“微分方程數(shù)值解”課程教學(xué)探討

姜英軍

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2016.07.155

摘 要：在“微分方程數(shù)值解”的教學(xué)過程中，選取一類典型的微分方程（如：熱傳導(dǎo)方程）作為重點進(jìn)行精講：首先講授該方程的建模思想、數(shù)值求解方法，再理論分析數(shù)值解法的穩(wěn)定性和收斂性，隨后詳細(xì)指導(dǎo)學(xué)生編程并上機實現(xiàn)數(shù)值解法，避免學(xué)生“雜而不精”；最后在課堂上會對多數(shù)微分方程進(jìn)行泛講，指導(dǎo)學(xué)生充分利用課余時間探索方程的相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：微分方程數(shù)值解 教學(xué)模式 教學(xué)實踐

中圖分類號：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（a）-0155-03

On the Teaching Program of “Numerical Solution of Differential Equation” Course

Jiang Yingjun

（Department of Mathematics and Science Computing，ChangshaUniversity of Science and Technology，Changsha Hunan，410004，China）

Abstract：A typical differential equation such as the heat conduction equation is firstly detailed，in the teaching process，with presentations of its modeling idea， numerical schemes，stability and convergence analysis for the schemes，and numerical tests；other differential equations are briefly presented afterwards；students are finally instructed to fully utilize their spare time to investigate results of the related equations，which helps to cultivate their self-study and innovation abilities.

Key Words：Numerical solution of differential equations；Teaching mode；Teaching practice

《微分方程數(shù)值解》是該校信息與計算科學(xué)專業(yè)高年級學(xué)生學(xué)習(xí)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課。信息與計算科學(xué)專業(yè)是教育部在1998年新設(shè)的一個專業(yè)，專業(yè)培養(yǎng)目的是培養(yǎng)具有一定的科學(xué)計算能力、信息處理知識和技術(shù)的復(fù)合型人才。信息與計算科學(xué)專業(yè)開設(shè)了數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)等重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，還開設(shè)了C語言、數(shù)值分析、數(shù)學(xué)實驗等科學(xué)計算相關(guān)課程。這些課程都為將學(xué)生培養(yǎng)成復(fù)合型人才打好了基礎(chǔ)?！段⒎址匠虜?shù)值解》是以上述課程為基礎(chǔ)開設(shè)的具有理工融合的專業(yè)課程，該課程有較強的實際應(yīng)用背景，是訓(xùn)練應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)工具解決實際問題的重要課程，也是將學(xué)生培養(yǎng)成應(yīng)用型人才的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為提高教學(xué)效率，許多一線教育工作者撰文對《微分方程數(shù)值解》課程的教學(xué)進(jìn)行了探討[3-6]。

近年來在《微分方程數(shù)值解》課程的教學(xué)方法與教學(xué)手段改革方面有了很大進(jìn)步，形成一定的教學(xué)思想和指導(dǎo)方針，但還未達(dá)到理想的教學(xué)效果，主要原因有：（1）課時偏少（48課時）；（2）課程理論性強，公式推導(dǎo)煩瑣；（3）缺乏實際應(yīng)用背景介紹。為了在有限的課堂教學(xué)時間內(nèi)達(dá)到理想的學(xué)習(xí)效果，提出將整個教學(xué)分成兩個環(huán)節(jié)：（1）對某一方程精講，選取一種典型微分方程，詳細(xì)講解該方程的建模思想，數(shù)值解法，理論分析，并指導(dǎo)學(xué)生在計算機上實現(xiàn)算法；（2）對多種方程泛講。對大部分微分方程僅講解對應(yīng)的數(shù)值方法和理論分析，充分利用課余時間結(jié)合課堂時間，指導(dǎo)學(xué)生自主完成從建模到上機完整的學(xué)習(xí)過程。

1 某一方程的詳細(xì)講解

在《微分方程數(shù)值解》這門課程之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)到了的很多有用的數(shù)學(xué)工具，但都只停留在理論層面上，還不能有效地使用。筆者認(rèn)為，講好《微分方程數(shù)值解》這門課的一個關(guān)鍵任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生熟練使用數(shù)學(xué)工具的能力。此課程所涉及方程眾多，但基本的建模思想、數(shù)值解法和理論分析所使用數(shù)學(xué)工具是相同的。主張先對一種方程進(jìn)行全面講述，使學(xué)生學(xué)會使用數(shù)學(xué)工具完成：（1）建模獲得微分方程；（2）設(shè)計方程的數(shù)值解法；（3）理論分析數(shù)值解法的穩(wěn)定性和收斂性；（4）在計算機上實現(xiàn)算法。在學(xué)生真正掌握相關(guān)數(shù)學(xué)工具的使用方法后，再對其他的方程進(jìn)行泛講，以學(xué)生為主體進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問題。

拋物型微分方程的建模思想和數(shù)值求解均具有普遍的代表性，這里建議針對此類微分方程進(jìn)行精講。下面詳細(xì)闡述實際操作過程，相關(guān)建模過程請參考文獻(xiàn)[1]，數(shù)值解法和理論分析請參考文獻(xiàn)[2]。

1.1 建模獲得方程

課程教學(xué)中溶入數(shù)學(xué)建模思想，不但可以培養(yǎng)學(xué)生建模的能力，還能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。值得一提的是，信計專業(yè)的學(xué)生熟悉使用定積分元素法計算許多物理量，但并未使用過此方法通過物理建模獲得微分方程。只要適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生即能掌握通過建模獲得微分方程的方法，所需的前期預(yù)備知識為微積分和熱學(xué)物理。針對三維的熱傳導(dǎo)問題（也可選取氣體擴(kuò)散問題）進(jìn)行建模為例。將一空間體置于空間直角坐標(biāo)系中，通過物理建模得到溫度分布所滿足的微分方程。設(shè)置物理參數(shù)：

2 多種方程的泛講

《微分方程數(shù)值解》課程背景廣泛，理論豐富，實驗復(fù)雜，但各章內(nèi)容有很多相似之處。對一類方程進(jìn)行精細(xì)講解，強化培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)工具的能力和實踐能力，做到拋磚引玉。對其他的方程主要講解數(shù)值解法和理論分析，更多的任務(wù)如建模、實驗等任務(wù)，指導(dǎo)學(xué)生獨立完成。對于泛講的內(nèi)容建議：（1）充分使用多媒體工具，如將課程內(nèi)容制作成若干10 min左右的小視頻微型課程；（2）介紹一些參考書供學(xué)生課后閱讀；（3）安排學(xué)生分組完成任務(wù)，可以將學(xué)習(xí)成績好的和差的分在一起，相互促進(jìn)；（4）考核成績以獨立完成任務(wù)的情況作為重要的評分標(biāo)準(zhǔn)。

3 結(jié)語

實現(xiàn)《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)的重要目標(biāo)，要求授課教師既要熟悉工科建模思想，又要有扎實的數(shù)學(xué)知識，還要有熟悉的計算機編程能力，在今后工作中要的培訓(xùn)教師達(dá)到相關(guān)的知識儲備。

參考文獻(xiàn)

[1] 谷超豪，李大潛，陳恕行.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：高等教育出版社出版，2012.

[2] 李榮華.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京：高等教育出版社出版，2005.

[3] 張宏偉.注重培養(yǎng)研究能力的5微分方程數(shù)值解法課程教學(xué)研究與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（6）：4-6.

[4] 楊韌，楊光崇，謝海英.微分方程數(shù)值解的教學(xué)研究與實踐[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（1）：124-125.

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[6] 廉海榮，趙琳琳，陳瑞閣，等.關(guān)于“微分方程數(shù)值解”課研究型教學(xué)模式的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28（5）：26-29.