比定義更重要的是什么

趙紅婷

前段時間，筆者有幸聆聽蔡宏圣老師執(zhí)教蘇教版五下“認識方程”一課。蔡老師指出：“方程的定義不等于方程?！蹦敲矗瑢Ψ匠潭?，定義是最重要的嗎？比定義更重要的是什么？是對數(shù)學的感覺，還是對數(shù)學的理解和感悟？筆者思考教師不能僅僅滿足于讓學生根據(jù)方程外在形式定義去辨別方程，應(yīng)引導學生從更深層次認識方程。

一、尋找感覺：用數(shù)學的眼光去觀察

有時，學生知道某一概念，卻未必真的對其有感覺。而學生一旦對所學概念有了感覺，認知水平就會達到較高層次。蔡老師認為，對于“先學后教”的課，教師需要有這樣的警惕：學生貌似懂了，可能只是淺層次的懂，未必真正理解概念含義。整節(jié)課，他始終鼓勵學生用數(shù)學眼光去觀察、審視，尋找對方程的獨特感覺。

【教學片段1】

師：什么是方程？

生：含有未知數(shù)的等式是方程。（教師板書）

師：怎樣的等式是方程，你能舉個例子嗎？

生：x+50=200，2x=200。

師：判斷是否是方程，要抓住什么？

生：要看是不是有未知數(shù)，是不是等式。

師：一年級學過這樣的算式（ ）×3=12，這個是方程嗎？理由是什么？

生：是的，理由是它有未知數(shù)，而且還是等式。

師：怪不得你們都懂了，原來你們一年級就接觸了！

師：請看，y×4=8是方程嗎？

生：是方程。

師：再看，x×3>50是方程嗎？

生：不是方程，因為它不是等式。

【賞析】對于方程，學生會有怎樣的感覺？顯然，對數(shù)學的感覺主要基于經(jīng)驗。關(guān)于方程，學生并非一張白紙，他們有朦朧的感覺，教學的目的在于激發(fā)和提升這種感覺和體驗。蔡老師的處理可謂與眾不同。課伊始，他就單刀直入，讓學生試著說出方程概念。學生正確表述后，蔡老師再讓學生舉出方程的例子。蔡老師還令學生說出判斷方程的依據(jù)。然后蔡老師呈現(xiàn)了一年級填括號的例子，以及一些含有未知數(shù)的式子，讓學生用數(shù)學眼光去觀察和判斷。豐富的例子，豐厚了學生對方程的體驗。

二、簡化形式：用數(shù)學的語言去記錄

抽象、去情境是數(shù)學的本質(zhì)特征。從某種意義上說，學習數(shù)學就是一個不斷追求簡潔的過程。方程并非憑空出現(xiàn)，它是一些生活情境的數(shù)學化表達。方程是用數(shù)學的方式，即用數(shù)、符號等，來記錄事情。用數(shù)學語言去記錄生活中相等的事例，凸顯方程的本質(zhì)。

【教學片段2】

出示天平圖：左邊是一粒橙子和一個50克的砝碼，右邊是150克的砝碼。

師：你能說出這幅天平圖的意思嗎？

生：x+50=150。

師：看起來是一粒橙子加上50克等于150克，你們把它簡化了，變成了什么？

生：x+50=150。

教師故意用文字寫出題意：一粒橙子加上50克等于150克。

師：老師寫了那么多文字，跟你們寫的式子，有什么區(qū)別？

生：我們把橙子設(shè)為x。

生：我們用上了等于號，就是符號。

師：還用上了什么？

生：還用了數(shù)。

師：你們用數(shù)學語言寫下來，就成了方程。方程是怎么來的？

生：是把我們的語言描述表達成了數(shù)學算式。

生：把一些未知數(shù)轉(zhuǎn)化成了字母。

生：它是兩邊相等的。

師：不同的人看周圍世界是不一樣的，用數(shù)學的眼光去看，用數(shù)學的語言記錄下來，方程就是其中之一。不同年齡可以寫出不同樣子的方程。

【賞析】僅用語言描述，可以把方程問題闡述清楚，但邏輯上容易出現(xiàn)混淆，而用數(shù)學符號來闡述就顯得清晰易懂。史寧中教授指出，教學方程時，可先讓學生用自然語言闡述事情，然后抽象成數(shù)學表達，最后用數(shù)學符號建立方程，并解決問題。事實上，強調(diào)用數(shù)學符號把要說的話（即兩件等價事情）表達出來，這是方程的根本，是學生必須真正掌握的東西。蔡老師對此深有體會，出示情境后，通過文字描述和符號描述的對比，學生感受到了數(shù)學符號表達的簡潔性。對學生而言，方程并不陌生，一年級的填括號（方格）開始，方程就一直在那里，只不過，隨著抽象思維的發(fā)展，對方程表述的形式化程度愈高，表達方式也越有數(shù)學味。

三、凸顯本質(zhì)：用數(shù)學的思維去感悟

學習方程的意義在于：一是學習從生活中的錯綜復雜的事情中，將最本質(zhì)的東西抽象出來，這個過程是非常難的，也很有訓練的價值；二是在運算中遵循最佳的途徑，將復雜的問題簡單化，這種優(yōu)化思想對于人的思維習慣的影響是深遠的。

【教學片段3】

教師出示四個情境問題。

第1題：天平左邊是3粒橘子，右邊是180克砝碼，天平向左傾斜。

第2題：天平左邊是250克砝碼，右邊是一粒橘子和一粒蘋果，天平平衡。

第3題：5個小杯和1個容量為300毫升的大杯合起來一共是800毫升。

第4題：一輛公共汽車上，原有乘客50名，中途又有12名乘客上車，現(xiàn)在車上共62名乘客。

師：你能看到方程嗎？

生：題1不是方程，因為它是3x>180，不是等式。

生：題2是方程，x+y=250。

師：題3沒天平，能寫成方程嗎？

生：方程是800-300=5x，要找出等量關(guān)系，才能寫出算式。

師：是的，就像題1，沒有等量關(guān)系，就沒有等式。要找等量關(guān)系，就是找誰和誰是相等的。

師：題3還可以寫成怎樣的方程？

生：800-5x=300。

師：含有未知數(shù)就是未知數(shù)與數(shù)一起干活，形成等式，這才是我們要的方程。我們應(yīng)該寫怎樣的方程？

生：應(yīng)該把數(shù)和未知數(shù)寫在一起。

師：不要寫成以前算式的樣子。

師：第4個問題是方程嗎？為什么？

生：不是方程，因為沒有未知數(shù)。

師：對，雖然有相等關(guān)系，但沒有未知數(shù)，所以不能寫出方程。

出示方程史話《為什么有方程》。

早在三千六百多年前，埃及人就會用方程來解決數(shù)學問題了。在我國古代，大約兩千多年前成書的《九章算術(shù)》中，就記載了用一次方程解決實際問題的史料。一直到三百多年前，法國的數(shù)學家笛卡爾第一次倡議用x、y、z等字母來代表未知數(shù)，才形成了現(xiàn)在的方程。

【賞析】方程闡述了一個事實本身，一個沒有經(jīng)過任何加工的事實本身，方程說明兩件事情是等價的，這正體現(xiàn)了建模思想。認識方程，應(yīng)引導學生關(guān)注數(shù)量關(guān)系，體會方程的高度概括性和抽象性。就如4x=400這個方程可以記錄的事件很多，但這些不同的事件卻都可以用同一個方程來表示，正是因為不論是哪種事件，它們本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系是相同的。教師為學生打開了代數(shù)這一新視野，在代數(shù)世界里，未知數(shù)獲得了與已知數(shù)一樣的地位，可以平等地參與運算。這是方程的基本特質(zhì)，也是學習方程的價值所在。

比定義更重要的是對數(shù)學的理解和感悟，是數(shù)學思維的應(yīng)用和強化。學會抽象和概括，摒棄與數(shù)學無關(guān)的外在屬性，只關(guān)注數(shù)學的本質(zhì)屬性，增強做事的運籌和邏輯的條理，這種數(shù)學思維的訓練，這一數(shù)學素養(yǎng)的形成，對學生成為一個合格公民、適應(yīng)日常生活以及進一步學習數(shù)學，都是至關(guān)重要的。

（作者單位：江蘇省張家港市泗港小學 責任編輯：王彬）