談“一題多變”在高中數(shù)學教學中的運用

陸燁

高中數(shù)學不僅要讓學生掌握基本的知識理論和解題方法，更重在培養(yǎng)他們的思維能力，強化他們的數(shù)學思想，豐富他們的解題思路和方法，以此培養(yǎng)學生的學習能力，促進學生全面發(fā)展.新課程背景下，學生綜合能力要求更高，如何在減輕學生負擔和提升綜合能力方面做好平衡，是每一個教師重點思考的問題.一題多變能夠讓學生從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來，減輕他們課業(yè)負擔，又能夠鍛煉他們的數(shù)學思維，豐富數(shù)學思想，從不斷變化的數(shù)學現(xiàn)象中找到數(shù)學的解題規(guī)律，找到培養(yǎng)他們的數(shù)學學習方法，促進學生綜合能力發(fā)展，培養(yǎng)高素質(zhì)人才.

一、通過變式激活思維，打開學生解題思路

一題多變讓學生看到一道試題，能夠從不同的角度變化，聯(lián)系到不同的知識，應用不同的解題方法，破除學生僵化的思維和單一的解題思路，讓學生在變與不變中感知知識的相互聯(lián)系.一道數(shù)學題，通過不斷變化條件，可以讓學生從多角度思考，培養(yǎng)學生的數(shù)學敏感度，提高學生的綜合運用能力.學生從不斷變化的現(xiàn)象中感知數(shù)學的美妙，培養(yǎng)他們的數(shù)學興趣，鍛煉學生發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力.

例如，直線l的斜率為1，與拋物線y2=4x相交于點A、B，并且經(jīng)過該拋物線的焦點，試求線段AB的長度.

這道試題可以從找到拋物線焦點入手，學生很容易找到其焦點為（1，0），再根據(jù)其斜率求出線段AB所在的直線l方程y=x-1，然后將其與拋物線組成方程組，快速求出試題的答案.這是傳統(tǒng)的解題方法，然后再給學生提供一些類似的試題，讓學生反復訓練，浪費時間，效果也不明顯.通過一題多變，引入更多的知識點，構(gòu)建更多的知識間關(guān)系，增加一定的難度，拓展他們的思路，激活思維.

變式1 直線l的斜率為1，與拋物線x2=4y相交于點A、B，并且經(jīng)過該拋物線的焦點，試求線段AB的長度.

這樣的變化相對容易一些，但可以拓展他們的思路.

變式2 直線l的斜率為1，與拋物線x2=4py相交于點A、B，并且經(jīng)過該拋物線的焦點，O是坐標原點，由點A、B向拋物線的準線作兩條垂線， A、B為垂足，試問A點、O點、B點是否共線？

這個變化相對變式1知識容量增加了不少，難度也有一定的增加，傳統(tǒng)方法不能快速解決.此時教師可以引導學生分析，耐心地向?qū)W生分析變化和知識點的聯(lián)系，從將幾何思維和代數(shù)思維統(tǒng)一起來，以此啟發(fā)學生的思維，利用坐標來實現(xiàn)思維和解題方法轉(zhuǎn)化.也可以引導他們通過向量思考，運用向量方法解題.這樣，一道習題通過不斷變化和引導，讓學生掌握更多的知識，又能培養(yǎng)他們的思維能力，豐富解題方法.

二、堅持循序漸進，做到有的放矢

高中數(shù)學針對相關(guān)的知識點，設(shè)置了一定的典型例題和習題，這些習題和例題是幫助學生鞏固知識、鍛煉能力的重要媒介.傳統(tǒng)的例題和習題安排都是教師講解例題，學生做鞏固練習.這樣的教學模式能夠讓學生熟悉一些基本的題型，掌握一定的解題方法，但是，知識和能力相對單一.如果運用一題多變，那么能夠?qū)崿F(xiàn)例題和習題的高效利用，又能夠促進學生思維能力的提升.這些例題和習題都是基本題型，按照循序漸進的策略，圍繞學生的思維能力和創(chuàng)新能力，進行靈活變化，編制一題多變，優(yōu)化重組習題，能夠更好地提升他們的綜合素養(yǎng).

例如，一道習題：已知一動圓M與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，與圓O2：（x+1）2+y2=9內(nèi)切.求動圓圓心M的軌跡的方程.安排作業(yè)練習的時候，圍繞這道習題做好一題多變，優(yōu)化組合試題.

1.已知一動圓M與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，與圓O2：（x+1）2+y2=9內(nèi)切. 求動圓圓心M的軌跡 的方程.

2.已知圓O1：（x-1）2+y2=1、圓O2：（x+1）2+y2=9，一動圓M同時與它們外切，求動圓圓心M的軌跡的方程.

3.已知圓O1：（x-1）2+y2=1、圓O2：（x+1）2+y2=9，一動圓M同時與它們內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡的方程.

4.已知圓O1：（x-1）2+y2=1、圓O2：（x+1）2+y2=9，若一動圓M同時與它們一個內(nèi)切，一個外切，求動圓圓心M的軌跡 的方程.

習題2是對習題1的模仿，讓學生熟悉利用定義法來求軌跡方程，習題4讓學生進一步熟悉定義法求軌跡，后三個習題能夠讓學生充分理解和掌握利用圓錐曲線定義來求解軌跡，由常規(guī)來推導，循序漸進，圍繞中心學習目標，引導學生不斷探索，逐步提升綜合思維能力.

三、重視縱向聯(lián)系，確保溫故知新

建構(gòu)主義教育理念強調(diào)學生知識構(gòu)建，接近知識的最近發(fā)展區(qū)，把握縱向聯(lián)系，以此實現(xiàn)知識延伸和能力提升.中國教育思想一直重視溫故知新，在原有知識和能力的強化鞏固基礎(chǔ)上，不斷豐富新的知識能力.一題多變需要關(guān)注知識間的縱向聯(lián)系，引導學生溫故知新.緊密聯(lián)系以前學過的知識，讓學生能夠掌握新知識的同時，更好地復習鞏固舊知識，提高學習效率.

例如，斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長.

變式1：經(jīng)過拋物線的焦點的弦與拋物線相交于兩點A、B，以線段AB為直徑的圓與拋物線的準線的關(guān)系是

A.相交 B.相切 C.相離 D.沒辦法確定

變式2：求證：經(jīng)過拋物線的焦點的弦與拋物線相交于兩點A、B，以線段AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

變式3：經(jīng)過拋物線的焦點的弦與拋物線相交于兩點A、B，以線段AB為直徑的圓與拋物線的準線有何關(guān)系？

上述變式題的練習既鞏固拋物線定義，又復習圓與直線的知識，也復習了梯形的中位線定理等等，從而達到了變式練習的目的.

總之，一道數(shù)學題通過多種變化，能夠讓學生感知更多的知識和理論，通過類比、聯(lián)想、推廣等方式生發(fā)出更多的新穎題目，讓學生從不同的角度思考問題，運用不同的方法解決問題，強化他們的應變能力，鍛煉學生的發(fā)散性思維，真正培養(yǎng)他們數(shù)學思維和素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才.