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    例談數(shù)學(xué)思想和方法在解題中的滲透オ

    2016-05-14 10:11:13陳錦鋼
    理科考試研究·初中 2016年7期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)數(shù)形本題

    陳錦鋼

    所謂數(shù)學(xué)思想就是指對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí),也是我們解決數(shù)學(xué)問題的核心手段數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂,數(shù)學(xué)方法則是解題的利器,這兩種相互滲透、相互聯(lián)系,密不可分?jǐn)?shù)學(xué)方法在量的積累后,會(huì)產(chǎn)生質(zhì)的變化,即是數(shù)學(xué)思想的形成通過數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),可以在數(shù)學(xué)知識(shí)與解題中架設(shè)橋梁,對(duì)學(xué)生知識(shí)積累、能力提升和綜合素養(yǎng)產(chǎn)生影響本文將從實(shí)際問題出發(fā),探究如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透

    一、在解題中滲透化歸思想

    化歸思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),聯(lián)系新舊知識(shí),將欲解決的陌生問題向?qū)W生們所熟悉的方面進(jìn)行轉(zhuǎn)化,借助幾何圖形、數(shù)學(xué)公式,實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、化難為易化歸思想在解決幾何圖形問題、代數(shù)證明題、分式轉(zhuǎn)化題中都有著顯著的優(yōu)勢(shì)在化歸思想的使用中,常常會(huì)涉及待定系數(shù)法、配方法、轉(zhuǎn)化法等通過此類數(shù)學(xué)思想的教學(xué),可以幫助學(xué)生掌握多種數(shù)學(xué)方法,對(duì)提高學(xué)生解題效率幫助明顯

    例1如圖1所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC⊥BD,AD=3,BC=5,試求AC的長

    解析首先,從題中所給條件來看,要想直接求出AC的長度似乎是不可能的對(duì)此,我們必須利用化歸思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將我們未知的邊長向已知邊長進(jìn)行轉(zhuǎn)化要想將AC邊與已知邊聯(lián)系起來,我們繪制出了如圖虛線所示的輔助圖形繪制過程如下:過D點(diǎn)作DE⊥BD,并交BC的延長線于點(diǎn)E,得到AD=CE、AC=DE然后,由題中已知條件AC⊥BD,則可知BD⊥DE再由AB=CD,我們可以得到AC=BD,再結(jié)合AC=DE,最終得到BD=DE在直角三角形BDE中,BE2=BD2+DE2,可以求得BD=[KF(]2[KF)]2BE=4[KF(]2[KF)]最后利用BD=AC,我們可以求出AC的長度為在本題中,我們利用梯形對(duì)角線互相垂直的特點(diǎn),通過將對(duì)角線進(jìn)行平移,將等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和直角三角形如此一來,我們?cè)诨瘹w思想的指導(dǎo)下,利用幾何圖形的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了本題的求解

    二、在解題中滲透數(shù)形結(jié)合思想

    在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合思想是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁,代數(shù)即是數(shù),幾何即是形從表面上來看,這兩者似乎是分隔的,但在數(shù)形結(jié)合思想的幫助下,數(shù)量關(guān)系和幾何圖形可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化通過數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué),學(xué)生們得以將抽象的圖形問題代數(shù)化,也能將復(fù)雜的代數(shù)問題圖形化在數(shù)學(xué)解題中,數(shù)形結(jié)合思想可以拓寬學(xué)生思維,有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

    例2如圖2所示,C為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn),分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD、ED⊥BD,連接AC、EC已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x

    (1)試用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長;

    (2)試問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí),AC+CE的值最??;

    (3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論,請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值

    解析對(duì)于第一問,我們直接利用勾股定理便可以求得,即是將幾何圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)表達(dá),可得對(duì)于第二問,要使AC+CE的值最小,也就相當(dāng)于要求出第一問中的代數(shù)表達(dá)式的最小值此時(shí),很多學(xué)生會(huì)直接利用第一問中得到的代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求解但中學(xué)生受到自身知識(shí)的局限性,他們往往難以直接求出此時(shí),我們不妨引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的知識(shí)進(jìn)行求解對(duì)此,教師要求學(xué)生對(duì)該幾何圖形進(jìn)行觀察,要求他們對(duì)AC+CE的長度表達(dá)進(jìn)行探究觀察后,我們不難發(fā)現(xiàn)本題的考點(diǎn)就是求兩點(diǎn)之間的最短距離,結(jié)合“兩點(diǎn)之間直線距離最短”的定理,我們很容易得到當(dāng)C點(diǎn)位于BD和AE交點(diǎn)處時(shí),AC+CE即可取得最小值對(duì)于第三問,我們不妨在第二問的猜想上繪制輔助線,如圖3所示那么,代數(shù)式的值即相當(dāng)于線段AE的長度于是,在直角三角形AEF中,AF=AB+DE=6、EF=BD=8,利用勾股定理可得AE=10在本題中,我們利用數(shù)形結(jié)合思想,通過對(duì)代數(shù)問題與幾何知識(shí)之間的反復(fù)轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)了對(duì)本題求解過程的簡(jiǎn)化,最終順利求解出正確答案

    三、在解題中滲透建模思想

    數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題的有效手段,通過數(shù)學(xué)模型的建立,我們可以幫助學(xué)生將課堂知識(shí)與實(shí)際問題相聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用化和實(shí)踐化數(shù)學(xué)建模思想是指從問題的關(guān)系量分析入手,通過抽象和假設(shè)的方法,對(duì)實(shí)際問題建立對(duì)應(yīng)的解題模型通過數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué),我們可以拉近課堂與學(xué)生生活的距離,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性,從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

    例3某水果批發(fā)市商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果,物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價(jià)格銷售,平均每天銷售90箱,價(jià)格每提高1元,平均每天少銷售3箱

    (1)求平均每天銷售量y箱與銷售單價(jià)x元之間的關(guān)系;

    (2)求該銷售商平均每天的銷售利潤W元與銷售價(jià)x元之間的關(guān)系;

    (3)當(dāng)每箱蘋果售價(jià)多少元時(shí),可以獲得最大利潤,最大利潤是多少?

    解析本題屬于實(shí)際數(shù)學(xué)應(yīng)用題,對(duì)學(xué)生的審題能力和函數(shù)知識(shí)提出了較高的要求,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行考查首先,對(duì)于第一問,我們從題中已知信息可得每天銷售量與單價(jià)之間的關(guān)系,即是y=90-3(x-50)=-3x+240第二問同樣如此,只是較第一問相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)而已,基本思路還是一樣的每天利潤W=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600此時(shí),要求每日銷售利潤的最大值就是相當(dāng)于求解該二次函數(shù)模型的最值利用二次函數(shù)知識(shí),我們可以迅速地求出當(dāng)售價(jià)為55元時(shí),平均每日銷售利潤可以達(dá)到最大值1125元在新課改背景下,中考數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生們實(shí)際問題的應(yīng)用考查越發(fā)的注重?cái)?shù)學(xué)建模思想作為解決實(shí)際問題的重要途徑,我們必須在日常的教學(xué)中進(jìn)一步加以強(qiáng)化和重視

    總之,數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們不僅需要把握好以上的幾類數(shù)學(xué)思想教學(xué),更要不斷探究,為學(xué)生們創(chuàng)設(shè)出更多有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)模式

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