。只要我們揭開數(shù)學神秘的面紗，作為人們在生產(chǎn)實踐中必不可少的數(shù)學必將成為受青睞的學科。